1、云南省玉溪市高考數學模擬試卷（09）選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 （5 分）集合 M=y|y=，x，y N的元素個數是（）x+3A. 2 個 B. 4 個 C. 6 個 D. 8 個2. （5 分）下列命題中，真命題是（）A. ? x R， r 0 B. ?x R，2xx2a+b=0 的充要條件是=- 1 D . a 1，b 1 是 ab 1 的充分條件 b（5 分）將函數 y=sin4x 的圖象向左平移=個單位，得到 y=sin （4x+）的圖象,X UC. 2C.3.A.等于（B .12（5 分） 函數)C

2、.3f (x)D .312=2+x3- 2 在區間（0，1）內的零點個數是（）（5 分） 已知丄x=lnny=log52，2，貝U()xvyvz B.zvxvy C . zvyvx D.yvzvx（5 分）如圖所示，在邊長為 1 的正方形 OABC 中任取一點 P,則點 P 恰好取 自陰影部分的概率為（1*為有理數7.（5分）設函數為無理數，則下列結論錯誤的是（）A . D （x）的值域為0，1 B . D （x）是偶函數)C. D (x)不是周期函數 D. D (x)不是單調函數8.(5 分)函數 f (x)在a, b上有定義，若對任意xi,a, b，有2，i :1. I則稱 f(x)在a，

3、b上具有性質 P.設 f (x)22在1, 3上具有性質 P,現給出如下命題：1f (x)在1, 3上的圖象是連續不斷的；2f (x2)在1,習上具有性質 P;3若 f (x)在 x=2 處取得最大值 1,則 f (x) =1, x 1, 3;亠亠X 1 + K+ K/I14對任意 X1, x2, x3, X4 1 , 3，有: . ：. f (X1)+f(X2)+f (X3) +f (x4)其中真命題的序號是()A.B. C D.10.(5 分)1一_ 一在R 上為減函數，則 a 的取值范圍是_ .211. (5 分)當函數 y=sinx_血cosx (00,宀0)的最大值為 3，其61T圖

4、象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，(1)求函數 f (x)的解析式和當 x 0,n時 f (X)的單調減區間；(2)設 a(0,2L),則 f (皂)=2,求 a 的值.2216.(12 分)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者 獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球 3 次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概 率為丄，乙每次投籃投中的概率為 ，且各次投籃互不影響.32(I)求甲獲勝的概率；(n)求投籃結束時甲的投籃次數E的分布列與期望.17.(14 分)如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PA 丄平面 ABCD AB 丄 BC, / BCA=45 ,PA=AD=2 AC=1, DC 農

5、(l)證明 PC 丄 AD;(n)求二面角 A- PC- D 的正弦值；(m)設 E 為棱 PA 上的點，滿足異面直線 BE 與 CD 所成的角為 30,求 AE 的長.18.(14 分)已知函數 f (x) =x- a 丫+lnx, (a 為常數).(1) 當 a=5 時，求 f (x)的極值；(2) 若 f (x)為增函數，求實數 a 的取值范圍.19.(14 分)設函數 f (x) =x4+ax3+2x2+b (x R),其中 a, b R.(1) 若函數 f (x)僅在 x=0 處有極值，求 a 的取值范圍；(2) 若對于任意的 a - 2, 2，不等式 f (x)6 時， ，所以 y

6、?N.x+3綜上，M=y| y= , x, y N=2,x+3故選 A.y N，當 x=1 時,y=當 x=2 時,當 x=3 時,當 x=4 時,當 x=5 時,y=?N;2+3 5y=?N;3+3 3y=?N；4+3 7y= N;1，元素個數是 2 個.a 1, b 1是 ab 1 的充分條件，顯然正確.故選 D.3. (5 分)將函數 y=sin4x 的圖象向左平移個單位，得到 y=sin (4x+)的圖象,12A.等于()71JT7V71B.C.D.123312【解答】解：函數 y=sin4x 的圖象向左平移三個單位，得到.二二，的圖象，就是 y=sin (4x+)的圖象，故|0故選

7、C4. (5 分)函數 f (x)二公+x3-2 在區間(0,1)內的零點個數是()A. 0 B. 1C. 2 D. 3【解答】解：由于函數 f (x) =2x+x3- 2 在區間(0, 1)內單調遞增，又 f (0)=-1v0，f(1)=10，所以 f (0) f (1)v0，故函數 f (x) =2x+x3-2 在區間(0，1)內有唯一的零點，故選 B.5. (5 分)已知 x=lnny=log52，ze丄，則()A.xvyvz B.zvxvy C. zvyvx D.yvzvx【解答】解： x=ln Ine=1，0vIog52vlogs*；=u 即 y(0,)；仁e0.= 1 = -，即z

