1、MATLAB與控制系統仿真實踐第第14章章 控制系統的頻域分析控制系統的頻域分析主要內容主要內容n14.1控制系統的頻域分析控制系統的頻域分析n14.1.1頻率特性概述頻率特性概述n14.1.2頻率特性的不同表示方法頻率特性的不同表示方法n14.1.3MATLAB頻域分析的相關函數頻域分析的相關函數n14.1.4MATLAB頻域分析實例頻域分析實例n14.2基于頻域法的控制系統穩定性能析基于頻域法的控制系統穩定性能析n14.2.1頻域法的穩定性判定和穩定裕度概述頻域法的穩定性判定和穩定裕度概述n14.2.2頻域法的控制系統穩定判定相關函數頻域法的控制系統穩定判定相關函數n14.2.3MATLA

2、B頻域法穩定性判定實例頻域法穩定性判定實例14.1控制系統的頻域分析控制系統的頻域分析n14.1.1頻率特性概述頻率特性概述 頻域法是一種工程上廣為采用的分析和頻域法是一種工程上廣為采用的分析和綜合系統的間接方法。它是一種圖解分綜合系統的間接方法。它是一種圖解分析法，所依據的是頻率特性數學模型，析法，所依據的是頻率特性數學模型，對系統性能如穩定性、快速性和準確性對系統性能如穩定性、快速性和準確性進行分析。頻域法因彌補了時域法的不進行分析。頻域法因彌補了時域法的不足、使用方便、適用范圍廣且數學模型足、使用方便、適用范圍廣且數學模型容易獲得而得到了廣泛的應用。容易獲得而得到了廣泛的應用。n14.1

3、.2頻率特性的不同表示方法頻率特性的不同表示方法n1. 對數坐標圖對數坐標圖 對數坐標圖即對數坐標圖即Bode圖，由對數幅頻圖，由對數幅頻特性和對數相頻特性曲線特性和對數相頻特性曲線2張圖組成。張圖組成。 對數幅頻特性幅度的對數值對數幅頻特性幅度的對數值 與頻率與頻率 的關系曲線；對數相頻特性是的關系曲線；對數相頻特性是頻率特性的相角頻率特性的相角 與頻率與頻率 的關系曲的關系曲線。對數幅頻特性的縱軸為線。對數幅頻特性的縱軸為( )20lg( )()LAdB( ) ( )20lg( )()LAdB 采用線性分度；橫坐標為角頻率采用線性分度；橫坐標為角頻率 ，采用對數分度。對數相頻特性的縱軸采用

4、對數分度。對數相頻特性的縱軸為為 ，單位為度，采用線性分度；橫，單位為度，采用線性分度；橫坐標為角頻率坐標為角頻率 ，也采用對數分度。，也采用對數分度。橫坐標采用對數分度，擴展了其表示的橫坐標采用對數分度，擴展了其表示的頻率范圍。頻率范圍。( ) n2. 極坐標圖極坐標圖 極坐標圖即極坐標圖即Nyquist曲線。系統的頻曲線。系統的頻率特性表示為：率特性表示為： 頻率特性頻率特性 是輸入信號頻率是輸入信號頻率 的復變的復變函數，當頻率從函數，當頻率從 連續變化時，連續變化時， 端點的極坐標軌跡。端點的極坐標軌跡。MATLAB在繪制在繪制( )()( )( )( )jG jAepjq ()G j

5、()G j0 Nyquist曲線時頻率是從曲線時頻率是從 連續變連續變化的。而在自動控制原理的教材中一般化的。而在自動控制原理的教材中一般只繪制頻率從只繪制頻率從 部分曲線。可以分部分曲線。可以分析得出，曲線在范圍析得出，曲線在范圍 與與 內，內，是以橫軸為鏡像的。是以橫軸為鏡像的。 00 014.1.3MATLAB頻域分析的相關函數頻域分析的相關函數bode(G)bode(G,w)bode(G1,r-,G2,gx,)mag,phase,w = bode(G)mag,phase = bode(G,w)繪制系統繪制系統Bode圖。系統自動選取頻率范圍圖。系統自動選取頻率范圍繪制系統繪制系統Bod

6、e圖。由用戶指定選取頻率范圖。由用戶指定選取頻率范圍圍同時繪制多系統同時繪制多系統Bode圖。圖形屬性參數可圖。圖形屬性參數可選選返回系統返回系統Bode圖相應的幅值、相位和頻率圖相應的幅值、相位和頻率向量。可使用向量。可使用magdb = 20*log10(mag)將幅值轉換為分貝值將幅值轉換為分貝值返回系統返回系統Bode圖與指定圖與指定w相應的幅值、相相應的幅值、相位。可使用位。可使用magdb = 20*log10(mag)將幅值轉換為分貝值將幅值轉換為分貝值表表14.1頻域分析的相關函數用法及功能說明頻域分析的相關函數用法及功能說明nyquist(sys) nyquist(sys,w

