1、長安教育中心教研室主編1 / 9 知識是人類進步的階梯長安教育中心全等三角形復(fù)習(xí)知識要點一、全等三角形1 .判定和性質(zhì)一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS、角邊角（ASA） 角角邊（AAS、邊邊邊（SSS具備一般三角形的判定方法 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等對應(yīng)中線相等，對應(yīng)咼相等，對應(yīng)角平分線相等注： 判定兩個三角形全等必須有一組邊對應(yīng)相等;全等三角形面積相等.2.證題的思路：找夾角（SASSAS）已知兩邊找直角（HLHL）找第三邊（SSSSSS若邊為角的對邊，則找 任意角（AASAAS）找已知角的另一邊（SASSAS）邊為角的鄰邊找已知邊的對角（AASAAS

2、）找夾已知邊的另一角（ASAASA）性質(zhì)1、全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。2、全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。3、全等三角形的對應(yīng)角平分線相等。4、全等三角形的對應(yīng)中線相等。5、全等三角形面積相等。6 全等三角形周長相等。（以上可以簡稱：全等三角形的對應(yīng)元素相等）7、三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（SSS）8、 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。 （SAS）9、 兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。 （ASA）10、 兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（AAS）11、 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。（HL）已知一邊一角已知兩角找兩角的夾邊（

3、ASAASA）找任意一邊（AASAAS）長安教育中心教研室主編2 / 9 知識是人類進步的階梯運用1、性質(zhì)中三角形全等是條件，結(jié)論是對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等。 的判定卻剛好相反。2、利用性質(zhì)和判定，學(xué)會準確地找出兩個全等三角形中的對應(yīng)邊與 對應(yīng)角是關(guān)鍵。在寫兩個三角形全等時，一定把對應(yīng)的頂點，角、邊的順 序?qū)懸恢拢瑸檎覍?yīng)邊，角提供方便。3、當(dāng)圖中出現(xiàn)兩個以上等邊三角形時， 應(yīng)首先考慮用 SAS 找全等三 角形。4、用在實際中，一般我們用全等三角形測等距離。以及等角，用于 工業(yè)和軍事。有一定幫助。5、角平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等判定：至 U個角的兩邊距離相等的點在

4、這個角平分線上 做題技巧一般來說考試中線段和角相等需要證明全等。因此我們可以來采取逆思維的方式。來想要證全等，則需要什么條件另一種則要根據(jù)題目中給出的已知條件，求出有關(guān)信息。 然后把所得的等式運用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL 證明三角形全等。（二）實例點撥例 1 （ 2010 淮安） 已知：如圖，點 C 是線段 AB 的中點，CE=CD，/ ACD= / BCE。求證：AE=BD。解析：此題可先證三角形全等，由三角形全等得出對應(yīng)邊相等即結(jié)論成立。證明如下: 證明：點C 是線段 AB 的中點 AC=BC/ ACD= / BCE/ ACD+ / DCE= / BCE+ / DCE即/ A

5、CE= / BCD在厶 ACE 和厶 BCD 中,AC=BCV / ACE= / BCDLCE=CD ACE BCD ( SAS)而全等E長安教育中心教研室主編3 / 9 知識是人類進步的階梯 AE=BD反思：證明兩邊相等是常見證明題之一，一般是通過發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造三角形全等來得到對應(yīng)邊即要證邊相等，或者若要證邊在同一個三角形中，也常先證角相等，再用“等角對等邊”長安教育中心教研室主編來證明邊相等。例 2 已知：AB=AC , EB=EC , AE 的延長線交 BC 證明：BD=CD解析：此題若直接證 BD、CD 所在的三角形全 不夠，所以先證另一對三角形全等得到有用的角、邊論用來證明 BD、CD

6、所在的三角形全等。證明如下：證明：在厶 ABE 和厶 ACE 中 廠 AB=AC，彳 EB=EC，匚 AE=AEABEACE (SSS)/ BAE =Z CAE在厶 ABD 和厶 ACD 中廠 AB=AC彳 / BAE= / CAE匚 AD=AD ABD 也 ACD(SAS )BD = CD反思：通過證明幾次三角形全等才得到邊、角相等的思路也是中考中等難度題型的常考思路。此種題型需要學(xué)生先針對條件分析、演繹推理，逐步找出解題的思路，再書寫規(guī)范過 程。例 3. （2009 洛江中考）如圖，點 C、E、B、F 在同一直線上， AC / DF , AC = DF , BC =EF,求證：AB=DE.

