1、非線性規則在電力系統中的應用 非線性規劃問題非線性規劃問題介紹介紹 非線性規劃問題分類非線性規劃問題分類 在電力系統中應用在電力系統中應用最優最優潮流潮流 經典算法分析經典算法分析對比對比 結語結語概要非線性規劃 定義 如果目標函數或約束條件中至少有一個是非線性函數時的最優化問題就叫做非線性規劃問題 一般形式: 其中 ， 是定義在En 上的實值函數。 Xfmin .,.,2 , 1 0 m;1,2,., 0. . ljXhiXgtsjinTnExxxX,21jihgf,有有約束問題約束問題m in ( )xf x無約束問題無約束問題m in ( )nx Rf x局部最優和全局最優解：局部最優和

2、全局最優解：局部最優解：局部最優解：一部分可行域上的極值點一部分可行域上的極值點全局最優解：全局最優解：整個可行域上的極值點整個可行域上的極值點二次規劃 定義 二次規劃(QP)是指目標函數為決策變量x的二次函數，而約束是線性函數的非線性規劃。 一般模型為：1min( )2TTf xxc xx H11. st22A xbA x = b二次規劃問題是最早被研究的一類非線性規劃，也是最簡單的一類非線性規劃約束優化問題。非線性規劃的求解方法 非線性規劃一維優化方法約束最優化方法 黃金分割法 切線法 插值法 斐波那契法 拉格朗日乘子法 制約函數法 可行方向法 近似型算法 無約束優化方法解析法直接法梯度法

3、牛頓法 共軛梯度法 變尺度法 坐標輪換法 模式搜索法 旋轉方向法 單純形加速法 1.無約束條件的非線性規劃問題對于函數關系比較簡單的非線性規劃問題，可按極值存在對于函數關系比較簡單的非線性規劃問題，可按極值存在的必要條件和充分條件，按的必要條件和充分條件，按微分法微分法求解，對函數關系比較求解，對函數關系比較復雜的問題，常作復雜的問題，常作搜索法搜索法。 l 直接法：爬山法、一維搜索法直接法：爬山法、一維搜索法(0.618法法)、座標輪換法、座標輪換法l 解析法：梯度法、牛頓法、擬牛頓法、共軛梯度法解析法：梯度法、牛頓法、擬牛頓法、共軛梯度法 2.等式約束條件的非線性規劃問題)(XMinFmi

4、Xhi, 2 , 1,0)(約束方程數目約束方程數目m m 變量變量數數n n，除唯一解外無解。，除唯一解外無解。只有等式約束的非線性規劃問題通常可用只有等式約束的非線性規劃問題通常可用消元法、拉格朗日乘消元法、拉格朗日乘子法或罰函數法子法或罰函數法，將其化為無約束問題求解。，將其化為無約束問題求解。3.不等式約束條件的非線性規劃問題)(XMinFnTnjiExxxXmjXhliXgtS),(, 2 , 1, 0)(, 2 , 1, 0)(.21 拉格朗日乘子拉格朗日乘子法法 引入引入松馳變量的松馳變量的方法使不等式變方法使不等式變為等式，用求等為等式，用求等式約束非線性最式約束非線性最優化的

5、方法來解。優化的方法來解。 庫恩塔克條件庫恩塔克條件 非線性規劃領域中非線性規劃領域中的重要理論成果之的重要理論成果之一，是確定極值點一，是確定極值點的必要條件。的必要條件。 罰函數法罰函數法 內點法內點法 外點法外點法應用最優潮流 最最優潮流優潮流(Optimal Power Flow, OPF)就是當系統的結構參數及負荷情況給定時,，通過對某些控制變量的優選，所能找到的在滿足所有指定約束條件，并使系統的某一個或多個性能指標達到最優時的潮流分布。多種目標函數 電力系統網損最小電力系統網損最小發電發電費用最小費用最小無功補償經濟效益最大無功補償經濟效益最大可進行有功優化、無功優化及有功無功混合

6、優化計算數學模型 電力系統最優潮流的數學模型可以表示為：min( , ). .( , )0( , )0uf u xst g u xh u xf (,)u x()0,h u x(),g u x目標函數，通常為發電成本或網損；等式約束集，通常為以節點注入功率表示的潮流方程；不等式約束集，通常為運行的約束條件。經典方法 1968年由Dommel和Tinney提出，是能夠成功地求解較大規模的最優潮流問題并被廣泛采用的第一個算法。 Sun D.I. 等人于1984年提出，得到了國內外學者高度評價，成為上世紀九十年代發展最優潮流程序時優先予以選用的算法之一。 1984年，AT&T貝爾實驗室數學家K

