1、生成生成Del aunay三角網(wǎng)的合成算法三角網(wǎng)的合成算法 一種生成一種生成Delaunay三角網(wǎng)的合成算法三角網(wǎng)的合成算法 2000 武曉波，王世新，肖春生武曉波，王世新，肖春生 生成生成Del aunay三角網(wǎng)的快速合成算法三角網(wǎng)的快速合成算法 吳宇吳宇曉，張登榮曉，張登榮 2019 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)20多年的研討，自動(dòng)生成多年的研討，自動(dòng)生成Delaunay三角網(wǎng)三角網(wǎng)的算法已趨于成熟。它們根本上可分為分治算的算法已趨于成熟。它們根本上可分為分治算法逐點(diǎn)插入法、三角網(wǎng)生長(zhǎng)法等法逐點(diǎn)插入法、三角網(wǎng)生長(zhǎng)法等3類(lèi)。其中前類(lèi)。其中前兩類(lèi)較第兩類(lèi)較第3類(lèi)在運(yùn)用戶上更加廣泛。但即使這類(lèi)在運(yùn)用戶上更加廣泛。但

2、即使這兩類(lèi)算法也分別存在著時(shí)間和空間效率上的缺兩類(lèi)算法也分別存在著時(shí)間和空間效率上的缺陷，使它們的運(yùn)用遭到了一定的限制。武曉陷，使它們的運(yùn)用遭到了一定的限制。武曉波波,2000提出了一個(gè)融以上兩類(lèi)算法優(yōu)點(diǎn)于一提出了一個(gè)融以上兩類(lèi)算法優(yōu)點(diǎn)于一體，兼顧空間與時(shí)間性能的合成算法。經(jīng)測(cè)試，體，兼顧空間與時(shí)間性能的合成算法。經(jīng)測(cè)試，它的運(yùn)算效率大大高于逐點(diǎn)插入法，在大多數(shù)它的運(yùn)算效率大大高于逐點(diǎn)插入法，在大多數(shù)情況下，也高于分治算法，在分割閾值約為總情況下，也高于分治算法，在分割閾值約為總數(shù)據(jù)量的非常之一時(shí)，效率最高。數(shù)據(jù)量的非常之一時(shí)，效率最高。 1引言分治算法和逐點(diǎn)插入法由于易于實(shí)現(xiàn)，是當(dāng)前運(yùn)用較廣

3、的兩類(lèi)算法。這兩類(lèi)算法所采用的實(shí)現(xiàn)方法決議了它們存在著明顯的局限性，分治算法需求大量的內(nèi)存，逐點(diǎn)插入法運(yùn)轉(zhuǎn)速度極慢。當(dāng)數(shù)據(jù)量較大或計(jì)算機(jī)性能較差時(shí)，它們的運(yùn)用都將遇到困難。 武曉波,2000提出了一個(gè)勝利地處理了上述問(wèn)題的合成算法。該算法將逐點(diǎn)插入法嵌入到分治算法中，使它們優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，彌補(bǔ)了各自的缺陷。經(jīng)過(guò)一個(gè)有2533個(gè)點(diǎn)數(shù)據(jù)測(cè)試，闡明合成算法的運(yùn)算效率大大高于逐點(diǎn)插入法，在大多數(shù)情況下也高于分治算法 2己有算法引見(jiàn)己有算法引見(jiàn)2. 1分治算法分治算法2. 2逐點(diǎn)插入法逐點(diǎn)插入法2. 3三角網(wǎng)生長(zhǎng)法三角網(wǎng)生長(zhǎng)法 3合成算法合成算法 由以上引見(jiàn)不難看出，目前采用較多的前兩由以上引見(jiàn)不難看出，目前

4、采用較多的前兩類(lèi)算法各具優(yōu)勢(shì)又有局限，同時(shí)，它們又具有類(lèi)算法各具優(yōu)勢(shì)又有局限，同時(shí)，它們又具有明顯的互補(bǔ)性。分治算法時(shí)間性能好，空間性明顯的互補(bǔ)性。分治算法時(shí)間性能好，空間性能差能差;逐點(diǎn)插入法空間性能好，時(shí)間性能差。逐點(diǎn)插入法空間性能好，時(shí)間性能差。我們?cè)u(píng)價(jià)一個(gè)算法的優(yōu)劣是看它對(duì)時(shí)間和空間我們?cè)u(píng)價(jià)一個(gè)算法的優(yōu)劣是看它對(duì)時(shí)間和空間的耗費(fèi)，即時(shí)空性能的綜合表現(xiàn)。因此，就產(chǎn)的耗費(fèi)，即時(shí)空性能的綜合表現(xiàn)。因此，就產(chǎn)生了一個(gè)非常自然的想法，為何不把它們結(jié)合生了一個(gè)非常自然的想法，為何不把它們結(jié)合起來(lái)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，從而提高算法的性能呢起來(lái)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，從而提高算法的性能呢? 把分治算法與逐點(diǎn)插入法結(jié)合起來(lái)的