7、【證明】/ AC / DF,C F在ACB禾口DFE中AC DFC F ACB和DFE中 AB=DE.BC EF17、（2010 潼南中考）如圖，四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形，點 G 是 BC 延長線上一點, 連結(jié)AG，點 E、F 分別在 AG 上，連接 BE、DF，/仁/ 2 , / 3=/4.（1）證明： ABEDAF ;3 / 9 知識是人類進步的階梯于 D，試等，條件相等的結(jié)長安教育中心教研室主編5 / 9 知識是人類進步的階梯（2）若/ AGB=30，求 EF 的長.【解析】（1 ）四邊形 ABCD 是正方形， AB=AD，2 1在厶 ABE 和厶 DAF 中，AB DA

8、,43 ABEDAF.（2）四邊形 ABCD 是正方形，/ 1 + / 4=90 / 3= / 4,/ 1 + / 3=90/ AFD=90在正方形 ABCD 中，AD / BC,/ 1 = / AGB=30在 Rt ADF 中，/ AFD=90AD=2 , AF=3, DF =1,由（1）得厶 ABEADF, AE=DF=1, EF=AF-AE=,31.例 4、（2009 吉林中考）如圖，ABAB AC,AC, ADAD BCBC 于點 D D, ADAD AEAE, ABAB 平分請你寫出圖中三對 全等三角形，并選取其中一對加以證明.DAEDAE 交 DEDE 于點 F F,長安教育中心教

9、研室主編6 / 9 知識是人類進步的階梯【解析】（1） ADBADC、 ABDABE、 AFDAFE、 BFDBFE、 ABEACD（寫出其中的三對即可）.（2 ）以厶 ADB2 ADC為例證明.證明：;AD BC, ADB ADC 90在 Rt ADB和 Rt ADC中，:AB AC, AD AD,Rt ADB也 Rt ADC.要點二、角平分線的性質(zhì)與應(yīng)用 例 5、（2009 溫州中考）如圖，OP 平分AOB,PA OA,PB OB，垂足分別為 A,【解析】 選 D.由 OP 平分AOB,PAOA,PB OB，可得PA PB，由 HL 可得 RtAOPBRtBOP,所以可得PO平分APB,O

10、A OB. ABC 中，/ C=90 , / ABC 的平分線 BD 交 AC 于點 D,若 BD=10 厘米，BC=8 厘米，則點 D 到直線 AB 的距離是 _ 厘米。A.PA PBB .下列結(jié)論中不OBD.AB垂直平分OP例 6、（2009 廈門中考）如圖，在長安教育中心教研室主編7 / 9 知識是人類進步的階梯【解析】過點 D 作 DE 垂直于 AB 于 E,由勾股定理得CD BDBD2BCBC2101028 826 6,由角平分線性質(zhì)得DEDE CDCD 6 6答案：6.如圖，已知 AB=CD , AD=CB , E、F 分別是 AB , CD 的中點,4、已知：BECF 在同一直線

11、上，AB / DE , AC / DF，并且 BE=CF。【實彈射擊】如圖，AB=AC , AE=AD , BD=CE，求證： AEB 也1、2、如圖：AC 與 BD 相交于 O, AC = BD , AB = CD，求證:3、DE=BF，說出下列判斷成立的理由. ADE CBF / A= / C求證： ABC 也 DEFCCB第 3 題圖長安教育中心教研室主編8 / 9 知識是人類進步的階梯第 4 題圖長安教育中心教研室主編9 / 9 知識是人類進步的階梯5、如圖,已知：AB 丄 BC 于 B , EF 丄 AC 于 G, DF 丄 BC 于 D , BC=DF 求證：AC=EFF F6、如

12、圖， ABC 的兩條高 AD BE 相交于 H,且 AD=BD 試說明下列結(jié)論成立的 理由。(1) ZDBHMDAC(2) ABDHAADCBDC7、如圖，已知 ABC 為等邊三角形，D、E、F 分別在邊 BC、CA、AB 上, 且 DEF 也是等邊三角形.i.除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的；ii.你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程.長安教育中心教研室主編10 / 9 知識是人類進步的階梯&已知等邊三角形ABC中，ED=CE,E的大小。10、如圖：四邊形 ABCDK AD/ BC , AB=AD+BC , E 是 CD 的中點，求證:AE BE。A