7、armaikar提出了內點法。現已廣泛應用于電力系統最優潮流問題研究。簡化梯度法 基本原理基本原理目標函數的梯度方向是它最陡的上升方向，其負梯度方向便是目標函數最陡的下降方向。如果將負梯度方向取作搜索方向，即： 則目標函數可以得到最快的下降速度。( )( )()0,1,2,kkdf xk 最優潮流計算的簡化梯度算法是以極坐標形式的牛頓潮極坐標形式的牛頓潮流算法流算法作為基礎的。(1)僅有等式約束條件時的算法對于僅有等式約束的最優潮流計算，可以表示為 應用經典的拉格朗日乘子法，引入和等式約束g(u,x)0 中方程式數同樣多的拉格朗日乘子 ,則構成拉格朗日函數為 式中： 為由拉格朗日乘子所構成的向

8、量m in( ,). .( ,)0ufu xs tg u x( , )( , )( , )TL u xf u xg u x 這樣便把原來的有約束最優化問題變成了一個無約束最優化問題。 采用經典的函數求極值的方法，即將L L分別對變量x、u及求導并令其等于零，從而得到求極值的一組必要條件為 0TLfgxxx0TLfguuu( , )0Lg u x最優潮流的解必須同時滿足這三組方程。迭代求解算法的基本要點如下： (1)令迭代記數k=0 (2)假定一組控制變量u(0)； (3)由于式就是潮流方程，所以通過潮流計算就可以由已知的u 求得相應的x(k) (4)再觀察式， 就是牛頓法潮流計算的雅可比矩陣J

9、，利用求解潮流時已經求得的潮流解點的J及其LU三角因子矩陣，可以方便地求出 gx1Tgfxx (5)將已經求得的u、x及 代入式 ，則有 (6)若 ，則說明這組解就是待求的最優解，計算結束。否則，轉入下一步；(7)若 ，為此必須按照能使目標函數下降的方向對u進行修正然后回到步驟(3)。這樣重復進行上述過程，直到式得到滿足，即 為止。10TTLfggfuuuxx0Lu0Lu(1)( )( )kkkuuu0Lu該算法證明， 是在滿足等式約束條件（潮流方程）的情況下目標函數在維數較小的u空間上的梯度，所以也稱為簡化梯度。 由于某一點的梯度方向是該點函數值變化率最大的方向，因此若沿著函數在該點的負梯度

10、方向前進時，函數值下降最快，所以最簡單方便的辦法就是取負梯度作為每次迭代的搜索方向，即取 式中c為步長因子。uLu( )kuuc 對收斂過程影響大第一類是關于自變量或控制變量u的不等式約束；第二類是關于因變量的不等式約束條件，通稱為函數不等式約束。(2)不等式約束條件時的算法（一）控制變量不等式約束（一）控制變量不等式約束 控制變量的不等式約束比較容易處理，若按照 對控制變量進行修正，如果得到的 使得任一個 超過其限值時，則該越界的控制變量就被強制在相應的界上，即(1)( )( )kkkuuu( )ku(1)kiu （二）（二）函數函數不等式約束不等式約束u函數不等式約束 h(u,x)0 無法

11、采用和控制變量不等式約束相同的辦法來處理，因而處理起來比較困難。目前比較通行的一種方法是采用罰函數法罰函數法來處理。u罰函數法的基本思路是將約束條件引入原來的目標函數而形成一個新的函數，將原來有約束最優化問題的求解轉化成一系列無約束最優化問題的求解。簡化梯度法缺點u工作量大工作量大簡化梯度法解算最優潮流缺點之一表現在其狀態變量維數較高, 意味著每次迭代用牛頓拉夫遜法解算潮流的工作量較大。u收斂性差收斂性差同時由于控制變量中一些分量的變動與另一些分量變動同樣比例所引起的目標函數值的變化很不相同, 這易使目標函數的Hessian矩陣的條件數較大, 進一步使得算法的收斂性變壞。u收斂速度慢收斂速度慢