7、) nyquist(G1,r-,G2,gx,)re,im,w = nyquist(sys)re,im = nyquist(sys,w)繪制系統繪制系統Nyquist圖。系統自動選取頻率范圍圖。系統自動選取頻率范圍繪制系統繪制系統Nyquist圖。由用戶指定選取頻率范圍圖。由用戶指定選取頻率范圍同時繪制多系統同時繪制多系統Nyquist圖。圖形屬性參數可選圖。圖形屬性參數可選返回系統返回系統Nyquist圖相應的實部、虛部和頻率向量。圖相應的實部、虛部和頻率向量。返回系統返回系統Nyquist圖與指定圖與指定w相應的實部、虛部。相應的實部、虛部。n14.1.4MATLAB頻域分析實例頻域分析實例

8、例例1：系統的開環傳遞函數為：系統的開環傳遞函數為繪制系統的繪制系統的Bode圖。圖。21000(1)( )(2)(174000)ksG ss sss s=tf(s); G=1000*(s+1)/(s*(s+2)*(s2+17*s+4000) Transfer function: 1000 s + 1000-s4 + 19 s3 + 4034 s2 + 8000 s bode(G) grid-150-100-50050Magnitude (dB)10-1100101102103-270-225-180-135-90-45Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad

9、/sec)圖圖14.1 例例1系統系統Bode圖圖-60-50-40-30-20-10Magnitude (dB)100101102-270-225-180-135-90-45Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)圖圖14.2例例1系統的系統的Bode圖圖(指定頻率范圍指定頻率范圍)例例2：系統的開環傳遞函數為：系統的開環傳遞函數為 繪制系統的繪制系統的Bode圖。圖。 25( )(2)(21)kG ssssnum=5;den=conv(1 2,1 2 1);w=logspace(-2,3,100); %指定頻率范圍指定頻率范圍mag,phase,

10、w=bode(num,den,w);magdB=20*log10(mag); %進行幅值的單位轉換進行幅值的單位轉換subplot(2,1,1);semilogx(w,magdB); %繪制對數幅頻特性圖繪制對數幅頻特性圖grid;title(系統系統Bode圖圖);xlabel(Frequency(rad/sec);ylabel(Gain dB);subplot(2,1,2);semilogx(w,phase); %繪制對數繪制對數相頻特性圖相頻特性圖grid;xlabel(Frequency(rad/sec);ylabel(Phase deg);10-210-1100101102103-2

11、00-1000100系 統 Bode圖Frequency(rad/sec)Gain dB10-210-1100101102103-300-200-1000Frequency(rad/sec)Phase deg圖圖14.3 例例2系統的系統的Bode圖圖例例3：系統的開環傳遞函數為：系統的開環傳遞函數為繪制繪制K取不同值時系統的取不同值時系統的Bode圖。圖。%K分別取分別取10，50,1000k=10 500 1000;for ii=1:32( )(10500)kKG sss G(ii)=tf(k(ii),1 10 500);endbode(G(1),r:,G(2),b-,G(3)title(

12、系統K/(s2+10s+500)Bode圖,K=10,500,1000,fontsize,16);grid-100-80-60-40-20020Magnitude (dB)100101102103-180-135-90-450Phase (deg)系統K/(s2+10s+500)Bode圖,K=10,500,1000Frequency (rad/sec)K=500K=1000K=10圖圖14.4 例例3K分別取分別取10，50,1000的系統的系統Bode圖圖n例例4：單位負反饋系統的開環傳遞函數為：單位負反饋系統的開環傳遞函數為 繪制系統繪制系統Nyquist曲線。曲線。22202010(

13、)()(10)kssG sss snum=20 20 10;den=conv(1 1 0,1 10);nyquist(num,den)-1-0.500.511.52-20-15-10-505101520Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis圖圖14.5 例例4系統的系統的Nyquist曲線曲線n 對于圖對于圖14.5，如果想要看清某部分細節，如果想要看清某部分細節，也可通過設置坐標范圍進行局部放大，也可通過設置坐標范圍進行局部放大，從而得到更清晰的局部圖像，如圖從而得到更清晰的局部圖像，如圖14.6。num=20 20 10;den=conv(1 1 0,

