1、第1頁（共 21 頁）2019-2020學年福建省泉州市高三（上）期末數學試卷（理科）21. （ 5 分）已知集合 M x|x :x 0,N x|x1，則（）A.M NB.NMC.MUN RD.MIN2. （ 5 分）若復數z 滿足 z(1 i)2 3i ,則 z()A15.m15.C.51 .D.51 .A .iB.-iii2 22 22 22 2x y2, 0,3. ( 5 分)若x,y滿足約束條件3x y1-0,則 z4x 2y 的最小值為( )y, 2,A .17B.13C.16D.2034. （ 5 分）已知m,n是兩條不同的直線，是兩個不重合的平面.給出下列四個命題若 /, m，則

2、 m/; 若 m /n,n，則 m/;若，m，則 m; 若 m / ,m，則.其中為真命題的編-號是（）A .B .C. D.有一項是符合題目要求的xlnx2的圖象大致為5. （ 5 分）函數 f（x）()、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只第2頁（共 21 頁） S., v-rji 一 */輸出 /A& （ 5 分）明代朱載埴創造了音樂學上極為重要的“等程律”僅給出了求解三項等比數列的等比中項的方法，還給出了求解四項等比數列的中間兩項的方 法.比如，若已知黃鐘、大呂、太簇、夾鐘四個音律值成等比數列， 則有大呂.黃鐘 太簇， 大呂 3黃

3、鐘2夾鐘，太簇 .3黃鐘 夾鐘2據此，可得正項等比數列a.中，ak（ ）A .n k 1a1n kganB.n k-1a1gann kC .n1a1n kgank1D .n1ak1Snnk29. （ 5 分）已知拋物線 E:x 8y 的焦點為F，過F的直線 l 與E交于A,B兩點，與x軸2X6.（5 分）已知雙曲線C:篤a的距離為 3,則 C 的方程為（2yb2i(a o,b0）的實軸長為 4,左焦點F到 C 的一條漸近線2 2x y A.2y- i32XD.167. （ 5 分）執行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（A.1010B.1009C. 1009D. 1010在創造律制的過程中，他

4、不i交于點 C 若A為線段 CF 的中點，貝 y |AB| ()第3頁(共 21 頁)luir uuu兩點，且 AOgAB 2，則 k ()C. 1上的動點.若三棱錐 E ABC 的四個頂點都在球 0 的球面上，則球 0 表面積的取值范圍為()21273273A . 8 ,B. 16 ,C. ,21 D. 16, 21 21616二、 填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.rr13._(5 分)已知向量a(x,2) ,b(2,1)，且 a/b，則 |a | _.14._(5 分)記為數列a.的前n項和.若 2 気1a.0, S593，則 a5_.15. (5 分)已知函數 f

5、(x)是定義在R上的奇函數，當 x 0 時，f(x 1) 3f (x);當 x (0 ,1時，f(x) In (x 2)，貝 U f (0) f ( e) _ .16.(5 分)若函數 f(x) sin( x )(0)在(一，)單調，且在(0, )存在極值點，則的623取值范圍為_.三、 解答題：共 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答第 22、23 題為選考題，考生根據要求作答(一)必考題：共 60分.17 . (12 分)如圖，四棱錐 P ABCD 的底面是正方形，PA平面 ABCD，AE PD.(1)證明：AE平面 PCD ;(

6、2 )若AP AB，求二面角 B PC D 的余弦值.A . 9B .12C . 18D . 7210 . ( 5 分) 已知 alog e，bIn ，c2eIn，則()eA . ab cB . b c aC . b a cD . c b a11. (5 分)在平面直角坐標系xOy 中，直線 l : kx y 4k0 與曲線 y . 9 x2交于A，B12. (5 分)已知正三棱柱 ABCAB!的所有棱長都為3,D是 B1C1的中點，E是線段 AD第4頁(共 21 頁)218. (12 分)記 Sn為數列an的前n項和.已知 a.0, 6Sn外 3a.4 .(1 )求a.的通項公式；2 2(2

7、)設 bn勺巴丄，求數列bn的前n項和 Tn.anan 119. (12 分)ABC 中，B60 ,AB2,ABC 的面積為 2.3 .(1 )求 AC ；(2)若D為 BC 的中點，E,F分別為AB,AC 邊上的點(不包括端點)，且 EDF 120 ,求DEF面積的最小值.20. (12 分)已知橢圓E2x:a2b1(ab0)的離心率為-，點 AC.3,在 E 上.2 2(1 )求 E 的方程；1(2)斜率不為 0 的直線 I 經過點 B(,0),且與E交于P, Q 兩點，試問：是否存在定點 C ,2使得 PCB QCB ?若存在，求 C 的坐標；若不存在，請說明理由.2x21.(12 分)