5、詳細(xì)把分治算法與逐點(diǎn)插入法結(jié)合起來(lái)的詳細(xì)做法是，以分治算法為主體，當(dāng)遞歸分割做法是，以分治算法為主體，當(dāng)遞歸分割數(shù)據(jù)集的過(guò)程進(jìn)展到子集中的數(shù)據(jù)量小于數(shù)據(jù)集的過(guò)程進(jìn)展到子集中的數(shù)據(jù)量小于一個(gè)預(yù)定值一個(gè)預(yù)定值分割閾值時(shí)終止，然后用逐分割閾值時(shí)終止，然后用逐點(diǎn)插入法在子集中生成子三角網(wǎng)。我們把點(diǎn)插入法在子集中生成子三角網(wǎng)。我們把這一新的算法稱(chēng)為合成算法。它的流程圖這一新的算法稱(chēng)為合成算法。它的流程圖見(jiàn)圖見(jiàn)圖1。其中。其中v表示數(shù)據(jù)集表示數(shù)據(jù)集:Nv是是V的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量量;Nd是分割閾值是分割閾值;Nl, Nr分別表示兩個(gè)子集分別表示兩個(gè)子集的數(shù)據(jù)量的數(shù)據(jù)量;Tl,Tr分別表示在子集中建立的兩分別表示

6、在子集中建立的兩個(gè)子三角網(wǎng)。個(gè)子三角網(wǎng)。 合成算法結(jié)合了傳統(tǒng)的遞歸分割法和逐點(diǎn)插入法的優(yōu)點(diǎn)，兼顧空間和時(shí)間性能然而，該算法不可防止地承繼了兩種傳統(tǒng)算法的缺乏，在執(zhí)行效率上遭到限制，為理處理執(zhí)行效率問(wèn)題，吳宇曉，張登榮 2019提出了快速合成算法，對(duì)合成算進(jìn)展了改良和優(yōu)化。該算法基于面積坐標(biāo)的點(diǎn)定位算法和簡(jiǎn)化的高效空外接圓判別算法，從而大大提高算法的整體執(zhí)行效率;同時(shí)充分思索平面點(diǎn)集的恣意性，適用于對(duì)恣意平面點(diǎn)集構(gòu)建Delaunay三角網(wǎng)。 4算法的根本模塊算法的根本模塊 為了便于分割，在執(zhí)行各模塊之前，首為了便于分割，在執(zhí)行各模塊之前，首先要對(duì)初始點(diǎn)集按升序以先要對(duì)初始點(diǎn)集按升序以x坐標(biāo)為主，

7、坐標(biāo)為主，y坐坐標(biāo)為輔進(jìn)展陳列，確保子三角網(wǎng)不相互疊標(biāo)為輔進(jìn)展陳列，確保子三角網(wǎng)不相互疊置置. 4. 1格雷厄姆法計(jì)算凸殼格雷厄姆法計(jì)算凸殼 4. 2初始三角網(wǎng)的建立與修正初始三角網(wǎng)的建立與修正 以凸殼上以凸殼上y值最小的點(diǎn)值最小的點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)P1)為出發(fā)為出發(fā)點(diǎn)，按序與凸殼上其他的點(diǎn)相連點(diǎn)，按序與凸殼上其他的點(diǎn)相連(如圖如圖3( b)所示所示). 需求留意的是，點(diǎn)集是恣意離散的，出發(fā)點(diǎn)需求留意的是，點(diǎn)集是恣意離散的，出發(fā)點(diǎn)P1能夠與多點(diǎn)共線能夠與多點(diǎn)共線.如圖如圖3 ( a)所示，點(diǎn)所示，點(diǎn)P1一一P5共共線，而現(xiàn)實(shí)上點(diǎn)線，而現(xiàn)實(shí)上點(diǎn)P2一一P4不參與構(gòu)成初始三角網(wǎng)，不參與構(gòu)成初始三角網(wǎng)