14、1 10);Nyquist(num,den)axis(-2 2 -5 5)-2-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis圖圖14.6 例例4局部放大的系統局部放大的系統Nyquist曲線曲線n同樣，還可通過設置同樣，還可通過設置 范圍得到局部的范圍得到局部的Nyquist曲線。如只繪制系統位于曲線。如只繪制系統位于 的的Nyquist曲線，如圖曲線，如圖14.7。num =20 20 10;den=conv(1 1 0,1 10);w=0.1:0.1:100;re,im=nyquist(nu

15、m,den,w);0plot(re,im)axis(-2 2 -5 5);grid;title(系統系統(20s2+20s+10)/(s2+s)(s+10)Nyquist圖圖(omega0),fontsize,12);-2-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345系統(20s2+20s+10)/(s2+s)(s+10)Nyquist圖(0)0)圖圖14.7 例例4系統系統Nyquist曲線曲線( )14.2基于頻域法的控制系統穩基于頻域法的控制系統穩定性能分析定性能分析n14.2.1頻域法的穩定性判定和穩定裕頻域法的穩定性判定和穩定裕度概述度概述 n1. Nyqui

16、st穩定判據穩定判據 如果開環模型含有如果開環模型含有m個正極點，則單位負反個正極點，則單位負反饋下單變量閉環系統穩定的充要條件是開環饋下單變量閉環系統穩定的充要條件是開環系統的系統的Nyquist圖逆時針圍繞圖逆時針圍繞(-1,j0)點點m周周n2. 系統相對穩定性的判定（穩定裕度）系統相對穩定性的判定（穩定裕度） 系統的穩定性固然重要，但它不是唯一系統的穩定性固然重要，但它不是唯一刻畫系統性能的準則，因為有的系統即使穩刻畫系統性能的準則，因為有的系統即使穩定，使其動態性能表現為很強的振蕩，也是定，使其動態性能表現為很強的振蕩，也是沒有用途的。因為這樣的系統如果出現小的沒有用途的。因為這樣的

17、系統如果出現小的變化就可能使系統不穩定。此時還應該考慮變化就可能使系統不穩定。此時還應該考慮對頻率響應裕度的定量分析，使系統具有一對頻率響應裕度的定量分析，使系統具有一定的穩定裕度。定的穩定裕度。 相角穩定裕度相角穩定裕度 系統極坐標圖上系統極坐標圖上 模值等于模值等于1的矢量與負的矢量與負 軸的夾角：軸的夾角： 相角穩定裕度表示了系統在臨界穩定狀態時相角穩定裕度表示了系統在臨界穩定狀態時 ，系統所允許的最大相位滯后。系統所允許的最大相位滯后。 ()G j( ) ( 180) 180( )cc 幅值穩定裕度幅值穩定裕度 系統極坐標圖上系統極坐標圖上 與負實軸交點（與負實軸交點（ ）的模值的模值

18、 倒數：倒數：在對數坐標圖上，采用在對數坐標圖上，采用 表示表示 的分的分貝值，有貝值，有()G jg()gG1()ggKGgLgK20lg20lg ()gggLKA 幅值穩定裕度表示了系統在臨界穩定狀幅值穩定裕度表示了系統在臨界穩定狀態時，系統增益所允許的最大增大倍數。態時，系統增益所允許的最大增大倍數。n3. 閉環系統頻率特性性能指標閉環系統頻率特性性能指標 通常，描述閉環系統頻率特性的性能通常，描述閉環系統頻率特性的性能指標主要有諧振峰值指標主要有諧振峰值 、諧振頻、諧振頻率率 、帶寬和帶寬頻率、帶寬和帶寬頻率 。其中：。其中：pMpb諧振峰值諧振峰值 指系統閉環頻率特性幅值的指系統閉環

19、頻率特性幅值的最大值。最大值。諧振頻率諧振頻率 指系統閉環頻率特性幅值出指系統閉環頻率特性幅值出現最大值時的頻率。現最大值時的頻率。帶寬頻率帶寬頻率 指當系統指當系統 的幅頻特性的幅頻特性 下降到下降到 時所對應的頻率。時所對應的頻率。系統帶寬指頻率范圍系統帶寬指頻率范圍 。pMpb()G j()G j2()2Gj0,b14.2.2基于頻域法的控制系統穩定判定基于頻域法的控制系統穩定判定相關相關MATLAB函數函數 除上節給出的函數可用于繪制頻率響除上節給出的函數可用于繪制頻率響應圖形并用于判定系統穩定性之外，應圖形并用于判定系統穩定性之外，MATLAB還提供了相關函數直接用于進還提供了相關函