8、已知函數 f(x) (x ax 1)e .(1)討論 f (x)的單調性；(2)若函數 g(x) (x21)exmx 1 在1 ,)有兩個零點，求m的取值范圍.四、(二)選考題：共 10 分請考生在第 22、23 兩題中任選一題作答如果多做，則按所做 的第一題計分選修 4-4 :坐標系與參數方程x 2x 一2222.(10 分)在同一平面直角坐標系 xOy 中，經過伸縮變換后，曲線 G：x y 1 變y y為曲線 C2.第5頁(共 21 頁)(1 )求 C2的參數方程；(2)設 A(2,1)，點P是 C2上的動點，求 OAP 面積的最大值，及此時P的坐標.選修 4-5 :不等式選講(10 分)

9、123.已知函數 f(x) | x a| |x |.a(1)證明：f(x)2 ;1(2)當 a時，f (x)x b，求 b 的取值范圍.2第6頁（共 21 頁）2019-2020學年福建省泉州市高三（上）期末數學試卷（理科）參考答案與試題解析有一項是符合題目要求的1. （ 5 分）已知集合 Mx|xx 0,Nx|x1，則（)A.M NB.NMC.MUNRD.MIN【解答】解：因為集合 M x|x2x0(0,1),Nx|x1，所以 MIN故選：D.2. （ 5 分）若復數 z 滿足 z（1 i）2 3i ，則 z ()1 515C.515 1A.iB.-iiD.i2 222222 2【解答】解：

10、由已知得2 3iz(23i)(1i)15.i ,1 i(1 i)(1i)22x y 2, 0,3. （ 5 分）若x,y滿足約束條件3x y 1-0,則 z 4x 2y 的最小值為（）y, 2,A .17B.13C.藝3D. 20【解答】解：該可行域是一-個以A(3 , 2),3B(4,2) , C(-,勺為頂點的三角形區域（包括邊界）.當動直線 y2x過點 C（373, 一）時，z 取得最小值,22 2此時 z 4 (3)72 (-)13 ,22故選：B.、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只第7頁（共 21 頁）內作一直線 mi使 m/m，又

11、因為 m ，所以 m ，又 mi,，即為真命題.綜上，為真命題,故選：C .25. （5 分）函數 f（x） xlnx 的圖象大致為（）4. （5 分）已知m,n是兩條不同的直線，是兩個不重合的平面. 給出下列四個命題:若 /, m，則 m/ /;若 m /n ,n，則 m/;若，則;若m/,m ，則其中為真命題的編號是A .C.D.【解答】解：中，若/，則內任一直線與平行，即為真命題.中，若m/n ,n，則 m /或m，即為假命題.中，若，則 m或 m/或m與 相交但不垂直，即 為假命題.中，若m /,則可在第8頁（共 21 頁）第9頁（共 21 頁）2 2x y .A.1232 2x y

12、.B.143條漸近線的距離相等,不妨取漸近線為 yx，即 bx ay 0 , a所以 b 3 ,故選：C.7. （ 5 分）執行如圖所示的程序框圖，則輸出 S 的值為（【解答】解：首先，x 0, f（x）為奇函數，排除B;1 2又 f（ ）0，排除 C ；e e當 x 0 時,故選：D.1(x) 2lnx 20 ,極值點 x -，排除A;e2 26.（5 分）已知雙曲線C:篤爲1（aa b0,b0）的實軸長為 4,左焦點F到 C 的一條漸近線的距離為 3,則 C 的方程為（）【解答】解：因為實軸長 2a4，所以 a2 , F（ c,0），由對稱性，雙曲線的一個焦點到兩點 F（ c,0）到漸近線

13、的距離 d|b( c) 0|.a2b2be所以 C 的方程為:x21.,2C.2上12xD.21 149169第10頁(共 21 頁)故選：D.& （ 5 分）明代朱載埴創造了音樂學上極為重要的“等程律”在創造律制的過程中，他不僅給出了求解三項等比數列的等比中項的方法，還給出了求解四項等比數列的中間兩項的方法.比如，若已知黃鐘、大呂、太簇、夾鐘四個音律值成等比數列，則有大呂黃鐘 太簇，2 2大呂3黃鐘 夾鐘，太簇 ,3黃鐘 夾鐘.據此，可得正項等比數列a.中，ak（）A .n k1akganB.n k-1a1gann k1009【解答】解: 依題意，程序運行后得C. 1009D. 10

