1、1. 2.1正、余弦定理在實際中的應(yīng)用測量中的基本術(shù)語提出問題李堯出校門向南前進 200 米，再向東走了 200 米，回到自己家中. 問題 1:李堯家在學(xué)校的哪個方向？提示：東南方向.問題 2:能否用角度再進一步確定其方位？ 提示：可以，南偏東 45 或東偏南 45.亠C 導(dǎo)入新知實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語稱定義7圖示基線在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線仰角在冋一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線的夾角川：線水甲線俯角在冋一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線的夾角卜 7 嚴(yán)水平建VJ/r/znA從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角（指定方j(luò)k向線是指正北或正南或正東或正西，方向

2、角小于 90）北|方向角南偏西 60 （指以正南方向為始 邊，轉(zhuǎn)向目標(biāo)方向線形成的角）方位角從正北的方向線按順時針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角北O(jiān)120-化解疑難層析教材.新知無師自逋2解三角形實際問題的一般步驟，在弄清題意的基礎(chǔ)上作出示意圖，在圖形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量用正、余弦定理解三角形是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)測量高度問題例 1如圖，為了測量河對岸的塔高AB有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C和D測得CD=200 米，在C點和D點測得塔頂A的仰角分別是 45和 30,且/CBD=30,求塔 高AB解 在 RtABC中，/AC申 45，若設(shè)AB- h,則BC

3、= h;在 RtABD中，/AD-30，貝U BD-3h.在厶BCD中，由余弦定理可得CD=BC+BD2 BC BD cos/CBD, 即 2002=h2+( 3h)2 2 h3h #所以h2= 2002，解得h= 200（h= 200 舍去）,即塔高AB為 200 米.類題通法測量高度問題的要求及注意事項（1）依題意畫圖是解決三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵，問題中，如果既有方向角（它是在水平面上所成的角），又有仰（俯）角（它是在鉛垂面上所成的角），在繪制圖形時，可畫立體圖形和平 面圖形兩個圖，以對比分析求解.（2）方向角是相對于在某地而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一點的方 向角從這個意義上

4、來說，方向角是一個動態(tài)角，在理解題意時，應(yīng)把它看活，否則在理解 題意時將可能產(chǎn)生偏差.活學(xué)活用鎖走考向，考題千孌不離其宗3（湖北高考）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一4山頂D在西偏北 30的方向上，行駛 600 m 后到達B處，測得此山頂在西偏北 75的方向上，仰角為 30,則此山的高度CD=解析：由題意，在ABC中，/BAC=30,/ABC=180 75= 105，故/ACB=45解得BC= 300 2 m.在 RtBCD中,CD= BC-tan 30 = 300 2Xg = 1006(m).答案：100 6測量角度問題例 2如圖，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東 4

5、5方向，距A處(2 1)n mile 的B處有一艘走私船，在A處北偏西 75的方向，距離A處 2 nmile 的C處的緝私船奉命以 10 3 n mile/h的速度追截走私船.此時，走私船正以 10 n mile/h的速度從B處向北偏東 30方向逃竄，問：緝私船沿著什么方向能最快追上走私船？解設(shè)緝私船用th 在D處追上走私船，則有CD=10 3t,BD=10t,在厶ABC中,vAB=3 1,AC=2，/BAC=120,由余弦定理，得BC=AB+AC 2AB- AC-cos /BAC=(_3 1)2+ 22 2 -(3 1) - 2 - cos 120 =6,- BC=.；6,且 sin /AB

6、C=- sin /BAC=-BC百/ ABC=45.BC與正北方向垂直.又AB=600 m，故由正弦定理得600BCsin 45sin 30m.5/ CBD=90+ 30= 120,在厶BCD中，由正弦定理，得6sin/BCD=-CD=/BCD=30.即緝私船沿東偏北 30方向能最快追上走私船.類題通法解決追及問題的步驟(1)把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題; 畫出表示實際問題的圖形，并在圖中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，這樣借助于正弦定理或 余弦定理，就容易解決問題了；(3)最后把數(shù)學(xué)問題還原到實際問題中去.活學(xué)活用某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號，如圖，我海軍護航艦在A處獲悉后，立即測出該貨