8、，因此，需求在建立初始三角網(wǎng)前對(duì)凸殼進(jìn)展修因此，需求在建立初始三角網(wǎng)前對(duì)凸殼進(jìn)展修正。假設(shè)存在點(diǎn)正。假設(shè)存在點(diǎn)P3, P4,.Pk(2 kn)，與，與P1P2共共線，那么必需刪去點(diǎn)線，那么必需刪去點(diǎn)P2, P3, ., Pk-1，并由，并由P1Pk替代替代P1P2成為初始邊成為初始邊.同樣，假設(shè)存在點(diǎn)同樣，假設(shè)存在點(diǎn)Pk,Pk+1.,Pn-1(2 k0, L 20, L 30; 假設(shè)P在三角形外，那么至少有一個(gè)面積坐標(biāo)小于零.如圖4( b)所示，P在三角形P2P3邊外側(cè)，那么 L10, L 30;假設(shè)P在三角形邊上(這兒排除P與三角形頂點(diǎn)重合的情況)，那么必有值為0的面積坐標(biāo).如圖4c所示，P

9、在三角形P2P3邊上，那么有L1=0, L 20, L 30; 綜上分析可知，正是小于綜上分析可知，正是小于0的面積坐標(biāo)指明的面積坐標(biāo)指明了目的三角形的方向了目的三角形的方向.在建立了三角形拓?fù)湓诮⒘巳切瓮負(fù)潢P(guān)系的三角網(wǎng)中，利用面積坐標(biāo)的這一特關(guān)系的三角網(wǎng)中，利用面積坐標(biāo)的這一特性，可很快查到包含點(diǎn)所在的三角形或所性，可很快查到包含點(diǎn)所在的三角形或所處的三角邊處的三角邊. 基于面積坐標(biāo)的定位過(guò)程如圖基于面積坐標(biāo)的定位過(guò)程如圖5所示所示.設(shè)三角形設(shè)三角形P1P2P3為搜索的起點(diǎn)，計(jì)算點(diǎn)為搜索的起點(diǎn)，計(jì)算點(diǎn)P的面積坐標(biāo)可知的面積坐標(biāo)可知L10, L 20, L 30都大于都大于0，那么點(diǎn)，那么

10、點(diǎn)P在三角形在三角形P7P6P8內(nèi)內(nèi);假設(shè)假設(shè)Li(i=1，2, 3)=0，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)P在在Li所對(duì)應(yīng)的邊上所對(duì)應(yīng)的邊上. 4.3.2點(diǎn)定位后的三角網(wǎng)修正點(diǎn)定位后的三角網(wǎng)修正 由于一切待插入點(diǎn)必在凸殼內(nèi)，所以待由于一切待插入點(diǎn)必在凸殼內(nèi)，所以待插入點(diǎn)必在三角形內(nèi)或三角邊上插入點(diǎn)必在三角形內(nèi)或三角邊上.跟據(jù)點(diǎn)與跟據(jù)點(diǎn)與所處三角形的關(guān)系，點(diǎn)插入三角網(wǎng)的情況所處三角形的關(guān)系，點(diǎn)插入三角網(wǎng)的情況及相應(yīng)的三角網(wǎng)修正方法分為如下及相應(yīng)的三角網(wǎng)修正方法分為如下3種情況種情況(見(jiàn)圖見(jiàn)圖6) . 插入點(diǎn)在三角形內(nèi).如圖6( a)所示，待插入點(diǎn)P在三角形P1P2P3內(nèi).此時(shí)，將點(diǎn)P與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)相連，構(gòu)

11、成3個(gè)三角形. 待插入點(diǎn)在非凸殼邊上.由于所在邊不是凸殼邊，此邊必是兩個(gè)三角形的公共邊.如圖6( b)所示，待插入點(diǎn)P在邊P2P3上，P2P3是三角形P1P2P3和P2P3P4的公共邊.此時(shí)，點(diǎn)P與P2P3兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1和P4相連，構(gòu)成4個(gè)三角形. 待插入點(diǎn)在凸殼邊上. 凸殼邊有且僅有一個(gè)相鄰三角形，因此圖6(c)中，只需將點(diǎn)P與P2P3獨(dú)一的相鄰三角形P1P2P3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1相連，構(gòu)成兩個(gè)三角形. 4.4 LOP優(yōu)化 一旦三角網(wǎng)被修正，必需進(jìn)展LOP優(yōu)化.運(yùn)用Delaunay空外接圓準(zhǔn)那么調(diào)查新生成三角形，如不滿足，那么互換與相鄰三角形所組成的凸四邊形的對(duì)角線.假設(shè)對(duì)角線發(fā)生交換，那