14、10T 0 2 4 62018.解法一：S N T(1 0)(3 2)(5 4)(20192018) 1010解法二：N1010(1 2019)1010 1010,21010 (0 2018)T1010 1009 ,2N2019,51 3所以 S N T 1010 1010 1010 1009 1010 (1010 1009)1010.第11頁（共 21 頁）亠n 1FIKklCaiSn【解答】 解：根據題意，該問題為已知等比數列的首項、末項球求數列中任意一項, 設數列的首項為a，末項為 an， 其公比 qn 1 an，則 qn 1邑，a ai則 aka qk 1ai(n|n)k na/kga

15、nk 1；故選：C .E:x28y 的焦點為F,過F的直線 l 與E交于A,B兩點，與x軸交于點 C .若A為線段 CF 的中點，貝 U |AB| ()A. 9B . 12C. 18【解答】解：依題意得 p 4，焦點 F(0,2),解法一：因為A為線段 CF 的中點，所以 A( 2 2 , 1) ,KAF所以直線AF的方程為 y -lx 2，將其代入 x28y 得 x24/設 A(x ,yj , B(X2, y2)，則 xx22罷,y1y? (x1x?)4 5 ,4所以 | AB | y1yp 5 4 9 ;解法二：(幾何法)延長 BC 交準線 y 2 于D,過點A作AM垂直準線交準線于M，過

16、點B作 BN 垂直準線交準線于 N，準線與y軸交于FDH中原點 O 是線段FH的中點，所以點 C 是線段DF的中點.易得 |FH | 4 , | AM | | AF | | AC | 3 , | AD | 3| AC | 9 ,設 | BF | | BN | k ,因為 DMAsDNB ,所以型迪 3，解得 k 6,| BN | |DB| k 12 k因此 |AB | 3 6 9 ,故選：A.9. ( 5 分)已知拋物線D. 722 1 20(2.2)42 2x 160,第12頁(共 21 頁)210. （ 5 分）已知 aIog e, beIn ,c Ine，則（）A. a bcB.bc a

17、C. b a cD. c b a【解答】解: Qe ,b1e2，又 Q b c 1c b .1a c(2In )1In2 2 2 0 .InIna c.b c a .故選：B.直線 I 過定點 P( 4,0)，過圓心 O 作 OM I 于M,uuir uur luuin1 iuu2uun即 AOgAB I AM AB I| AB |22， | AB | 2，曲線 y 9 x2是圓心為原點，半徑 r 3 的上半圓.圓心到直線1的距離d：斗，uuir uni兩點，且 AOgAB2，則 k ()A .乜B .二C. 132【解答】解：直線 kx y 4k 0 ,即 k(x 4) y 0 ,11. （

18、 5 分）在平面直角坐標系0 與曲線 y . 9 x2交于A,BxOy 中，直線 l : kx y 4k第13頁（共 21 頁）wr2,9(:丿2，解得：k 1 , 當 k 1 時，直線 I 與曲線 y 9 x2無交點，舍去.故選：C .12. (5 分)已知正三棱柱 ABC ABQ 的所有棱長都為 3,D是BC的中點，E是線段AD上的動點.若三棱錐 E ABC 的四個頂點都在球 0 的球面上，則球 0 表面積的取值范圍為()21273273A . 8 ,B. 16 ,C. ,21 D. 16, 21 21616【解答】解：如圖所示，設上下底面中心分別為 0, , 02，球心為 0 點.則 A

19、02A01-333 .32設 0 E x , 002y ,2 2 2 2 2則 R y 3, R x (3 y),2可得：y1. x 0 ,3.6x2球 O 表面積S 4 (仃3 16, 21 .6故選：D.二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13. (5 分)已知向量 a (x,2) , b (2,1)，且 a/b，則 | |舌舌| | _2 5第14頁(共 21 頁)rr【解答】解：由 a (x,2) , b (2,1)，且 a/b ,第15頁(共 21 頁)故答案為:則 f( e) 9 , 故 f(0) f( e) 9 ;故答案為：9 .取值范圍為(1,4.3_【

