1、高考復習基本不等式及其應用 要點梳理1.算術平均數與幾何平均數 對于正數a,b，我們把 稱為a,b的算術平均 數， 稱為a,b的幾何平均數.2.基本不等式： （1）基本不等式成立的條件： . （2）等號成立的條件：當且僅當 時取等號. （3）結論：兩個正數a,b的算術平均數 其 幾何平均數.2baab2baaba0,b0a=b不小于3.幾個重要的不等式 (1)a2+b22ab(a,bR).4.利用基本不等式求最值 設x,y都是正數. （1）如果積xy是定值P，那么當 時，和x+y有 最小值 . （2）如果和x+y是定值S，那么當 時積xy有最 大值 . 即“一正、二定、三相等”,這三 個條件缺

2、一不可.R).,()2()3().,()2(2babaabbabaab同號2x=yP2x=y241S基礎自測1.已知ab0，a,bR，則下列式子中總能成立的 是 . 解析 中不能保證 為正，中 未必為負，顯然錯誤. 2; 2; 2; 2baabbaabbaabbaabba、abba、ab 2.x+3y-2=0，則3x+27y+1的最小值為 . 解析 x+3y-2=0,x+3y=2. 又3x+27y+1=3x+33y+1 當且僅當3x=33y, 即x=3y=1,x=1,y= 時取等號.7. 71321321332233 yxyx313.已知 的最小值為 . 解析 即x=10，y=6時，xy有最小

3、值60.4.設x,y為正數，則 的最小值為 . 解析 5+22=9當且僅當y=2x時取得最小值9.xyyxyx則),0, 0( 13560,2135.60,152,152351yxxyxyxyyx當且僅當)41)(yxyx9)0, 0(45)41)(yxyxxyyxyx【例1】（1）已知a0,b0,a+b=1,求證： (2)已知x,y,z是互不相等的正數，且x+y+z=1, 求證： 證明 （1）a0,b0,a+b=1, 所以原不等式成立. （2）x、y、z是互不相等的正數，且x+y+z=1, . 411ba. 8) 11)(11)(11(zyx. 411. 422211babaabbaabbb

4、aababa.2111xyxyxxxzz將三式相乘，得. 11, 11. 111，0.211.211yxxyxyxyxyyxzzzzzz同理又. 8) 11)(11)(11(zyx跟蹤練習1 （1）已知x0,y0,z0. 求證： (2)求證：a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c). 證明 （1）x0,y0,z0, （當且僅當x=y=z時等號成立） . 8)()(zzzzyxyyxxxy, 02. 02, 02zzzzzzzxyyxyxyyxxyxxy. 88)()(zzzzzzzxyxyxyyxyyxxxy（2）a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42

5、c2a2,2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,c2a2+a2b22a2bc,2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).【例2】 （1）已知x0,y0，且 求x+y 的最小值； （2）已知x ,求函數 的最 大值； （3）若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0，求x+y的最 小值. （1）注

6、意條件中“1”的代換，也可用三 角代換. （2）因為4x-50,y0, , 191yx3)45145(54124, 045,45)2(.16,12, 4, 191,9.16106109)91)(xxxxyxxyxyxyxyxxyyxxyyxyxyx取得最小值時又上式等號成立時當且僅當即x=1時，上式等號成立，故當x=1時，y取得最大值1.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy, 又2x+8y-xy=0,x=12,y=6,當x=12,y=6時，x+y取最小值18.,45145, 132xx當且僅當, 182xy，yxyxxyyxxyyxxyyxxyyxyxyx時取等號即當且僅當2,4,

7、1842210)4(2102810)28)(跟蹤練習2 （2010徐州模擬）解下列問題： （1）已知a0,b0，且4a+b=1，求ab的最大值； （2）已知x2,求 的最小值. 解（1）a0,b0,4a+b=1, 1=4a+b2 當且僅當4a=b= 即 時，等號成立. 24xx,44abab ,2121,81ba. 624.,4,242, 6224)2(2224224, 02, 2)2(.161.161,41的最小值為所以等號成立時即當且僅當的最大值為xxxxxxxxxxxxxababab【例3】 （1）已知x0,y0,lg x+lg y=1，求 的最小值. （2）設x-1，求函數 的最值.