12、么繼續(xù)向相鄰三角形擴(kuò)展此過(guò)程，直至滿足空外接圓準(zhǔn)那么或到達(dá)三角網(wǎng)邊境. LOP優(yōu)化時(shí)，首要的問(wèn)題是對(duì)新增三角形和其相鄰三角形所組成的凸四邊形進(jìn)展空外接圓檢測(cè).在算法中，空外接圓檢測(cè)具有累計(jì)性，當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，其在整個(gè)程序執(zhí)行中所占用的時(shí)間不容忽視.該檢測(cè)過(guò)程是一個(gè)數(shù)值分析與計(jì)算過(guò)程，因此應(yīng)在計(jì)算穩(wěn)定可靠的前提下，盡量減少計(jì)算次數(shù)和低效的函數(shù)，從而提高執(zhí)行效率.下面提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的空外接圓檢測(cè)算法. 如圖7所示，新增三角形PP3P2與三角形P1P2P3相鄰，組成凸四邊形，且有公共邊P2P3.當(dāng)a a時(shí)，點(diǎn)P在三角形P1P2P3的外接圓內(nèi).由于a+B=180，故經(jīng)過(guò)比較cos a和cosB的大小來(lái)

13、判別點(diǎn)P與三角形P1P2P3的外接圓的關(guān)系. 假設(shè)假設(shè) 點(diǎn)點(diǎn)P在三角形在三角形P1P2P3的外接圓外的外接圓外; 假設(shè)假設(shè) 點(diǎn)點(diǎn)P在三角形在三角形P1P2P3的外接圓上的外接圓上; 假設(shè)假設(shè) 點(diǎn)點(diǎn)P在三角形在三角形P1P2P3的外接圓內(nèi)的外接圓內(nèi). 如點(diǎn)P在外接圓內(nèi)，那么交換凸四邊形的對(duì)角線(如圖8 ( a)所示).當(dāng)點(diǎn)在外接圓上時(shí)，那么比較凸四邊形兩個(gè)對(duì)角線，保管較短的那條(如圖8(b)所示).假設(shè)凸四邊形的對(duì)角線發(fā)生交換，應(yīng)繼續(xù)向相鄰三角形擴(kuò)展優(yōu)化，直至被檢測(cè)三角形滿足空外接圓準(zhǔn)那么或到達(dá)三角網(wǎng)邊境. 4.5上下切線的查找算法上下切線的查找算法 該模塊找出銜接相鄰兩個(gè)子三角網(wǎng)的外該模塊找出

14、銜接相鄰兩個(gè)子三角網(wǎng)的外凸殼的上切線和下切線凸殼的上切線和下切線.設(shè)設(shè)SL, SR分別表示左分別表示左右兩個(gè)凸殼。右兩個(gè)凸殼。 首先在左凸殼首先在左凸殼SL上任取一凸殼點(diǎn)，按上述上任取一凸殼點(diǎn)，按上述三角形面積斷定法找出右凸殼上的第一條三角形面積斷定法找出右凸殼上的第一條通視邊的第一個(gè)凸殼點(diǎn)。假設(shè)無(wú)通視邊，通視邊的第一個(gè)凸殼點(diǎn)。假設(shè)無(wú)通視邊，那么在那么在SL上順時(shí)針取下一點(diǎn)再作搜索判別，上順時(shí)針取下一點(diǎn)再作搜索判別，直到找到通視邊。直到找到通視邊。 以右凸殼SR上剛找到的點(diǎn)仍按面積斷定法搜索左凸殼SL上最后一條通視邊的第二個(gè)凸殼點(diǎn)。 反復(fù)以上兩個(gè)步驟，在SL和SR上循環(huán)搜索，直到從SL上的凸殼點(diǎn)不再能找到SR上的通視邊，目從SR上的凸殼點(diǎn)也不再能找到SL上的通視邊。 此時(shí)，銜接在SL和SR上分別找到的最后的凸殼點(diǎn)，所連線即為左右凸殼的下底線。 2. 6子網(wǎng)合并 找到左右兩個(gè)了三角網(wǎng)的下底線后如圖(ac)中的，就可從下底線ac開(kāi)場(chǎng)向上分別在SL上找到a的上一個(gè)凸殼點(diǎn)b，在SR上找到c的下一個(gè)凸殼點(diǎn)d。對(duì)四邊形acdb經(jīng)過(guò)LOP優(yōu)化新生兩個(gè)三角形 abc和bdc。 將新生三角形在左右兩個(gè)了三角網(wǎng)