7、船在方位角為 45，距離為 10 海里的C處，并測得貨船正沿方位角為 105的方向，以 10 海里/小 時的速度向前行駛，我海軍護航艦立即以 10 3 海里/小時的速度前去營救，求護航艦的航向和靠近貨船所需的時間.解：設(shè)護航艦靠近貨船所用時間為t小時在ABC中，根據(jù)余弦定理，有AB=AC+BC-2AC- BGCos 120 ,可得(100)2= 102+ (10t)2-2X10X10tcos 120 ,整理得 2t2-t- 1 = 0，解得t= 1 或t所以護航艦靠近貨船需要 1 小時.此時AB=10 3,BC=10,又AC=10,所以/CAB=30,1.探究距離測量問題兩點間不可通又不可視，

8、兩點間可視但不可達，兩點都不 可達.解決此問題的方法是：選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三 角形的邊長問題，從而利用正弦、余弦定理求解.BD sin /CBD10tsin 12010 3t 2,儲補短板.拉分題一分不丟測量距離問題分為三種類型:所以護航艦航行的方位角為757【角度一】兩點間不相通的距離例 1如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A,B兩點間的距離，其方即AB= a+b2abcosa.若測得CA=400 m,CB=600 m，/ACB=60,試計算AB的長度.解 在厶ABC中，由余弦定理得AB=AC+BC2AC-BC-cos /ACBAB=4002+60022X400X6

9、00Xcos 60 =280 000.A AB=20 斫 m.即A,B兩點間的距離為 200 7 m.【角度二】兩點間可視但有一點不可到達例 2如圖所示，代B兩點在一條河的兩岸，測量者在A的同側(cè)，且B點不可到達， 要測出A,B的距離，其方法為在A所在的岸邊選定一點C,可以測出A, C的距離m再借 助儀器，測出/ACB=a，/CAB=3，在ABC中，運用正弦定理就可以求出AB若測出AC=60 m,ZBAC=75,/BCA=45，貝U A,B兩點間的距離為 _ m.li解析 /ABC=180 75 45= 60,ABAC所以由正弦定理得=三，sinCsinB即A,B兩點間的距離為 20 6 m.答

10、案20 6【角度三】兩點都不可到達例 3如圖，A, B兩點在河的同側(cè)，且A, B兩點均不可到達，測出A,B的距離，其方法為測量者可以在河岸邊選定兩點C, D,測得CD= a,同時在C, D兩點分別測得/BCA=a,/AC=3,/CD=Y，/BDA=S.在厶ADCABDC中，由正弦定理分別計算出AC和BC再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB法為先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅,用經(jīng)緯儀測出角 的長b,a,則可求出A,B兩點間的距離.AB=AC sinsinBC60Xsin 45=sin 60=20 ,6(m).8若測得CD-23km , /ADB=/CD= 30,/AC= 60,/ACB=45,求代B兩點間的

11、距離.A. 10 3 海里39D.西偏南 45 50方向上 解析：選 C 如圖所示，點解/ADC=ZADBFZCDB=60,/ACD=60/DAC=60,AC=D在厶BCD中,/DBC=45，由正弦定理，得BC=DDBCsin /BDC=sin /DBCsin 45sin 30 =扌在厶ABC中，由余弦定理，得AB=AC+BC 2AC- BC-cos 453 3=4+8_2X24A呻km.代B兩點間的距離為嚴(yán) km.41.A.B.C.自主演練.百煉方成鋼隨堂即時演練若P在Q的北偏東 44 50方向上，貝 UQ在P的（）a1上東偏北 45 10方向上北偏東 45 50方向上* f南偏西 44 5