8、由lg x+lg y=1可得xy=10為定值. 可化為 的形式再用基本不等式. （1）解 方法一 由已知條件lg x+lg y=1, 可得xy=10. 則 當且僅當2y=5x，即x=2,y=5時等號成立.yx521)2)(5(xxxy分析bxxaxf)(. 2)52(. 21025252minyxxyxyxyyx方法二 ., 1,141. 954514) 1(, 01, 1. 514) 1(14) 1(5) 1(11071)2)(5()2(.5, 2,22. 2)52(, 22252,10, 1lglg22min無最大值有最小值故即當且僅當時等號成立即當且僅當可得由，yxxxxxyxxxxxx

9、xxxxxxxyyxxxyxxxyxxyyx跟蹤練習3 函數y=loga(x+3)-1(a0,a1)的圖 象恒過點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中 mn0，則 的最小值為 . 解析 A（-2，-1）在直線mx+ny+1=0上， -2m-n+1=0, 即2m+n=1,mn0,m0,n0.nm218. 821.21,41,4. 842424224221的最小值為故時等號成立即當且僅當nmnmnmmnnmmnnmmnnnmmnmnm【例4】（14分）某養殖廠需定期購買飼料，已知 該廠每天需要飼料200千克，每千克飼料的價格 為1.8元，飼料的保管與其他費用為平均每千克 每天0.03元，購買

10、飼料每次支付運費300元. （1）求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每 天支付的總費用最少？ （2）若提供飼料的公司規定，當一次購買飼料 不少于5噸時其價格可享受八五折優惠（即為原 價的85%）.問該廠是否可以考慮利用此優惠條 件？請說明理由.解題示范解 （1）設該廠應隔x(xN+)天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y1.飼料的保管與其他費用每天比前一天少2000.03=6(元),x天飼料的保管與其他費用共是6(x-1)+6(x-2)+6=3x2-3x(元). 2分從而有y1= (3x2-3x+300)+2001.8= +3x+357417. 4分當且僅當 =3x，即x=10時，y1有最小

11、值.即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少. 6分x1x300 x300（2）若廠家利用此優惠條件，則至少25天購買一次飼料，設該廠利用此優惠條件，每隔x天（x25）購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y2，則y2= (3x2-3x+300)+2001.80.85= +3x+303(x25). 10分y2=- +3,當x25時，y20，即函數y2在25,+）上是增函數，當x=25時，y2取得最小值為390.而390 0 ) ， 已 知 羊 皮 手 套的固定投入為3萬元，每生產1萬雙羊皮手套 仍需再投入16萬元.（年銷售收入=年生產成本 的150%+年廣告費的50%）. （1）試

12、將羊皮手套的利潤L（萬元）表示為年廣 告費x(萬元)的函數； （2）當年廣告費投入為多少萬元時，此公司的 年利潤最大，最大利潤為多少？（年利潤=年銷 售收入-年廣告費）.xS13解 （1）由題意知，羊皮手套的年成本為（16S+3）萬元，年銷售收入為（16S+3）150%+x50%，年利潤L=（16S+3）150%+x50%-（16S+3）-x，即L= （16S+3-x），得 因此，當年廣告費投入4萬元時，此公司的年利潤最大，最大利潤為21.5萬元.21, 5 .214,82. 5 .21822251)82(25121651)2().0(2165122有最大值時即當且僅當由，Lxxxxxxxxx

13、xLxxxxL思想方法 感悟提高高考動態展望從近幾年的高考試題看，基本不等式的應用一直是高考命題的熱點，在填空題、解答題中都有可能出現，一是運用基本不等式證明不等式；二是利用基本不等式求函數的最值（或值域）.今后高考命題仍會考查基本不等式的應用，且以考查求函數的最值為主要命題方向.基本不等式是不等式中的重要內容，也是歷年高考重點考查的知識點之一，它的應用范圍涉及高中數學的很多章節，且常考常新，但是它在高考中卻不外乎大小判斷、求最值、求取值范圍等.2baab方法規律總結1.a2+b22ab成立的條件是a,bR，而 成立，則要求a0且b0.使用時，要明確定理 成立的前提條件.2.在運用重要不等式時

