1、中學數學建模函數模型和數據擬合（華南師范大學數學科學學院 章紹輝 510631）一、引言用數學的眼光看問題，用數學思想、方法、知識解決實際問題的過程叫作數學建模.可以用下圖表示數學建模的過程。實際情境提出問題模型假設數學結果檢驗修改不合乎實際合乎實際可用結果數學模型在中學數學課本里出現的函數模型主要有一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數以及分段函數.其中一次函數y=ax+b是最簡單最常用的函數模型.應用函數模型解決實際問題，往往涉及數據擬合.為了通過一些數據尋求事物的數量規律，往往先繪出這些數據在直角坐標系中的散點圖，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數圖像

2、，選定函數形式后，將一些數據代入這個函數的一般表達式，求出具體的函數表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數基本反映了事物規律.這種方法稱為數據擬合.在自然科學和社會科學中，很多規律、定律都是先通過實驗，得到數據，再通過數據擬合得到的.數據擬合可以有不同的算法，人們公認的最精確的算法是最小二乘法，就是求函數的一般表達式中的參數，使誤差平方和達到最小值.為了判斷擬合效果的好壞，需要應用統計學的回歸分析的知識.現在許多家庭都以燃氣作為燒水做飯的燃料，節約用氣是非常現實的問題.怎樣燒開水最省燃氣? 省燃氣的含義就是燒開一壺水的燃氣用量少.一般來說，燒水時是通過燃氣灶上的旋鈕控制燃氣流

3、量的，流量隨著旋鈕位置的變化而變化.由此可見，燃氣用量與旋鈕的位置是函數關系。于是，問題就是:旋鈕在什么位置時燒開一壺水的燃氣用量最少?分析理解設想，當旋鈕轉角非常小時，燃氣流量也非常小，甚至點火后的熱量不足以將一壺水燒開，如果一直燒下去，燃氣用量將無止境;隨著旋鈕轉角增大，即燃氣流量漸漸增大，燒水用氣量則會有所減小.但是，旋鈕轉角很大時，燃氣不一定充分燃燒，過分的熱量不能充分作用于水壺，會產生浪費，燒一壺開水的燃氣用量又會比較大.旋鈕在什么角度用氣量最小呢?我們不可能測出所有旋鈕轉角對應的燃氣用量值，于是，試圖經過實驗測出幾組數據，然后用這些數據擬合函數，得到所求.一、建立數學模型解決問題的

4、方案1.給定燃氣灶和一只水壺。因為燃氣灶關閉時，燃氣旋鈕的位置為豎直方向，我們把這個位置定為0°燃氣開到最大時，旋鈕轉了90°.選擇燃氣灶旋鈕的五個位置(當然多選一些更好)18°，36°, 54°,72°, 90°，見下圖.2.在選好的五個位置上，分別記錄燒開一壺水所需的時間和所用的燃氣量.3.利用數據擬合函數，建立旋鈕位置與燒開一壺水燃氣用量的函數解析式.4.利用函數解析式求最小用氣量.5.對結果的合理性作出檢驗分析.二、實驗為了減少實驗誤差，要保證每次燒水時水壺的起始溫度是一樣的.所以，在做實驗之前，先用這只水壺燒開一壺

5、水，然后把水倒掉，隨即開始做實驗，記錄相關數據，得到下表.表 燃氣旋鈕在不同位置時燒開一壺水所需燃氣量項目位置燃氣表開始時讀數/m3燃氣表水開時讀數/m3所用燃氣量/m318°9.0809.2100.13036°8.9589.0800.12254°8.8198.9580.13972°8.6708.8190.14990°8.4988.6700.172用表內數據，在直角坐標系上標出旋鈕位置與燒開一壺水燃氣用量的點(如下圖).三、擬合函數從上圖可以看出，5個點顯示出隨著旋鈕的角度逐漸增大，燃氣用量有一個從大到小又從小到大的過程.在我們學習過的函數圖像

