1、第7章 剛體的平面運動7.1 主要內容7.1.1 剛體平面運動剛體作平面運動的充要條件是：剛體在運動過程中，其上任何一點到某固定平面的距離始終保持不變。剛體的平面運動可以簡化成平面圖形在平面上的運動。運動方程：其中基點O'的坐標xO' 、yO'和角坐標j 都是時間t的單值連續函數。如果以O'為原點建立平動動系O'x'y '，則平面運動分解為跟隨基點（動系）的平動和相對于基點（動系）的轉動。7.1.2 研究平面運動的基本方法1分析法建立運動方程式2運動分解法-基點法和繞兩平行軸轉動的合成。(1)基點法本章重點(2)繞兩平行軸轉動的合成常用于

2、研究行星輪系統的傳速比。7.1.3 平面運動剛體上點的速度分析的三種方法1基點法應用速度合成定理2速度投影定理（由基點法推論）3瞬心法（由基點法推論）7.1.4 用基點法分析平面運動剛體上各點的加速度12平動動系：科氏加速度3應用加速度合成定理7.2 基本要求1. 熟悉剛體平面運動的特征，正確理解有關平面運動的各種概念。2. 能熟練應用基點法、瞬心法和速度投影定理求解有關速度的問題。3. 能熟練應用基點法求解有關加速度的問題。4. 對常見平面機構能熟練地進行速度和加速度分析。5. 正確理解繞平行軸轉動合成的概念，并能用于行星輪系中的角速度分析。7.3 重點討論1正確判斷剛體的運動類型是否屬于平

3、面運動。2用基點法分解運動。在平面圖形上任取一點作為基點，建立平動動系，將平面圖形的運動分解為跟隨基點的平動（牽連運動）和相對于基點的定軸轉動（相對運動）。即：剛體的平面運動Þ平動（跟隨基點）+轉動（繞基點）。3用繞兩平行軸轉動分解平面運動。平面運動Þ轉動（牽連運動）+轉動（相對運動）。此法多用于行星輪系速比之計算。4習題類型。（1）桿系機構。（2）輪系機構。5解題小結。（1）分析速度時，有三種方法可靈活選擇。基點法這是基礎。瞬心法。速度投影定理。后兩者是基點法的推論，但用于定性分析和定量計算均很方便。（2）分析加速度時，只推薦用基點法。（3）解題步驟。分析系統中各構件的運

4、動，找出平面運動構件，分析其約束特點。根據已知條件，分析各構件的連接關系，確定解題方案。桿系問題求解平面圖形的角加速度時，必須通過相對切向加速度求之。輪系問題，可由角速度直接求導，求得角加速度。行星輪系的角速度分析，推薦用反轉法。6注意點。(1)基點法是求解平面運動圖形上各點速度與加速度的基本方法，若已知平面圖形上基點的速度與加速度，以及平面圖形的角速度與角加速度，則平面圖形上各點的速度與加速度均可求得。(2)若已知平面圖形上一點的速度(大小、方向)及另一點速度的方位，則可應用速度投影定理求得該點速度的大小。(3)瞬心法是求解平面運動圖形上各點速度較為簡捷的方法，關鍵是將該瞬時的速度瞬心確定后

5、，再將角速度求出，則各點速度可按“定軸轉動”分布情況求得，要注意速度瞬心是對一個平面運動剛體而言的。(4)速度瞬心并不等于加速度瞬心。(5)平面運動圖形按基點法分解時，引進的動系是平動坐標系，且注意到繞基點的相對轉動部分與基點的選擇無關，因而平面圖形的角速度和角加速度實際上是絕對的且是唯一的。若按剛體繞平行軸轉動合成來分解時，引進的動系是轉動坐標系，因而平面圖形的角速度和角加速度則是相對的。這兩者的差別在解題時至關重要。7.4 例題分析圖7-1例7-1 已知圓柱半徑為r，它由靜止鉛垂落下時，輪心速度，式中g為常量，h如圖示；求 圓柱的平面運動方程。解 選t = 0時圓心的位置為坐標原點，取A為