20、數直接用于進一步判定系統的穩定程度，見表一步判定系統的穩定程度，見表14.2。margin(G)Gm,Pm,Wg,Wp = margin(G)Gm,Pm,Wg,Wp = margin(mag,phase,w) 繪制系統繪制系統Bode圖圖, ,帶有裕量及相應頻率顯示帶有裕量及相應頻率顯示 給出系統相對穩定參數。分別為幅值裕度、給出系統相對穩定參數。分別為幅值裕度、相角裕度、幅值穿越頻率、相角穿越頻率相角裕度、幅值穿越頻率、相角穿越頻率 給出系統相對穩定參數。由給出系統相對穩定參數。由Bode函數得到函數得到的幅值、相角和頻率向量計算。返回參數分的幅值、相角和頻率向量計算。返回參數分別為幅值裕度

21、、相角裕度、幅值穿越頻率、別為幅值裕度、相角裕度、幅值穿越頻率、相角穿越頻率相角穿越頻率S = allmargin(G) 返回相對穩定參數組成的結構體。包含幅值返回相對穩定參數組成的結構體。包含幅值裕度、相角裕度及其相應頻率，時滯幅值裕裕度、相角裕度及其相應頻率，時滯幅值裕度和頻率，是否穩定的標識符度和頻率，是否穩定的標識符表表14.2 基于頻域法的控制系統穩定判定相關基于頻域法的控制系統穩定判定相關MATLAB函數函數%用于求取諧振峰值用于求取諧振峰值 ,諧振頻率諧振頻率 ，帶寬和帶寬頻率，帶寬和帶寬頻率 mag,phase,w=bode(H,w);Mp,k=max(mag);resonan

22、tPeak=20*log10(Mp);resonantFreq=w(k);n=1;while 20*log10(mag(n)=-3 n=n+1;endbandwidth=w(n);%根據閉環根據閉環Bode圖求參數圖求參數%求取諧振峰值求取諧振峰值%進行諧振峰值單位轉換進行諧振峰值單位轉換%求取諧振頻率求取諧振頻率%求取帶寬和帶寬頻率求取帶寬和帶寬頻率pMpb 對系統閉環頻率特性的求取，對系統閉環頻率特性的求取，MATLAB沒有提沒有提供相應的函數。可根據其定義，編寫程序求取：供相應的函數。可根據其定義，編寫程序求取：14.2.3MATLAB頻域法穩定性判定實例頻域法穩定性判定實例例例7：系統

23、開環傳遞函數為：系統開環傳遞函數為繪制其極坐標圖，并判定系統穩定性。繪制其極坐標圖，并判定系統穩定性。10(5)(1)Gssnum=10;den=conv(1 5,1 -1);G=tf(num,den);nyquist(G)-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8Nyquist DiagramReal AxisImaginary AxisPole-Zero MapReal AxisImaginary Axis-2.5-2-1.5-1-0.50-1.5-1-0.500.511.5System: untit

24、led1Pole : -2 + 1iDamping: 0.894Overshoot (%): 0.187Frequency (rad/sec): 2.24System: untitled1Pole : -2 - 1iDamping: 0.894Overshoot (%): 0.187Frequency (rad/sec): 2.24例例7系統的系統的Nyquist曲線，曲線，結合開環極點和繞行圈數，可以看結合開環極點和繞行圈數，可以看出系統穩定出系統穩定 例例7系統的閉環零極點分布圖系統的閉環零極點分布圖也可以得出相同的結論也可以得出相同的結論 例例8：系統開環傳遞函數為：系統開環傳遞函數為繪

25、制其極坐標圖，并判定系統穩定性。繪制其極坐標圖，并判定系統穩定性。25(2)(25)Gsssnum=5;den=conv(1 2,1 2 5);G=tf(num,den);nyquist(G)-1-0.500.5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis012345678900.050.10.150.20.250.30.350.40.45Step ResponseTime (sec)Amplitude圖圖14.15 例例8系統的系統的Nyquist曲線曲線 圖圖14.16 例例8系統的階躍

26、響應曲線系統的階躍響應曲線 例例9：分別判定系統：分別判定系統 和和 的穩定性。如果系統的穩定性。如果系統穩穩定，進一步給出系統相對穩定參數。定，進一步給出系統相對穩定參數。15(2)(5)Gs ss2200(2)(5)Gs ssnum1=5;den1=conv(1 2,1 5 0);G1=tf(num1,den1);margin(G1)figure(2)num2=200;den2=conv(1 2,1 5 0);G2=tf(num2,den2);margin(G2)-150-100-50050Magnitude (dB)10-1100101102-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramGm = 22.9 dB (at 3.16 rad/sec) , Pm = 70.9 deg (at 0.484 rad/sec)Frequency (rad/sec)圖圖14.17 例例9系統系統 的的Bode圖圖1G-100-50050Magnitude (dB)10-1100101102-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramGm = -9.12 dB (at 3.16 rad/sec) , Pm = -