1、第第 3 3 課時課時函數的奇偶性與周期性函數的奇偶性與周期性一、填空題一、填空題1已知函數已知函數 f(x)1mex1是奇函數，則是奇函數，則 m 的值為的值為_解析：解析：f(x)f(x)，即，即 f(x)f(x)0，1mex11mex10，2mexex1mex10，2mex1(1ex)0，2m0，m2.答案：答案：22設設 f(x)是定義在是定義在 R 上的奇函數，且當上的奇函數，且當 x0 時，時，f(x)2x3，則，則 f(2)_.解析：解析：設設 x0，則，則x0，f(x)2x3f(x)，故，故 f(x)32x，所以，所以f(2)3221.答案：答案：13已知函數已知函數 f(x)

2、a12x1，若，若 f(x)為奇函數，則為奇函數，則 a_.解析：解析：解法一：解法一：f(x)為奇函數，定義域為為奇函數，定義域為 R，f(0)0a12010a12.經檢驗，當經檢驗，當 a12時，時，f(x)為奇函數為奇函數解法二：解法二：f(x)為奇函數，為奇函數，f(x)f(x)，即，即 a12x1a12x1 .2a12x12x12x1，a12.答案：答案：124若若 f(x)ax2bx3ab 是定義在是定義在a1,2a上的偶函數，則上的偶函數，則 a_，b_.解析：解析：由由 a12a 及及 f(x)f(x)，可得，可得 a13，b0.答案：答案：1305設奇函數設奇函數 f(x)的

3、定義域為的定義域為5,5若當若當 x0,5時，時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式的圖象如圖所示，則不等式f(x)0 的解集是的解集是_解析解析：由奇函數的定義畫出函數由奇函數的定義畫出函數 y=f(x)，x-5,5的圖象的圖象由圖象可知由圖象可知 f(x)0 的解集的解集為為：x|-2x0 或或 2x5答案答案：x|-2x0 或或 2x56(2010全國大聯考三江蘇卷全國大聯考三江蘇卷)定義在定義在2,2上的偶函數上的偶函數 f(x)，它在，它在0,2上的圖象是一上的圖象是一條如圖所示的線段，則不等式條如圖所示的線段，則不等式 f(x)f(x)x 的解集為的解集為_解析：解析：f(x)f(x

4、)x 即即 f(x)x2，如圖，由數形結合法可知不等式的解集為，如圖，由數形結合法可知不等式的解集為2,1)答案答案：-2,1)二、解答題二、解答題7已知已知 f(x)是是 R 上的奇函數，且當上的奇函數，且當 x0 時，時，f(x)x3x1，求，求 f(x)的解析式的解析式解：解：設設 x0，則，則x0，f(x)(x)3x1x3x1.由由 f(x)為奇函數，為奇函數，f(x)f(x)x3x1f(x)，即，即 f(x)x3x1.x 0 時 ，時 ， f(x) x3 x 1 ， 又， 又 f(x) 是 奇 函 數 是 奇 函 數 f(0) 0 ， f(x) x3x1(x0)0(x0)x3x1(x

5、0).8f(x)是定義在是定義在 R 上的奇函數，且滿足上的奇函數，且滿足 f(x2)f(x)，又當，又當 x(0,1)時，時，f(x)2x1，求求 f()的值的值解：解：x(0,1)時，時，f(x)2x1.x(1,0)時，時，f(x)f(x)2x1，468，32.又又 f(x2)f(x)，知，知 f(x)是周期為是周期為 2 的函數的函數120，f()f(2)132112.9(南京市高三調研測試南京市高三調研測試)已知定義在實數集已知定義在實數集 R 上的偶函數上的偶函數 f(x)的最小值為的最小值為 3，且當，且當 x0時，時，f(x)3exa(a 為常數為常數)(1)求函數求函數 f(x

6、)的解析式；的解析式；(2)求最大的整數求最大的整數 m(m1)，使得存在實數，使得存在實數 t，對任意的，對任意的 x1，m，都有，都有 f(xt)3ex.解：解：(1)函數函數 yex是增函數，所以當是增函數，所以當 x0 時，時，f(x)也是增函數又因為也是增函數又因為 f(x)是偶函數是偶函數，所以所以 f(x)minf(0)3a.又又 f(x)的最小值是的最小值是 3，故，故 3a3，a0.當當 x0 時，因為時，因為x0，所以，所以 f(x)f(x)3ex.綜上可知，綜上可知，f(x)3ex，x03ex，x0.(2)解法一：解法一：因為因為 x1，m時，有時，有 f(xt)3ex，