14、，要特別注意“拆、拼、 湊”等技巧，使其滿足重要不等式中“正” （即條件中要求字母為正數）、“定”（不等式 的另一邊必須為一定值）、“等”（等號取得 的條件）的條件.3.注意掌握重要不等式的逆用，變化形式的特點.4.不等式知識在數列、向量、解析幾何、三角函 數都有所體現，主要有解（證）不等式，求最 值問題.abba2定時檢測一、填空題1.（2009山西陽泉期末）函數y=log2x+logx(2x) （x1）的值域是 . 解析 y=log2x+logx(2x)=1+(log2x+logx2), 如果x1，則log2x+logx22， 如果0 x1，則log2x+logx2-2， 函數的值域為（-

15、,-13,+).（-,-13,+)2.（2009大連一模）已知0 x1，則x(3-3x)取 得最大值時x的值為 . 解析 0 x0,y0,x,a,b,y 成等差數列，x,c,d,y成等比數列，則 的最小值是 . 解析 由x、a、b、y成等差數列知a+b=x+y 由x、c、d、y成等比數列知cd=xy 把代入 得 的最小值為4.cdba2)( 4cdba2)( cdba2)( . 422)()(2222yxxyxyxyyxxyyxcdba4.（2010南通模擬）設 則函數 的最小值為 . 解析),2, 0(xxxy2sin1sin223. 3”“33tan, 3tan21tan232tan21t

16、an23, 0tan),2, 0(.tan21tan23cossin2cossinsin22sin1sin22222故最小值為成立時當且僅當，xxxxxxxxxxxxxxxxy5.（2010江蘇南通一模）某汽車運 輸公司購買了一批豪華大客車，投 放市場客運.據市場分析，每輛客 車營運的總利潤y(單位：10萬元)與 營運年數x(xN+)為二次函數關系， 如圖，則每輛客車營運 年，其營運年平均 利潤最大. 解析 求得函數式為y=-(x-6)2+11, 則營運的年 平均利潤5. 5,25, 225212)25(1211)6(2xxxxxxxxy解得此時6.（2008徐州調研）若實數a,b滿足ab-4

17、a- b+1=0 (a1),則（a+1）(b+2)的最小值為 . 解析 ab-4a-b+1=0, a1,b0. ab=4a+b-1, (a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1 =6a+ 2+1 當且僅當(a-1)2=1,即a=2時成立. 最小值為27.27.114aab114aa,27156621516) 1(6, 01.1516) 1(6116861123) 1(46aaaaaaaaaa原式7.（2009長春模擬）在滿足面積與周長的數值 相等的所有直角三角形中，面積的最小值是 . 解析 設直角三角形的兩直角邊分別為a,b，則 斜邊為).223(4) 12(421,)22(4,

18、2122,22,21,22222222abSababababababbabaabbababa又由題意得)223(48.（2010南京調研）已知a0,b0，a、b的等差 中項是 的最小值是 . 解析 由條件a+b=1，又a+b , ab (當a=b= 時取等號). 則有,1,1,21bbaa54121. 5411111abbabaab29.（2009常州模擬）已知關于x的不等式 在x(a,+)上恒成立，則實數 a的最小值為 . 解析 xa,722axx23.2323, 7424222)(2222)(222的最小值為即aaaaaaxaxaaxaxaxx二、解答題10.（2010鹽城模擬）函數f(x)對一切實數x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0. （1）求f(0); (2)求f(x); (3)當0 xax-5恒成立，求a的 取值范圍. 解 （1）令x=1,y=0，得f(1+0)-f(0) =(1+20+1)1=2， f(0)=f(1)-2=-2. (2)令y=0, f(x