20、解【解答】解：Q 函數 f (x) sin( x )(6x 2k,k Z ,62剟 x2k4,k Z ,332 -4剟2k可得 2k解得：4k得：x2 20，即 x 4,r|a|4222, 20 2 .5 .14. (5 分)記 Sn為數列an的前n項和若 2%!an0 , Q 93，則 a53【解【解答】解：由 2an!an0 得 an 1an2，所以數列尋尋是公比 q12 的等比數列，則 S593ai(132，則玄玄勺 48，故 a511 -24小ae3.15. (5 分)已知函數 f(x)是定義在R上的奇函數，當 x 0 時，f(x1) 3f(x);當 x (0 ,1時，f (x) ln

21、 (x 2)，則 f (0) f ( e)【解【解答】解：根據題意，函數 f(x)是定義在R上的奇函數，則 f(0)0, f( e) f (e),又由當x 0 時，f (x 1) 3f (x)，則 f(e)3f (e 1) 9f (e 2)ln(e 2 2)9，16. ( 5分)若0)在,)單調，且在(0,)存在極值點，則 的30)在區間(？，)內單調,故答案為：2.5 第16頁（共 21 頁）可得閃， 再根據在(0,)存在極值點,2k2 剟設平面PBC的一個法向量為m(x ,y, z).第17頁（共 21 頁）所以 1,4 ；3故答案為：(1 ,4.3三、解答題: 共 70 分.解答應寫出文

22、字說明、證明過程或演算步驟第 1721 題為必考題,每個試題考生都必須作答第 22、23 題為選考題，考生根據要求作答（一）必考題：共 6017. （12 分）如圖，四棱錐 P ABCD 的底面是正方形，PA平面 ABCD ,AE PD.（1）證明:AE平面 PCD ;（2）若AP AB，求二面角 B PC D 的余弦值.所以 PA CD .又底面 ABCD 是正方形，所以 AD CD .又 PAIAD A，所以 CD 平面PAD.又AE平面PAD，所以 CD AE .又因為AE PD, CDIPD D , CD ,PD面 PCD , 所以AE平面 PCD .（2）解：因為PA平面 ABCD，

23、底面 ABCD 為正方形，所以PA AB,PA AD,AB AD，分別以AB、AD、AP所在的直線為x軸、y軸、z 軸建立空間直角坐標系 A xyz （如圖所示）.1 1E（0R），ULUUUU1 11)，(1,1)，AU(O/.UJU1 1由（1）得 AE （0,-,-）為平面 PCD 的一個法向量.2 2設PA AB1,則 A(0 , 0, 0),B(1 , 0, 0) , C(1 , 1 , 0) , D(0 , 1 , 0),P(0 , 0, 1),【解【解答】解：（1）證明：因為PA平面 ABCD , CD平面 ABCD ,UJUPB (1 , 0 ,第18頁（共 21 頁）UUDr

24、, PBgm x z 0人r由uuur，令x 1，得m(1,0，1),PC gm x y z 0rlum1因此 cos m,Au嘩21,|mgAE|返2由圖可知二面角 B PC D 的大小為鈍角.故二面角 B PC D 的余弦值為-.220, 6Snan3an4.（1 ）求an的通項公式;【解答】解：（1）由題意，當 n 1 時，6S6aa3a 4 ,整理，得a；3a14 0，解得a14，或a11 （舍去）.當n-2時，由26Snan3an4，可得：n26Sn 1an 13an 12 2anan 1-，求數列 g的前n項和 Tanan 1(2 )設 bn兩式相減，可得 6Sn6 Si126an

25、an3an2an 13 an 1,18. （12 分）記 Sn為數列an的前n項和.已知 a設平面PBC的一個法向量為m(x ,y, z).第19頁（共 21 頁）整理，得（anani）（anani3）0,Q an0,anan 13 數列an是首項為 4,公差為 3 的等差數列.求DEF面積的最小值.【解【解答】解：（1）因為 B 60 ,AB所以 BC 4 .所以 AC23（2 ）由（1）知，2 2aa 1bnanan 1(3n 1)2(3n 4)2233(3n1)(3n4)-3n 1 3n 4故 Tnb dbn33、33、33 、(2) (2) (2)4 77 103n13n 43 333