7、故，故 f(1t)3e.當當 1t0 時，時，3e1t3e，e1te,1t1，1t0；當；當 1t0 時，同理可得，時，同理可得，2t1；從而必有從而必有2t0.同樣地，由同樣地，由 f(mt)3em 及及 m2，得，得 etemem.由由 t 的存在性知，上述關于的存在性知，上述關于 t 的不等式在區間的不等式在區間2,0上必有解上必有解因為因為 et在區間在區間2,0上的最小值是上的最小值是 e2，所以所以 e2emem，即，即 eme3m0，令令 g(x)exe3x，x2，)，則，則 g(x)exe3.由由 g(x)0，得，得 x3.當當 2x3 時，時，g(x)0，g(x)是減函數；當

8、是減函數；當 x3 時，時，g(x)0，g(x)是增函數是增函數故故 g(x)的最小值是的最小值是 g(3)2e30，又，又 g(2)e2(12e)0，g(4)e3(e4)0，而而 g(5)e3(e25)0.由此可見，方程由此可見，方程 g(x)0 在區間在區間2，)上有唯一解上有唯一解 m0(4,5)，且當且當 2xm0時，時，g(x)0；當；當 xm0時，時，g(x)0.即在即在 x2，)時滿足不等式時滿足不等式的最大實數解是的最大實數解是 m0，而當而當 t2，x1，m0時，時，f(x2)3ex3e(e|x2|1x)，在在 x1,2時，因為時，因為 e|x2|1e1x1，所以，所以 f(

9、x2)3ex0；在在 x(2，m0時，時，f(x2)3ex3e(ex3x)3e2(exe3x)3e2g(x)0.綜上所述，綜上所述，m 的最大整數是的最大整數是 4.解法二：解法二：滿足條件的最大整數滿足條件的最大整數 m 為為 4.先證先證 m4 符合題意：符合題意：取取 t2，當，當 x1,2時，因為時，因為 f(xt)3e|x2|3e2x3e,3ex3e，所以所以 f(x2)3ex；當當 x(2,4時，時，f(xt)3exf(x2)3ex3e(ex3x)3e2(exe3x)，令令 g(x)exe3x，則，則 g(x)exe3.由由 g(x)0，得，得 x3.當當 2x3 時，時，g(x)

10、0，g(x)是減函數是減函數；當當 3x4 時時，g(x)0，g(x)是增函數是增函數；故故 g(x)的最大值是的最大值是 g(2)和和 g(4)中的較大者中的較大者因為因為 g(2)e2(12e)0，g(4)e3(e4)0，故，故 g(x)0，即當，即當 x(2,4時，時，f(xt)3ex0，所以，所以 f(5t)15e.這說明這說明 x5 時時 f(xt)3ex 不成立綜上所述，不成立綜上所述，m 的最大整數是的最大整數是 4.1已知函數已知函數 f(x)x2ax(x0，aR)(1)當當 a2 時，解不等式時，解不等式 f(x)f(x1)2x1；(2)討論討論 f(x)的奇偶性，并說明理由

11、的奇偶性，并說明理由解：解：(1)x22x(x1)22x12x1，2x2x10，x(x1)0.原不等式的解集為原不等式的解集為x|0 x1(2)當當 a0 時，時，f(x)x2.對任意對任意 x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)為偶函數為偶函數當當 a0 時時，f(x)x2ax(a0，x0)，取取 x1 得得 f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，函數函數 f(x)既不是奇函數，也既不是奇函數，也不是偶函數不是偶函數2設函數設函數 f(x)在在(，)上滿足上滿足 f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在閉區間，且在閉區間0,7上只有上只有 f(1)f(3)0.(1)試判斷函數試判斷函數 yf(x)的奇偶性；的奇偶性；(2)試求方程試求方程 f(x)0 在閉區間在閉區間2 005，2 005上的根的個數，并證明你的結論上的根的個數，并證明你的結論解：解：(1)f(1)0，且，且 f(x)在在0,7上只有上只有 f(1)f(3)0，且，且 f(2x)f(2x)，令令 x3，f(1)f(5)0，f(1)f(1)，且，且 f(1)f(1)f(x)既不是奇函數，也不是偶函數既不是奇函數，也不是偶函數(2)f(10 x)f2(8x)f2(8x)f(6x)f7(