6、基點，有積分，得圓柱的平面運動方程為例7-2 已知OA的轉速n = 40r/min，OA = r = 0.3；求圖示瞬時，篩子BC的速度。(a) (b)圖7-2解 A、B兩點速度如圖，圖中rad/s由速度投影定理得解出篩子平動的速度為2.513 m/s例7-3 已知OA = 0.1m，OD = BE = 0.12m，AB = 0.26m，DE = 0.12m；OA桿的角速度wO = 12 rad/s;求圖示瞬時，桿OD的角速度wOD。解 圖示瞬時，AB桿作瞬時平動，BE桿平動，ED桿的速度瞬心為C，又由已知尺寸可算出ODE = OED = 30°，故1.2 m/s，rad/s m/s

7、，rad/s(a) (b)圖7-3例7-4 已知半徑為r的滾子在半徑為R的槽中純滾動，滾子中心的速度和切向加速度為vC和；求圖示瞬時滾子上A、B兩點的加速度。(a) (b)圖7-4解 滾子的A點是速度瞬心，故滾子的角速度和角加速度為選C點為基點，A點的加速度為 大小 ？ ra rw 方向 ? 皆如圖所示向x、y軸投影，解出B點的加速度為 大小 ？ ra rw 方向 ? 皆如圖所示向B點處x、y兩軸投影，解出例7-5 已知滾子純滾動，OA = AB = R = 2r = 1m，w = 2 rad/s；求圖示瞬時點B和點C的速度與加速度。(a) (b) (c)圖7-5解 先做速度分析如圖(b)，點

8、P是滾子速度瞬心，AB桿瞬時平動，有rad/s2.828 m/s取A點為基點，對B點作加速度分析如圖(b)，有 大小 ？ Rw2 ？ 方向 皆如圖所示向AB軸投影得，故B點加速度為8 m/s最后取B為基點，作C點的加速度分析如圖(c)，即大小 ？ 方向 皆如圖所示故C點加速度11.31 m/s2例7-6 已知 OA = r，AB = 2r，軋道半徑O1B =2r，OA桿的角速度和角加速度為wO和aO；求圖示瞬時滑塊B的加速度。(a) (b)圖7-6解 作AB桿的運動分析如圖，由速度投影定理，得故B點的法向加速度點C是AB桿的速度瞬心，故AB桿的角速度為由 大小 ？ raO ？ 方向 皆如圖所示

9、向BA軸投影，得解出B點的切向加速度為)例7-7 已知 OA = 0.05m，w = 10 rad/s；O1D = 0.07m；求圖示瞬時，搖桿O1D 的角速度w1和角加速度a1。(a) (b) (c)圖7-7解 AD桿瞬時平動，vD = vA = w × OA，wAD = 0。選AD桿的D點為動點，搖桿O1D為動系，各速度如圖(b)所示，由va = ve + vr， va = vD解出vr = va cos60° = 0.5 m/s，ve = va sin60° = 0.433 m/s，6.186 rad/s為求a1須分析D點的加速度，為此先求出AD桿的角加速度

10、。以A為基點，B點加速度為 aB= + +大小 ? w2×OA AB×wAD？ 方向皆如圖（c）所示解出以A為基點，D點加速度分析如圖(c)，有(A)式中有3個未知量，故再選D為動點，O1D桿為動系，有(B)由式（A）、（B），得 aA+ + = 大小 OA×w2 AD ×aAD0 ？ ？ 2w1vr方向皆如圖（c）所示上式向x 軸投影，解出78.17 rad/s2例7-8 已知AB桿速度v = 常量，OD = BD，圖示位置g = 60°，b = 30°；求圖示瞬時滑塊E的速度vE和加速度aE。(a) (b) (c)圖7-8解 速度

