1、第八章多元函數(shù)微分法及其應用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念教學目標：掌握多元函數(shù)的概念，掌握二元函數(shù)的幾何表示、極限、連續(xù)的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 課時安排：2 課時重點：多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的連續(xù)性難點：多元函數(shù)的連續(xù)性教學法：講授法一.平面點集 n 維空間1.平面點集R2二RLRX, y R,yR?,坐標系平面；1Def:坐標平面上具有某種性質(zhì)的點的集合。記為E - x, yX, y 是具有某種性質(zhì) pf女口 ：圓內(nèi)：X,y x2+y2：r2鄰域：設 poXo,y為 xoy 平面上一點 0。與 Po的距離小于的點 p x,y的全體稱為點 p0的鄰域，記為：U (Po, 6 )=

2、p|ppo|V = (X, y J(x _Xo )2 +(y _yo 6)注：幾何上：圓內(nèi)部的點全體；o U Po,U Po。3內(nèi)點，外點，邊界點i內(nèi)點：若 點 P 的某個鄰域 U p s.t.U p E，則稱 P 為 E 的內(nèi)點；ii外點：若點 P 的某個鄰域 U p s.t.U p - E=_ ,則稱 P 為 E 的外點；iii邊界點：若點 P 的任一鄰域內(nèi)既含有屬于 E 的點，又含有不屬于 E 的 點，則稱 P 為 E 的邊界點注：E 的邊界點的全體，稱為 E 的邊界，記作:E ；內(nèi)點E，外點E，不邊界點不一定；-pR2和 E R2，三種關系必具之一。o4聚點：如果- -O,U Pr 內(nèi)

3、總有 E 中的點，稱 P 為 E 的聚點；注：聚點可以E,也可以E，如 E=x,y /x2，y2空2?；例中邊界點都是聚點，但邊界點不總是聚點；聚點 P 的 U P,中有無窮多個 E 中的點。5開集閉集連通集i 開集：E 的點全是的內(nèi)點，稱 E 為開集；ii 閉集：E 的余集EC 為開集，E 為閉集；開集：X, y 1x2y22 J；閉集：Ix, yx2y2 2：；非開非閉集：x, y 11是開集，非區(qū)域，2. n維空間體Rn=RLRLIR =(x_,X2, Xn),x 嚴 R,i =1,2,nN 為 n 維空間, 注：Rn；X為一個點；Xi為第 i 個坐標.2線性運算：-X，A R, 有:

4、X - y SX!- yi,Xn yn；X =X1,X2 Xn，R。3距離：p X,yi=：Xi-y亠 亠Xn-yn?；4鄰域，區(qū)域，內(nèi)點，開集等類似可定義。二元函數(shù)Def:取空 nN“，稱規(guī)定了線性運算的X1非區(qū)域;例2.求zx ln x y 的定義域;解: :+y0= Ax-0且x+y0?例3.設z=xf解:z=xf1- R稱 f 是由 D 確定的二元函數(shù),記作：z = f x, y , x, y Dii 注意問題：D 為定義域，f :法則（或映射）；z=f x,y 的圖形為空間的一個曲面，如：z=x2y2iii 定義域的求法：（自然定義域：使得對應法則有意義的數(shù)對集合）例 1.求z=ar

5、csin x2y2的定義域；解: x2+y2|蘭 1= x2+y2蘭 1（對于二元函數(shù)只需解出 x 與 y 的關系即可） D -x, y x2 y2_仁,而一元函數(shù)的定義域必須得出x_i 或 x _ i,.它是一個單連通的閉區(qū)域。z=x吧丿已知f x-y2,求 f x,y .數(shù) A,對-；.0,使得f220 c PP0(0 Q(x-x ) +(y-yo ) 0一兀：Xr X0方式，左右且沿直線；二元：p P0方式：p 以曲面入手 p。且可以不沿直線（方向任意，線路任意）；證明極限不存在的方法：取兩條不同的特殊路徑極限值不等。xy22小2,x,xy02x +y,疋義域為 R。2 20,x +y

6、=0方法一：lim f x, y = limx 0,0 x)0,y-= lim fx,y 不x QyjJ方法二:lim f x, y limx,y士x盧x,y zzkx思考題:2冷汽心,y y）式（0,0,0 0爲 一壬x y，冋 lim f x, y ?、0,（x,y ） = （0,0 ）四、多元函數(shù)的連續(xù)性、定義：蟲f（X, y ）=f（X0,y）（函數(shù)在 U（p）有定義），稱 f （x,y ）在XX0yT0點 f X,y連續(xù)。（滿足三條）若在區(qū)內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，若在區(qū)域內(nèi)連續(xù) 且邊界上每一點均連續(xù)，則稱在區(qū)域上連續(xù)；2、連續(xù)與極限存在的關系：連續(xù) =極限存在（反之不成立

7、）；3、f x,y 在 x,y連續(xù)例：f x,y)=證：limx0,yf x, y 不存在。=0,limXh2x 2x xkx21 k2x2lim fx,y 不7=f x,y在 x=xo處連續(xù)，f x,y 在 y=y處連續(xù);說明二次函數(shù)在 xo,yo處連續(xù)一定能推出此結(jié)論，反之不能xy22, x, y = 0,0,反例：f x,y二x丫,在 0,0 處不連續(xù)o,（x,y ）=（0,0 ）而 f x,0 =0 在 x=0 處連續(xù)；f 0,y：i=0 在 y=0 處連續(xù)4、間斷點：、定義：不連續(xù)的點稱為間斷點；、注意：多元函數(shù)的間斷點可以為點，也可以是線。如口：i、f x, y 二2xy2在 0,

8、0 處間斷；x + yii、f x, y = 12在 x2y2=1 上間斷；（形成一條線）x +y -15、多元初等函數(shù)的連續(xù)性、多元初等函數(shù)的定義（三要素）：i、 用一個式子表達；ii、 用常數(shù)和具有不同自變量的一元初等函數(shù);iii、 有限次四則運算和復合運算形成的。如：earcsinln xy、多元函數(shù)在其定義域內(nèi)均連續(xù)。6、閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：、最值定理：閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)在此區(qū)域上一定取得最大值、 最小值；、介值定理：閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)在此區(qū)域上一定取得介于最大 值、最小值之間的任何值；五、例題分析：求極限求極限的方法： 、利用連續(xù)性；、轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)方法求出（多元函數(shù)無洛必達法則）In (x +ey求lim2- 2xTx + V0解：原式=ln2 （原理：禾U用了連續(xù)性）7例 2： lim x2x0y0y2S2y2解：令二、x2y20 ；即為 p 到 p0兩點之間的距離公式例 3：原式=吧sinsin1r2=0=0 無窮小乘以有界量lim x y sin cos；沁xy解：0 -.11x y sin cos- x yWx+y Wx + y-s0 （夾邊原理）例 4：limxyxy一1 1 i i0 0型 采用根式 有理化；馮 xy10 丿原式=limxyxy xy 1+1例 5：2 2x2