1、精選優質文檔-傾情為你奉上數學必修五余弦定理 教案【教學分析】：一、教學導圖二、【教學目標】1通過實踐與探究，會利用數量積證明余弦定理，提高數學語言的表達能力，體會向量工具在解決三角形的度量問題時的作用。2會從方程的角度理解余弦定理的作用及適用范圍，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。3會結合三角函數利用計算器處理解斜三角形的近似計算問題。4在方程思想指導下，提升處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯系與辯證統一。三、【教學重難點】教學重點：余弦定理的發現、證明過程及其基本應用。教學難點：理解余弦定理的作用及

2、適用范圍。突破關鍵：將余弦定理的三個公式視為三個方程組成的方程組。教學設計一、溫故引新 特例激疑1，正弦定理是三角形的邊與角的等量關系。正弦定理的內容是什么？你能用文字語言、數學語言敘述嗎？你能用哪些方法證明呢？正弦定理：在一個三角形中各邊和它的對邊的正弦比相等，即：，其中為三角形外接圓的直徑。說明：正弦定理說明同一個三角形中，邊與它所對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數，使。2，運用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？由，可以解決“已知兩角及其一邊可以求其他邊?！薄耙阎獌蛇吋捌湟贿叺膶强梢郧笃渌?。”等解三角形問題。3，思考：如圖，在中，已知，求即。本題是“已知三角形的

3、兩邊及它們的夾角，求第三邊?！钡慕馊切蔚膯栴}。本題能否用正弦定理求解？困難：因為角未知, 較難求。二、類比探究 理性演繹（一）類比探究當一個三角形的兩邊和它們的夾角確定后，那么第三邊也是確定不變的值，也就是說角的對邊隨著角的變化而變化。當一定，變化時，可以認為是的函數，。當時，（勾股定理），為方便起見，考慮關于的函數，記作，即。當變化時，怎樣變化？考慮兩種極端情況：當時，則;當時，則;我們比較三種情形的異、同點：當時，則;當時，當時，則相同點:都含有；不同點:的系數不同；猜想：的系數與之間存在什么對應關系呢？。那么就得到了當角為三個特殊角時的公式：，這個公式是不是滿足任意三角形呢？憑感覺上述

4、公式應該滿足任意三角形，但是我們應該給出嚴格的證明。（二）理性演繹同學們來考慮，證明恒等式通常采用什么思考方法？這樣的結構我們在什么地方遇到過?證明：三、完善知識 剖析升華（一）完善知識（1）余弦定理：在中，則：；（第一種形式）。（2）語言表述：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。（3）變形：；（第二種形式）。（二）剖析升華（1）余弦定理與正弦定理一樣，也是任何三角形邊角之間存在的共同規律,余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.（2）等式含有四個量，從方程的角度看，已知其中三個量，總可以求出第四個量。（3）根據已知量與未知量的性質可以知道

5、，余弦定理可以解決有關三角形的哪些問題呢？利用余弦定理及推論可以解決以下兩類三角形的問題：已知三邊求三角形的三個角；已知兩邊及其夾角求三角形的其他邊與角。這兩種類型問題在有解時都只有一個解，把“邊、邊、邊”和“邊、角、邊”判定三角形全等的定理從數量化的角度進行刻畫，使其變成了可計算的公式。（4）從余弦定理和余弦函數的性質可知：在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；四、例題示范 遷移運用（一）例題示范例1：中，求這個三角形的最大角。解：，這

6、個三角形的最大角是。所以這個三角形的最大角是。引申：已知三角形三邊長為，怎樣判斷是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？例2：中，求及。解：根據余弦定理可知：；又。思考：你可以用平面幾何知識求解本題嗎？分析：如圖，在，過作于，則，在中，。例3：如圖所示，有兩條直線和相交成角，交點是，甲、乙兩人同時從點分別沿方向出發，速度分別是，時后兩人相距多遠(結果精確到)？分析：經過時，甲到達點，乙到達點，問題轉化為在中，己知，求的長。解：經過時后，甲到達點，乙到達點，依余弦定理，知：答：時后兩人相距約。例4：下圖是公元前約年古希臘數學家泰特托斯用來構造無理數的圖形。試計算圖中線段的長度及的大小(長度精確到

7、，角度精確到)。解：在中，因為所以在中，因為所以思考：你還能用其他方法求線段的長度及的大小嗎？（二）、遷移運用1、在中，則三角形為 ( C )A直角三角形 B銳角三角形C等腰三角形 D等邊三角形2、在中，則 。（）3、在中，已知，判斷的類型。（鈍角三角形）4、平行四邊形兩條鄰邊的長分別是它們的夾角是45°,求這個平行四邊形的兩條對角線長與它的面積.（和，）五、歸納小結 反思拓展（一）歸納小結1、余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。能否用余弦定理證明勾股定理呢？2、余弦定理有兩個基本應用：一是已知三邊求三角,二是已知兩邊及他們的夾角求第三邊。3、余弦定理和正弦定理是同一三角形的約束條件的不同表現形式，在本質上應該是一致的。（二）反思拓展1、余弦定理和正弦定理反映了同一三角形邊、角之間的的度量關系,本質上時一致的.你能證明這兩個定理時等價的嗎?2、總結解三角形的方法：已知三角形邊角中哪三個量，有唯一解或多解或無解？分別用什么方法？六、作業1、P51 練習第1、2題；2、習題2-1 A