11、分析如圖(b)，選套筒B為動點，OC桿為動系，由vB = ve + vr解出DE桿作平面運動，由vB = vD + vED解出加速度分析如圖(c)，動點動系選擇如前述，由 大小 0 ？ ？ 2wevr方向皆如圖(c)所示向方向投影，得解出對OE桿，以D為基點，有大小 ？ ？ 方向皆如圖(c)所示向DE軸向投影，解得7.5 習題解答本章中7-1；7-2；7-3；7-4；7-5題解答略。7-6 如題76圖所示，橢圓規尺AB由曲柄OC帶動，曲柄以角速度wO繞O軸勻速轉動。如，并取C為基點，求橢圓規尺AB的平面運動方程。（a） （b）題7-6圖解：橢圓規尺AB作平面運動，選其上C點為基點，寫出在坐標系

12、Oxy下的坐標，即為C點的運動方程。由幾何關系及運動關系可知所以橢圓規尺AB的平面運動方程為xC =r coswOt，yC =r sinwOt，j = wOt。7-7 如題77圖所示，半徑為r的齒輪由曲柄OA帶動，沿半徑為R的固定齒輪滾動。如曲柄OA以勻角加速度e 繞O軸轉動，且當運動開始時，角速度wO=0，轉角j=0，求動齒輪以中心A為基點的平面運動方程。（a） （b）題7-7圖解：OA作定軸轉動，由條件得A輪作平面運動，且相對于固定齒輪滾動，設其轉角為，所以有小輪半徑AM 轉角為或則動齒輪A以中心A為基點的平面運動方程為。7-8 題78圖所示四連桿機構中，曲柄以角速度w =3 rad/s繞

13、O軸轉動。求在圖示位置時桿AB和桿的角速度。Aw90°OO1BvBwABvA （a）（b）題7-8圖解：AB作平面運動，由vA和vB的方向，可找出剛體AB的速度瞬心為O點，如圖（b）得到。又，得到。解出wAB=3 rad/s， =5.2 rad/s。7-9 在題7-9圖所示機構中，曲柄OA以勻速n90r/min繞O軸轉動，帶動AB和CD運動。求當AB與OA、CD兩兩垂直時，桿CD的角速度及D點的速度。（a） （b）題7-9圖解 由已知條件可知，AB作平行移動，其 vA和vB的方向如圖（b）所示。有，vAvB并且，由。得到；。7-10 題710圖所示兩齒條以速度v1和v2作同向直線平動

14、，兩齒條間夾一半徑為r的齒輪；求齒輪的角速度及其中心O的速度。（a）（b）題7-10圖解 設v1>v2，則點C為輪子的速度瞬心，如圖（b）所示。有；故可解出。7-11 滑套C與D可沿鉛垂桿運動，如題711圖所示。已知滑套D的速度為0.21 m/s，方向向下，試求滑套C的速度和AB桿的角速度。（a） （b）題7-11圖解 由已知條件及運動機構圖可知，AB桿作定軸轉動， BC桿作平面運動，由幾何關系得到，；，；由基點法，選擇B為基點，則D點的速度關系如圖（b）所示。有沿水平、豎直方向投影得再選擇B為基點，則C點的速度關系如圖（b）所示。有沿水平、豎直方向投影得再由，解出vC=0.11 m/s

15、，wAB=0.17 rad/s。7-12 當連桿機構位于題712圖所示位置時，套筒A正以6.1m/s的速度向左運動。求此時套筒B和C相應的速度。（a） （b）題7-12圖解 由已知條件及運動機構圖可知，AB桿與BC桿均作平面運動。由基點法，選擇A為基點，則B點的速度關系如圖（b）所示。有沿水平、豎直方向投影得解出vB=3.19 m/s。再選擇C為基點，則B點的速度關系如圖（b）所示。有沿水平方向投影得解出vC=8.71 m/s。7-13 在題713圖所示位置，桿AB具有順鐘向的角速度3 rad/s。求（1）B點的速度。（2）曲柄OA的角速度。（a） （b） 題7-13圖解：由已知條件及運動機構