26、332n()4 77103n 13n 4332n(-)4 3n 49n2n.4(3 n4)19.(（12 分） ABC 中，B 60 ,AB 2,ABC 的面積為2、3 .數列an的通項公式為 an4 3( n 1)3 n 1 , nN*(1 )求 AC ；（2） 若D為 BC 的中點,E，F分別為AB， AC 邊上的點（不包括端，且 EDF120 ,所以SABCAB BC si nB122BC 乜 BC2由余弦定理，得AC2AB2BC 2ABBC2cosB 2422 2 4-122(2 )設 BDE， 060 .在BDE中，由正弦定理，得BDBED sinBDBEDDEsin B第20頁（共

27、 21 頁）所以 DEsi n(60)在 CDF 中，由正弦定理，得CDsin CFDDFsinC 第21頁（共 21 頁）故DEF面積的最小值為 6 3 3 .（1 ）求 E 的方程;（2）斜率不為0的直線1經過點 B&0），且與E交于P，Q兩點，試問：是否存在定點 C，使得 PCB QCB ?若存在，求 C 的坐標；若不存在，請說明理由.【解答】解：（1）因為橢圓E的離心率 e 1，所以 3a24b2,a 2點 A（.3,3）在橢圓上，所以 目-71，2a 4b由解得 a24 , b23 ,2 2故E的方程為b1；43（2 ）方法一：假設存在定點C，使得 PCB QCB ,由對稱性

28、可知，點 C 必在x軸上，故可設 C（m,0）,因為 PCB QCB，所以直線 PC 與直線 QC 的傾斜角互補，因此 kpCkQC0,設直線1的方程為：x ty 扌扌，P(X1，b1)，Q(x2，b2)，1x ty222由22，消去x，得(12t16)y 12ty 450 ,x- 143由（1）可得 C 30，所以 DF21cosSDEF-DE DF2sin EDF4si n(603)cos332.3cos22sin cos2sin(260 ) . 315 時，sin(260) 1 ,DEFSDEF32,36 3.3 2b1(a b10）的離心率為，點 A（ 3,2在E上.x20.（ 12

29、分）已知橢圓E：pa2第22頁(共 21 頁)(12t)2 2 24 (12t16)( 45)144t180(12t16)0,所以 ty1y212t12t24512t216因為 kPC0，所以X1my2xm所以y(X2m)y(xim)即 y1(ty2m)y2(ty11m)2整理得 2ty1y21(2m)(y1y2)所以 2t (1(2m)(12t12t2160，即90t m)(212t1612t)所以 90t11叫m)即90 12(1 m)tR恒成立,即(96 12m) t 0 對 tR 恒成立，所以 m 8 .所以存在定點 C(8,0)，使得 PCB方法二：如果直線 PQ 不垂直x軸,由對稱

30、性可知,占八、 、C 也必在x軸上.假設存在點 C(m,0)，使得PCBQCB , 即直線 PC 與直線 QC 的傾斜角互補,所以 kpC設直線 I 的方程為 y k(x1) , P(X , y),Q(X2,y2),k(x2y_31)，消去x,12 2得(4 k 3)x2 24k x k12 0,2 2(4k )2 24(4 k 3)(k12 )2180k1440，所以xiX24k24k2因為 kpckoo即 k(x112)(x2整理得 k2x1x2k21224k23射x1m1k(X2)(X12x1x20，所以y2x2m0，所以 y(x2m)m) 0.(mX2)m 0 ,2k224所以k24k

31、23整理得 k3m2244k23(m4k22)4k23m 0,0，對任意的 k R 恒成立,所以 m 8，故存在x軸上的定點 C(8,0)，使得 PCBQCB .2第23頁(共 21 頁)第24頁(共 21 頁)2x21.(12 分)已知函數 f(x) (x ax 1)e .(1) 討論 f (x)的單調性；(2)若函數 g(x) (x21)exmx 1 在1 ,2x(2)g (x) (x 2x 1)e m,(i)當 m,0時，g (x)-0 恒成立，g(x)在1 ,)上單調遞增，最多一個零點，不符合題意;(ii)當 m0 時，令 h(x)(x22x1)exm，貝 U h (x)(x2x4x 3)e -0 恒成立，故 g (x)在1 ,)上單調遞增，【解答】解： (1) f (x) e當 a0 時,f (x) ex(x當 a0 時,x (,1)，調遞減，當 x (a1,)時，f (x)當 a0 時,x (,1 a數單調遞減，0 ,函數單調遞增,),當 x (1,2x (a 2)x (ax1) e (x 1)x (a 1),1) 0，即 f(x)在1 ,)上單調遞增,f (x) 0,函數單調遞增，當 x (1,a