12、簡化梯度法雖然從局部看, 每次迭代目標函數值下降最快, 但從全局看, 該法存在鋸齒現象,在最優解附近收斂相當緩慢。牛頓法 基本原理基本原理牛頓法OPF算法充分利用了電力網絡的物理特征, 開發了Hessian矩陣的導納稀疏結構, 把等式約束和起作用的函數不等式約束用Lagrange乘子引入到目標函數中, 直接對Lagrange函數的Kuhn-Tucker 條件進行牛頓法迭代求解,而起作用的簡單變量不等式約束用二次罰函數來處理。 不區分狀態變量和控制變量Hessian矩陣是對x二階導數用牛頓法對非線性代數方程組求解，于是得到優化的迭代格式為式中f(x(k)為目標函數f(x)的梯度向量；k為迭代次數

13、；H(x)= 2f(x)為目標函數f(x)的海森矩陣，是目標函數對于x的二階導數，故牛頓法又稱為海森矩陣法。算法的收斂判據是，算法的收斂判據是，| f(xf(x(k)(k)| )| 。OPF 牛頓法的算法: (1)置主迭代次數k= 0 和給定收斂判別誤差E, 并給各變量和Lag rang e 乘子( K) 賦初值; (2)選擇各變量的當前起作用集; (3)形成梯度向量; (4)根據各變量的當前起作用集, 修正梯度向量; (5)判斷是否滿足Kuhn-T ucker 條件, 若滿足則輸出優化結果并停止, 否則轉( 6) ; (6)判斷是否為可行解, 若是則轉( 7) , 否則轉( 9) ;(7)置

14、試驗迭代次數l= 0;(8)計算牛頓法OPF 列式左端矩陣W( k) , 并重新因子化形成因子表, 轉( 10) ;(9)根據各變量的當前起作用集, 修正W( k)陣的部分元素, 然后對其進行部分因子化, 并修正梯度向量;(10)利用前代、回代法求解方程組, 得到尋優方向;(11)更新各變量的值;(12)若是試驗迭代l= l+ 1, 否則k= k+ 1,轉( 2) 。牛頓法優缺點2、海森矩陣是稀疏矩陣, 可以充分應用稀疏技術, 適合大規模網絡計算。1、方程組求解過程中由于系數矩陣的“病 態”特性而導致的數值不穩定性; 2、難以準確識別起作用的不等式約束集。1、利用了目標函數的二階導數信息, 收

15、斂快; 缺缺點點優優點點內點法 基本思想基本思想從內點出發, 沿可行方向求出使目標函數值下降的后繼內點, 再從得到的內點出發, 沿另一個可行方向求出使目標函數值下降的內點, 重復得出一個由內點組成的序列, 使得目標函數值嚴格單調下降, 當滿足終止準則時停止迭代。避免了對不等式約束集的處理。避免了對不等式約束集的處理。投影尺度法( projective scaling ,即Karmarkar原型算法) 仿射尺度法( affine scaling ) 路徑跟隨法(path following , 又稱原原對偶內對偶內點算法點算法) 。三大類算法原對偶內點算法 一般步驟: 首先引入松弛變量,將不等式

16、約束化為等式約束, 然后在目標函數中引入對數障礙函數, 消除松弛變量的不等式約束,再運用Lagrange 乘子法引入等式約束, 把問題化為無約束的優化問題。對該問題求得其Kuhn-Tucker條件, 然后用牛頓法求取各變量的尋優方向, 并在每步迭代中選取一定的迭代步長求解各變量, 以保持解的原始可行性和對偶可行性。OPF 原對偶內點算法為: (1) 置主迭代次數k= 0 和給定收斂判別誤差E, 同時選擇合適的障礙參數值及希望每次迭代減少的對偶間隙倍數, 并給各變量和對偶變量賦初值; (2) 計算主OPF 列式右端矩陣; (3) 計算主OPF 列式左端矩陣, 并對該矩陣進行因子化形成因子表; (4) 利用前代、回代法求解主OPF列式方程組, 進而求出各原變量和對偶變量的迭加量, 得到尋優方向; (5) 確定各類變量的迭代步長; (6) 更新各變量的值; (7) 對障礙參數條件, 最大失配條件和梯度條件加以校驗, 若滿足, 則輸出優化結果并停止;否則轉( 8) ; (8) k= k+ 1, 更新障礙參數值, 轉( 2) 。三種算法對比簡化梯度法簡化梯度法牛頓法牛頓法內點法內點法原理簡單，易于實現具有二階收斂性計算速度快收斂速遞慢充分利用稀疏技術收斂性好罰因子