8、，“，yvzvx.故選：D.6.(5 分)如圖所示，在邊長為 1 的正方形 OABC 中任取一點 P,則點 P 恰好取 自陰影部分的概率為()A.】B.】C. - D.4567【解答】解：根據題意，正方形 OABC 的面積為 1X仁 1,12彳而陰影部分由函數 y=x 與 y= 丫圍成，其面積為歩1( ，-x)dx=()|o1=,3x26丄則正方形 OABC 中任取一點 P,點 P 取自陰影部分的概率為 =;16故選 C.1丫為有理數7.(5 分)設函數 DW=J二;工田二：，貝 U 下列結論錯誤的是(衛，X 為無理軌A. D (x)的值域為0，1 B. D (x)是偶函數C. D (x)不是

9、周期函數D. D (x)不是單調函數【解答】解：A 顯然正確；垃為有理數垃為無理數D (x)是偶函數, T=1 為其一個周期，故 C 錯誤；vD(匚)=0,D(2)=1,D( _)=0,顯然函數 D (x)不是單調函數,故 D 正確；故選：C.8.(5 分)函數 f (x)在a, b上有定義，若對任意 xi, a, b，有 J：則稱 f( x)在a，b上具有性質 P設 f (x)在1, 3上具有性質 P，現給出如下命題：1f (x)在1, 3上的圖象是連續不斷的；2f (x2)在1,上具有性質 P;3若 f (x)在 x=2 處取得最大值 1,則 f (x) =1, x 1, 3;4對任意 X

10、1, x2, x3, X4 1 , 3，有匚 *：. f (X1)+f (X2)44+f (x3) +f (X4)其中真命題的序號是()A. B. C D.【解答】解：在中，反例：f (x)= ，：在1, 3上滿足性質 P,也 x=3但 f (x)在1 , 3上不是連續函數，故不成立；在中，反例：f (x) =-x 在1, 3上滿足性質 P,但 f (x2) =-x2在1,= 上不滿足性質 P,故不成立；B 正確；vD(x+1)號為有理數X 為無理數在中：在1, 3 上, f (2) =f (1)三上：一，f (x)+f(4-x) 2f(0【解答】解：由 r+lHl ，解得：-1 VX .u-

11、2 2故答案為.，：二.11. (5 分)當函數 y=sinx-cosx (0 xv2n)取得最大值時，x=【解答】 解：Iy=sinx- :cosx=2(亠sinx-cosX) =2sin (x-).223/ 0 xv2n, W X-v ,333ymax=2,此時 x-=,325 兀x= .6故答案為：一 .612. (5 分)已知 y=f (x) +x2是奇函數，且 f (1) =1,若 g (x) =f (x) +2,則 g (-1) =- 1 .【解答】解：由題意，y=f (x) +x2是奇函數，且 f (1) =1, 所以 f (1) +1+f (- 1) +(- 1)2=0 解得

12、f (- 1) =-3所以 g (- 1) =f (- 1) +2=- 3+2=- 1故答案為：-1.13. (5 分)已知函數 f (x) =x (x- c)2在 x=2 處有極大值，則 c= 6.【解答】解：Tf( x) = (x- c)2+2x (x- c) =3x2- 4cx+c2,且函數 f (x) =x (x -c)2在 x=2 處有極大值， f( 2) =0,即卩 c2- 8c+12=0，解得 c=6 或 2.經檢驗 c=2 時，函數 f (x)在 x=2 處取得極小值，不符合題意，應舍去.故 c=6.故答案為 6.14. (5 分)已知函數 f (x) =elx-al(a 為常

13、數).若 f (x)在區間1, +*)上是 增函數，貝Ua 的取值范圍是(-%, 1.【解答】解：因為函數 f (x) =e|x-a|(a 為常數).若 f (x)在區間1, +x)上(12是增函數由復合函數的單調性知， 必有 t=|x- a|在區間1,+K)上是增函數 又 t=|x-a|在區間a, +x)上是增函數所以1,+x)? a, +x),故有 a0,宀0)的最大值為 3，其6圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為,2(1) 求函數 f (x)的解析式和當 x 0,n時 f (X)的單調減區間；(2) 設 a( 0,),則 f L) =2,求 a 的值.22【解答】解：(I)：函數 f(x)的

14、最大值是 3,二 A+1=3，即 A=2.-(1 分)函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，最小正周期 T=n,二=22(3 分)分)16.(12 分)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者 獲勝，所以 f (x) =2sin (2x-) +1.-6，即厶(4 分) f (x)(n)V f)=2sin的單調減區間為3(a-)+仁 2,即 sin6k7Tx-+kn, kez,365 兀 1_/ ”)=1)一,(8 分)分)：0va JT- JT 7T . 7TJT . JT-，-a=.(12一直到有人獲勝或每人都已投球 3 次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概率為丄，乙每次投籃投