12、0方向上的方向上.102海上有A,B兩個小島相距 10 海里， 從A島望C島和B島成 60的視角，從B島望C島和A島成 75的視角，貝 UB, C間的距離是（）B.IO36 海里11CD= C曰ED=8+ 24 = 32（米）.答案：32C. 5 2 海里D. 5 6 海里解析：選 D 如圖，g 180 60 75= 45,AB=10,由正弦定理得10 sin45BCsin 60 BC= 5 6（海里），故選 D.3如圖，線段AB CD分別表示甲、乙兩樓，ABL BD CDL BD從甲樓頂部A處測得乙樓頂部C處的仰角為a= 30,測得乙樓底部D的俯角3= 60,已知甲樓高AB=24 米，則乙樓

13、高CD=_米.解析：過A作AELCD圖略)，垂足為E,ED= AB=24 米，貝 UAE=ED24,tan 60 = 3 =8 3(米)在 RtACE中,CE= AE-tan 30=8 3 x-3=8（米）,4.如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A,B,望對岸的標(biāo)記物C,測得/CAB=45,/CBA=75,AB=120 米，則河的寬度為米.n12解析：/ACB=180 45 75= 60,sin 4 5120 靈BC=120 -=,sin 60yj3河寬為Bin /CBA=12吋吋2sin 75 = 20(3+ 3)米. V3答案：20( ,3+ 3)5.如圖，位于A處的信息中心獲悉：在

14、其正東方向相距 40 海里的處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東0的方向沿直解：如題中圖所示，在ABC中,AB=40,AC= 20,/BAC=120,由余弦定理知，ABBC在ABC中，sin /ACBsin /CAB線CB前往B處救援，求 cos0的值.13BC=AB+AC 2AB- AC-cos 120 = 2 800 ?BC=20 7.AB_BCsin /ACB-sin /BA(?由/BAC=120,知/ACB為銳角,貝 H cosZACB=等.由0 =ZACBF30,得 cos0 =cos(ZACE3F30

15、)=cosZACICos 30sinZACBin、選擇題從A處望B處的仰角為a，從B處望A處的俯角為3 ,U a,3的關(guān)系為（）B.a = 3解析：選 B 根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖如下圖.知a=3，故應(yīng)選 B.2.兩燈塔A,B與海洋觀察站C的距離都等于a（km），燈塔A在C北偏東 30,B在C 3南偏東 60,貝 UA,B之間的距離為（）A. ,2akmC.akm解析：選 A ABC中,AC= BC=akm ,ZACB=90,AB= _ 2akm.3.有一長為 10 m 的斜坡，傾斜角為 75,在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯拢ㄟ^加長坡面的方法將它的傾斜角改為30,則坡底要延長的長度（單

16、位：m）是（）A. 5B. 10C. 10 2D. 10 3解析：選 C 如圖，設(shè)將坡底加長到B時，傾斜角為 30,在厶ABB中，利用正弦 定理可求得BB的長度.由正弦定理，得sin /ACB=囂.sin /BAC=21130=將.課時達標(biāo)檢測1.A.C.a + 3 =90D.a + 3 =180視線嚴(yán)-水甲線B. 3akmD. 2akm145.如圖，甲船以每小時 30 2 海里的速度向正北方向航行，乙船按固 定方向勻速直線航行， 當(dāng)甲船位于A處時，乙船位于甲船的北偏西 105 方向的B1處，此時兩船相距 20 海里；當(dāng)甲船航行 20 分鐘到達 A 處時，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的

17、B 處，此時兩船相距 10 .2 海里, 則乙船每小時航行（）A. 10 2 海里B. 20 2 海里C. 30 海里D. 30 2 海里在厶ABB中，B= 30/BAB= 75 30= 45,AB=10 m ,由正弦定理，得AESin 4510Xsin 3010 2 (m).坡底延伸 10 2 m 時，斜坡的傾斜角將變?yōu)?30.4.一船自西向東勻速航行，上午10 時到達一座燈塔P的南偏西 75距塔 68 海里的M處，下午 2 時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為（A.17亍6海里/小時B. 34 6 海里/小時C.1海里/小時D. 34 2 海里/小時解析：選 A 如圖所示，