16、圖可知，AB作平面運動，由vA和vB的方向，可找出剛體AB的速度瞬心為I點，如圖（b）所示。有，由，解出vB=1.22m/s，6.25rad/s。7-14 在題714圖中，桿AB的銷釘E可在桿CD的糟內滑動。在圖示位置，物塊A具有向左的速度400 mm/s和向右的加速度1400 mm/s2。求桿件CD的角速度和角加速度。（a） （b） （c）題7-14圖解：由題可知： ，。（1）求速度。運動機構分析表明，桿AB作平面運動。由vA的方向，vB的方向確定出剛體AB的速度瞬心I，如圖（b）所示。有， ，再選銷釘E為動點，動坐標系固連于桿CD上，靜坐標系固連于地面上。由速度合成定理vEavEe +vE

17、r沿水平、豎直方向投影，代入具體數值解出，。由，得到wCD2 rad/s，逆時針方向轉動。 （2）求加速度。研究AB桿。由基點法，選擇A為基點，則B點的加速度關系如圖（c）所示。有沿水平方向投影 由題意可知，。解出。由 ，解出。再選銷釘E為動點，動坐標系固連于桿CD上，靜坐標系固連于地面上。則動點E的加速度圖如圖（c ）所示。由加速度合成定理其中有 。沿水平方向投影有，由題意可知， ， ，解出。由 ，解出eCD1 rad/s2，順時針方向轉動。I7-15 題715圖中桿CD的滾輪C具有沿導槽向上的速度0.30 m/s。求：（1）桿件AB和CD的角速度；（2）D點的速度。（a） （b）題7-15

18、圖解：由已知條件及運動機構圖可知，AB桿作定軸轉動， CD桿作平面運動，由vC和vB的方向，可確定剛體CD的速度瞬心為I點，如圖（b）所示。由幾何關系得到，有；。再由已知條件vC0.3 m/s，解出wAB3 rad/s；wCD2 rad/s；vD0.59 m/s。7-16 在題716圖中，兩個輪子沿水平面只滾不滑，它們彼此用桿AB相連。P點的速度為12cm/s，方向向右。求AB的角速度以及Q點的速度。（a） （b）題7-16圖解：由已知條件及運動機構圖可知，AB桿及兩輪均作平面運動，由vA和vB的方向，可確定AB桿為瞬時平動，如圖（b）所示。由定義可得到wAB0。B45°45

19、6;rDIvBvAvDwAA7-17 題717圖所示滑塊B、D分別沿鉛直和水平導槽滑動，并借AB桿和AD桿與圓輪中心A點鉸接，設圓輪作無滑動滾動。圖示瞬時滑塊B速度vB = 0.5 m/s，已知AB=0.5 m，r=0.2 m。試求圓輪角速度和滑塊D的速度。（a） （b）題7-17圖解：由已知條件及運動機構圖可知，AB桿、AD桿及輪A均作平面運動，畫出各點的速度方向，如圖（b）所示。對AB桿，由速度投影定理，對圓輪，其作無滑動的滾動，速度瞬心即為與地面的接觸點I，則，所以。由分析可知AD桿作瞬時平動有，vDvA0.5 m/s。DvAwaBvBAOC7-18 題718圖所示機構中，套管的鉸鏈C和

20、CD桿連接并套在AB桿上。已知OA=20 cm，AB=40 cm，在圖示瞬時a =30°，套管在AB的中點，曲柄OA的角速度w = 4 rad/s。求此瞬時CD桿的速度大小和方向。veCvavr（a） （b） （c） 題7-18圖解：由題可知：vAw × OA4×2080（cm/s）。運動機構分析表明，AB作平面運動，由A、B兩點的速度方向，可知AB作瞬時平移，如圖（b）。套筒C與CD桿鉸接，并套在AB上，相對于AB作相對運動，選套筒C為動點，將動坐標系固結在AB上，C點的速度分析如圖（c）；所以得（）。7-19 題119圖所示長為l的曲柄OA繞O軸轉動，帶動邊長

