1、第一章 隨機事件的概率 第一節(jié) 隨機事件第二節(jié) 隨機事件的概率第三節(jié) 條件概率第四節(jié) 獨立性 主觀概率 第三節(jié) 條件概率一、條件概率二、乘法公式三、全概率公式與貝葉斯公式一、條件概率)(ABP記作0)(,APBA兩個事件，對發(fā)生的概率稱為發(fā)生的條件下事件在事件BA條件概率例1 一個家庭中有兩個小孩，已知其中一個是女孩，問另一個也是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）由題意，樣本空間為)()()()(女，女，女，男，男，女，男，男)()()(女，女，女，男，男，女A)( 女，女B31)(ABP(1)A表示事件“至少有一個是女孩”， B表示事件“兩個都是女孩”，則有由于事件已經(jīng)發(fā)生，所以這

2、時試驗的所有可能結果只有三種，而事件包含的基本事件只占其中的一種， 所以有解在這個例子中，若不知道事件已經(jīng)發(fā)生的信息，那么事件發(fā)生的概率為 41)(BP其原因在于事件 的發(fā)生改變了樣本空間，使它由原來的 縮減為 ，而 是在新的樣本空間 中由古典概率的計算公式而得到的 AAA)(ABPA)()(ABPBP這里 43)(AP41)(ABP(2)關系式（2）不僅對上述特例成立，對一般的古典概型和幾何概型問題，也可以證明它是成立的上例中計算 P(B|A)的方法并不普遍適用如果回到原來的樣本空間 中考慮，顯然有434131)(ABP從而)()()(APABPABP即，稱是兩個事件，且設0)(,APBA)

3、()()(APABPABP(3)可以驗證，條件概率P(|A)滿足概率公理化定義中的三條公理 定義1事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率根據(jù)具體的情況，可選用下列兩種方法之一來計算條件概率P(B|A)（1）在縮減后 A 的樣本空間中計算；（2）在原來的樣本空間中，直接由定義計算1 非負性2 規(guī)范性3 可列可加性例2 一袋中有10 個球，其中3個黑球，7個白球，依次從袋中不放回取兩球（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率解（1）可以在縮減的樣本空間 A1上計算。因為A1已發(fā)生，即第一次取得的是黑球，第二次取球時，所有

4、可取的球只有9只 A 中所含的基本事件數(shù)為9，其中黑球只剩下2個所以 92)(12AAP次取到黑球第iAi)2, 1(i記（2）由于第二次取球發(fā)生在第一次取球之后，故 A2的結構并不直觀因此，直接在 中用定義計算P(A1 |A2)更方便些 因為15191023)(21AAP103)(2AP所以 92)()()(22121APAAPAAP例3 人壽保險公司常常需要知道存活到某一個年齡段的人在下一年仍然存活的概率根據(jù)統(tǒng)計資料可知，某城市的人由出生活到50歲的概率為0.90718，存活到51歲的概率為0.90135。問現(xiàn)在已經(jīng)50歲的人，能夠活到51歲的概率是多少？ 解50歲活到A51歲活到B記 因

5、此BAB 要求)(ABPBA顯然90135. 0)()(BPABP90718. 0)(AP90135. 0)(BP因為從而 99357. 090718. 090135. 0)()()(APABPABP 可知該城市的人在50歲到51歲之間死亡的概率約為0.00643在平均意義下，該年齡段中每千個人中間約有6.43人死亡二、乘法公式定理1 （乘法公式）)()()(, 0)(APABPABPAP則有設0)(,12121nnAAAPnAAA個事件，且是一般地，若)()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn0)(,BPBA此，若的位置具有對稱性，因由于)(

6、)()(BPABPBAP)()()(BPBAPABP則由歸納法可得：則由可得例4 一袋中有a個白球和b個紅球。現(xiàn)依次不放回地從袋中取兩球.試求兩次均取到白球的概率 .解11)(12baaAAP次取到白球第iAi)2, 1(i記)(21AAP要求baaAP)(1顯然baabaaAPAAPAAP11)()()(11221因此例5 已知某廠家的一批產(chǎn)品共100件，其中有5件廢品為慎重起見，他對產(chǎn)品進行不放回的抽樣檢查，如果在被他抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品，則他拒絕購買這一批產(chǎn)品求采購員拒絕購買這批產(chǎn)品的概率解采購員拒絕購買A51iiAA則54321AAAAAA從而 件產(chǎn)品是廢品被抽查的第iAi