15、中的概率為 ，且各次投籃互不影響.32(I)求甲獲勝的概率；(H)求投籃結束時甲的投籃次數E的分布列與期望.【解答】解：(1)設 Ak, Bk分別表示甲、乙在第 k 次投籃投中，則 P (Ak)=, P (Bk)=1, k( 1, 2, 3).32記甲獲勝”為事件 C,由互斥事件有一個發生的概率與相互獨立事件同時發生的概率計算公式知:P (C) =P(Al) +P) +P；).-（5分）（2）E的所有可能為：1, 2, 3, 由獨立性知：P（E=） =P （Ai） +P （廠.）=丨 =,P （E=） =P （i ,|：.+P（二.j七二丿=.+ （）2（ ）2=,2 2P （E=） =P （

16、.、.11；乂；）=（）（十）= ,綜上知，E的分布列為:E123P221399-（9 分） EE二.二.（次）- （11 分）3993甲獲勝的概率為丄7；甲的投籃次數的期望為鼻次.- (12 分)M IJ17.（14 分）如圖，在四棱錐 P-ABCD 中, PA 丄平面 ABCD AB 丄 BC, / BCA=45 ,PA=AD=2 AC=1, DC=/5（I）證明 PC 丄 AD; （8 分）（U）求二面角 A- PC- D 的正弦值；（m）設 E 為棱 PA 上的點，滿足異面直線 BE 與 CD 所成的角為 30求 AE 的長.【解答】（本小題滿分 13 分）證明：（I）：在厶 ADC

17、中，AD=2, AC=1, DC=- AC2+AD2=CD2， AD 丄 AC, （ 1 分）如圖，以點 A 為原點建立空間直角坐標系，依題意得 A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1, 0），B（-丄，丄，0）, P（0，220, 2）,得疋=（0, 1,- 2）, AD = （2, 0, 0）,解：（U） j，_ ;,廳if：設平面 PCD 的一個法向量 i-= （x, y, z）,則牡竺 y%0,不妨令 z=1，得；=（1, 2, 1）,Ln-CD=2x-y=0可取平面 PAC 的一個法向量 =（1, 0, 0）,于是cos = 八, 從而 sinv所以二面角 A-PC- D 的

18、正弦值為 .6（m）設點 E 的坐標為（0,0,h）,其中 h0,2, PCXAD.（4 分）-(7 分)由此得祝=(丄，丄，b),由石=(2,- 1, 0),2 2故一-一，I BE I I CD | V10+20B2滿足異面直線 BE 與 CD 所成的角為 30 -=cos30工！，解得 h= I ，即AE 二二.(13 分)&0+2 曲2101018. (14 分)已知函數 f (x) =x- a，+lnx, (a 為常數).(1)當 a=5 時，求 f (x)的極值;(2)若 f (x)為增函數，求實數 a 的取值范圍.【解答】解：函數 y=f (x)的定義域為(0, +x),

19、、頁+2 _ (2 頁-1)(依-2)一 2x 一2x如下表x14tp 4)4(4,+x)f(x)+010+f (x)遞增遞減6+l n4遞增由上表可得函數的極大值為亠；=_: D，極小值為 f (4) =- 6+ln4.-(1 分)(1)當 a=5 時，-令f(x) =0 得一一，或 x=4(3 分)f(x), f (x)隨 x 的變化情況（14(2)由題意得：，I在區間(0, +x)恒成立，-2y EK2x即：在區間(0, +x)恒成立,1,當且僅當廠:一，即 x=1 時等號成立.VI=4-m in19.(14 分)設函數 f (x) =x4+ax3+2x2+b (x R),其中 a, b

20、 R.(1) 若函數 f (x)僅在 x=0 處有極值，求 a 的取值范圍；(2) 若對于任意的 a - 2, 2，不等式 f (x) 1 在 x - 1, 1恒成立，求b 的取值范圍.【解答】解：(1)求導函數可得f(x) =x (4x2+3ax+4),-( 1 分)顯然 x=0 不是方程 4x2+3ax+4=0 的根.為使 f (x)僅在 x=0 處有極值，必須 4/+3&乂+40 成立，-(3 分)即有 =9a2- 640 恒成立.-(8 分)當 xv0 時，f(x)v0;當 x0 時，f(x) 0.因此函數 f (x)在-1, 1上的最大值是 f (1)與 f ( - 1)兩者

21、中的較大者.-(11 分)為使對任意的 a - 2, 2，不等式 f (x) 1 在-1, 1上恒成立,分) 所以 b - 4,因此滿足條件的 b 的取值范圍是(-%, - 4.- 分)在區間(0, +x)恒成立.-(10 分)_ 1-（13 分）所以 a 的取值范圍是(-%4 .-（ 14 分）當且僅當ffdXi 丁(T)0，可得 x 1 ；函數 f(x)的單調減區間為(-x，1)，單調增區間為(1，+x)(n)設點 P(x0，f(X。)，曲線 y=f(x)在點 P 處的切線方程為 y=f(x) (x -x0)+f (X0)令 g (x) =f (x)- f(X0)(x-x0)- f (X0)曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P,.g (