21、為l的正三角形平板ABC作平面運動。板上的點B與桿O1B鉸接，點C與套筒鉸接，而套筒可在繞O2軸轉動的桿O2D上滑動。圖示瞬時，曲柄OA鉛直，角速度wO = 6 rad/s，O1、B、C三點在同一水平線上，桿O2D與水平面間的夾角a =60°，O2C=l。試求此瞬時桿O2D的角速度。DBECaO2OwOAO1vAvBvevavrC （a） （b） （c）題7-19圖解：運動機構分析表明，正三角形平板作平面運動，首先由vA的方向，vB的方向確定出剛體ABC的速度瞬心E，如圖（b）有；。所以得，方向垂直向下。分析滑塊C點的速度。以C為動點，O2D為動系，C點的速度圖如（c）所示。有所以，

22、方向為順時針。bBEArwj30°OD vrvrveavBEvCCvA7-20 縱向刨床機構如題720圖所示，曲柄OA=r，以勻角速度轉動。當j =90°、b = 60°時，DCBC = 12，且OCBE，連桿AC=2r。求刨桿BE的平移速度。（a）（b）題7-20圖解：運動機構分析表明，套筒D套在BCD桿上，且有相對運動。分析D點的運動情況，選D為動點，BCD為動系，畫出D點的速度圖（b），有即D點的牽連速度與其相對速度大小相等，方向相反，顯然BCD桿上與套筒重合點的速度方向沿BCD桿，再由B點速度方向作出BCD桿的速度瞬心I。令DC1，則AC作平面運動，畫出其

23、A、C兩點的速度，且對AC桿，應用速度投影定理對BC應用速度投影定理所以解出7-21 在題721圖所示給定的瞬時，桿A的角速度為0.25 rad/s順鐘向，角加速度為0.15 rad/s2逆鐘向。求此刻桿B的角加速度。CC（a） （b） （c）題7-21圖解：（1）求速度。選桿B的端點C為動點，動坐標系固連于桿A上，靜坐標系固連于地面上。C點的速度圖如圖（b）所示。由速度合成定理 vavevr。沿x、y軸方向投影得， 由，解出，。（2）求加速度。動點，動坐標系的選擇不變，則動點C的加速度圖如圖（c ）所示。由加速度合成定理沿y軸方向投影得由題意可知，解出。由，所以此刻桿B的角加速度為eB0.0

24、771 rad/s2。7-22 題722圖所示桿BC以90轉/分的轉速逆鐘向勻速旋轉。試求系統位于圖示位置時，套筒A的加速度。（a） （b） （c）題7-22圖解：由題可知：，；，。（1）求速度。運動機構分析表明，AB作平面運動。由vA的方向，vB的方向確定出剛體AB的速度瞬心I，如圖（b）所示。有所以得，。（2）求加速度。研究AB桿。由基點法，選擇B為基點，則A點的加速度關系如圖（c）所示。有沿AB桿方向投影由題意可知，。解出。所以套筒A的加速度為aA128.35（m/s2）。7-23 在題723圖所示示位置，物塊D具有向左的速度16 cm/s和向右的加速度30 cm/s2。試求：在此位置，

25、物塊A的速度和加速度。（a） （b）（c）（d）題7-23圖解：由題可知：； ，；，；，。（1）求速度。運動機構分析表明，桿CD及ABC均作平面運動。研究桿CD。由速度投影定理， 得到。研究ABC部分。由vA的方向，vB的方向確定出剛體ABC的速度瞬心I，如圖（b）所示。有， ，得到，。（2）求加速度。研究CD桿。由基點法，選擇D為基點，則C點的加速度關系如圖（c）所示。有研究ABC部分。由基點法，選擇B為基點，則A點的加速度關系如圖（c）所示。有沿水平方向投影 （1）再選擇C為基點，則A點的加速度關系如圖（d）所示。有其中。沿水平方向投影 （2）由題意可知， ，。由式（1）與式（2）聯立解出。由式（1）解出aA20.4 cm/s2。7-24 在題725圖所示位置時，BC具有逆鐘向的角速度2 rad/s，及順鐘向的角加速度4 rad/s2，求物塊C的加速度。（a） （b）題7-24圖解：由題可知： ，；，。（1）求速