7、)5, 4, 3, 2, 1( i設9994)(12AAP9893)(213AAAP9792)(3214AAAAP9691)(43215AAAAAP由乘法定理7696. 0969798991009192939495)()()()()()()(11221332144321554321APAAPAAAPAAAAPAAAAAPAAAAAPAP于是2304. 0)(1)(APAP10095)(1AP由題意，有三、全概率公式與貝葉斯公式下面用概率的有限可加性及條件概率的定義和乘法定理建立兩個計算概率的公式先引入一個例子 例6 某工廠的兩個車間生產(chǎn)同型號的家用電器。據(jù)以往經(jīng)驗，第1車間的次品率為0.15，

8、第2車間的次品率為0.12兩個車間生產(chǎn)的成品混合堆放在一個倉庫里且無區(qū)分標志，假設第1、2車間生產(chǎn)的成品比例為2:3(1)在倉庫中隨機地取一件成品,求它是次品的概率;(2)在倉庫中隨機地取一只成品，若已知取到的是次品,問該此次品分別是由第1,2車間生產(chǎn)的概率為多少？21ABABA12()()ABAB從而于是132. 05312. 05215. 0)()()()()()()()(22112121BPBAPBPBAPABPABPABABPAP解(1)一臺是次品從倉庫中隨機地取出的A車間生產(chǎn)的提出的一臺是第 iBi)2, 1( i記12BB12B B 因為（2）問題歸結為計算 和 )(1ABP)(2

9、ABP由條件概率的定義及乘法公式，有4545. 0132. 05215. 0)()()()()()(1111APBPBAPAPABPABP5455. 0132. 05312. 0)()()()()()(2222APBPBAPAPABPABP定義2一組事件，若的為的樣本空間為試驗設EBBBEn,21(i), ,1,2,ijBBij i jn12(ii)nBBB的一個劃分為樣本空間則稱EBBBn,21定理2（全概率公式）)()()()()()()(111iniinnBPBAPBPBAPBPBAPAP12,nAEB BB為 的事件是的一個劃分，）。，（且niBPi, 2 , 10)(則設試驗E的樣本

10、空間為定理3 （貝葉斯（Bayes）公式） 則且的一個劃分，是的事件，為的樣本空間為設試驗), 2 , 1(0)(, 0)(,21niBPAPBBBEAEin), 2, 1(ninjjjiiiBPBAPBPBAPABP1)()()()()(與與全概率公式全概率公式剛好相反，剛好相反，貝葉斯公式貝葉斯公式主要用于當觀主要用于當觀察到一個事件已經(jīng)發(fā)生時，去求導致所觀察到的事察到一個事件已經(jīng)發(fā)生時，去求導致所觀察到的事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性大小件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性大小 例7 假設在某時期內(nèi)影響股票價格變化的因素只有銀行存款利率的變化經(jīng)分析，該時期內(nèi)利率下調的概率為60，

11、利率不變的概率為40 根據(jù)經(jīng)驗，在利率下調時某支股票上漲的概率為80，在利率不變時，這支股票上漲的概率為40求這支股票上漲的概率解21BB 21BB故由全概率公式 %64%40%40%60%80)()()()()(2211BPBAPBPBAPAP發(fā)生的原因，且是導致，表示“該支股票上漲”這兩個事件和“利率不變”分別表示“利率下調”設ABBABB2121,例8 由醫(yī)學統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析可知，人群中患由某種病菌引起的疾病占總人數(shù)的0.5%一種血液化驗以95%的概率將患有此疾病的人檢查出呈陽性，但也以1% 的概率誤將不患此疾病的人檢驗出呈陽性現(xiàn)設某人檢查出呈陽性反應，問他確患有此疾病的概率是多少？ 檢驗呈

12、陽性A1檢驗者患此疾病B2檢驗者不患此疾病B解21BB 21BB顯然且已知 005. 0)(1BP995. 0)(2BP95. 0)(1BAP01. 0)(2BAP由貝葉斯公式可得 323. 001. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0)(1ABP記B1與B2形成的一個劃分例9 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設各箱含0，1，2只殘次品的概率相應地為0.8，0.1和0.1一顧客欲買一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨機地查看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回試求：（1）顧客買下該箱玻璃杯的概率 a ；（2）在顧客買下的一箱玻璃杯中，確實沒有殘次品的概率 ba顧客買下該箱的概率A件殘次品箱中恰有 iBi）（2, 1i解的的一個劃分。由題意為顯然210,BBB8 .