18、在亠PMMNPMN中,sin 45 = sin 120 ，.MN=68乂乂丫丫 = 3 誹，2v=嚳,6 （海里/小時）.AjA,15解析：選 D 如圖，連接八,在厶 AAB 中,易知/ AAR = 60,1又易求得 AAa= 30Q2 X 3 = 10 2 = AR,AAB為正三角形，AB= 1O/2.在厶ABB中，易知/BAiB2= 45,BB=400+200-2X20X10 羽 X誓=200,BB= 10 農(nóng)，乙船每小時航行 30 誑 海里.二、填空題6某人從A處出發(fā)，沿北偏東 60行走 3 3 km 到B處，再沿正東方向行走 2 km 到C處，則A,C兩地距離為km.解析：如圖所示，由

19、題意可知AB=3 3,BC=2,ZABC=150.由余弦定理，得AC=27+42X3；J3X2Xcos 150則A,C兩地距離為 7 km.答案：7=49,AC= 7.7.（四川高考）如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B, C的俯角分別為 67,30,此時氣球的高是 46 m 則河流的寬度BC約等于_m.（用四舍五入法將結(jié)果精確到個位.參考數(shù)據(jù)：sin 67 0.92 , cos 67 0.39 , sin 37 0.60 , cos 37 0.80 ,31.73)16解析：過A作BC邊上的高AD D為垂足.17在 RtACD中,AC=92,在厶ABC中，由正弦定理,答案：60&某

20、船開始看見燈塔在南偏東30方向，后來船沿南偏東60方向航行 30 n mile后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離為 _ n mile.解析：如圖所示，B是燈塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置,則BC1 AD, ZDA=30,ZDA= 60，則在 Rt ACD中,DC=AinZDA=30sin 60 =15 3 n mile,AD= ACCosZDA=30cos 60 =15 n mile,則在 RtADB中，DB= ADanZDAB=15tan 30 =5 3 n mile,則BC=DU DB=15 ,3 5 ,3 = 10 3 n mile.答案：10 3三、解答題9.某地電

21、信局信號轉(zhuǎn)播塔建在一山坡上，如圖所示，施工人員欲在山坡上 A,B兩點處測量與地面垂直的塔CD的高，由A,B兩地測得塔頂C的仰角分別為 60和 45,又知AB的長為 40 m,斜坡與水平面成解：如圖所示，由題意，得ZAB(=4530=15,ZDA(=6030=30.:丄BA(=150,ZACB=15,得BC=sinAC/ABC?sinZBAO92sin 67xsin 37920.92x0.60=60(m).30角，求該轉(zhuǎn)播塔的高度.318AC=AB=40 m,ZAD(=120,19在厶ACD中，由正弦定理，得CD= J箴.ACsin /ADC 40sin 120=弩(m) 故轉(zhuǎn)播塔的高度為弩 m

22、.10 某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進 40 m 后，望見塔在東北方向，若沿途解：設(shè)B為塔正東方向一點，AE為塔，沿南偏西 60行走 40 m 后到達C處,即BC=40,且/CA= 135,/ABC30,AG= Ain15 = 20 .*2 sin 15=10( 3 1) AE= AGtan 30即塔高為測得塔的最大仰角為 30,求塔高.如圖在ABC中,ACBCsinZABC=sinZCAB- AC40 J即一sin 30 sin 135耳。,由點A向BC作垂線AG此時仰角ZAGEt大等于 30.AC= 20：2. 由在厶ABC中,/ACC18013530=15m.32011 甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東 60方向的B處，兩船相距a海里，乙船正21向北行駛，若甲船速度是乙船速度的追上乙船？此