6、中，二次函數的圖像與之最接近，可以用二次函數近似地表示這種變化.設函數式為，取三對數據即可求出表達式的系數，不妨取(18,0.130),(36,0.122),(90,0.172)，得方程組解得則函數式為四、求最小用氣量求燃氣用量最少時的旋鈕位置，實際上是求函數的最小值點.即燃氣用量最少時的旋鈕位置是旋轉39°的位置.這時的用氣量大約是五、檢驗分析取旋轉39°的旋鈕位置，燒一壺開水，所得實際用氣量是不是0.122 m3 ？如果基本吻合，就可以依此作結論；如果相差大，說明三對數據取得不好，可以換另外的點重新計算，然后再檢驗，直至結果與實際比較接近就可以了.在這個建模中值得注意的

7、是:(1)可以想像，當旋鈕旋轉的角度非常小，有一點點火時，其火力是不能夠將水燒開的，長時間燃火的燃氣量卻可以非常大，也就是說，圖中貼近縱軸的點的位置會非常高，那么整個圖像就不是二次函數圖像了。實際上，我們在前面說“用二次函數圖像近似地表示這種變化”是有局限性的，盡管是近似地表示，也只能說在18°90°這個局部比較適用，而燃氣最少用量恰在這個局部取得，于是選用二次函數模型是可行的.(2)在做實驗時，每次燒水前的水壺溫度真的完全一樣嗎?讀數真的準確嗎?我們在建立函數模型之前，主觀上作了這樣的假設:實驗是足夠準確的，所得的實驗數據是精確的.另外，盡管假設每次實驗是準確的，但是實驗

8、都受客觀環境的影響，不能保證環境是穩定的.僅根據一組實驗數據就建立數學模型可能與實際有較大誤差，可以重復做幾次實驗，取幾次實驗數據的平均值，誤差就減少了.六、進一步研究：我們可以用MATLAB軟件進行更簡便更精確的計算，用多項式擬合工具polytool，對二次函數模型進行最小二乘擬合，計算得，最節省燃氣的旋鈕角度是x=28.57°，并在圖形界面內找出相應的燃氣用量的估計值和95%預測區間是y=0.1267±0.02621(m3).案例3.4 汽車剎車距離（參考江蘇版高中必修1第93頁）問題：司機在駕駛過程中遇到突發事件，會緊急剎車.從司機決定剎車到車完全停住，這段時間內汽車

9、行駛的距離稱為剎車距離，車速越快，剎車距離越長.那么，剎車距離與車速之間是線性關系還是更復雜的關系呢？讓我們建立一個剎車距離與車速之間的數學模型.一、問題分析：建模目標是找到車速與剎車距離之間的函數關系.剎車距離 = 反應距離 + 制動距離.剎車距離指從司機決定剎車到車完全停住時，汽車行駛的距離；反應距離則是指從司機決定剎車到制動器開始起作用時，汽車行駛的距離；制動距離是從制動器開始作用到車完全停住時，汽車行駛的距離.我們引入符號：d剎車距離（m）；d1反應距離（m）；d2制動距離（m）；v車速（km/hm/s）.反應距離涉及許多因素，是許多變量的函數，我們只從其中兩個變量開始，考慮反應距離的

10、子模型：反應距離g(反應時間，車速).反應時間取決于汽車制動系統的靈敏性和司機個人狀況，汽車制動系統的靈敏性和司機的因素相比是相當小的，所以可以忽略；司機個人狀況包括反應、警覺、視力等，因人而異，一般的，可以考慮平均值.所以視反應時間為常數，而且假設在這段時間內車速沒有改變。引入符號：k1反應時間（s），于是d1k1v .制動距離與制動器作用力、車重、車速、以及車胎的類型、道路表面的狀況、天氣等因素都有關，我們可以把車胎、道路、天氣等因素看成是固定的，于是有制動距離的子模型：制動距離h(制動器作用力，車重，車速).我們引入符號：F 制動器作用力（n）；m 車重（kg）.制動器是一個能量耗散裝置

11、，制動器作用力所做的功被汽車動能的改變所抵消.假設在急剎車的過程中起作用的是最大制動力，即F為常值，則在F作用下，行駛制動距離作的功使車速從v變成，動能的變化為,于是.推得如果考慮不同的車型，按照牛頓第二定律Fma，合理的汽車設計原則是：最大制動力F和車重m大致成正比，使汽車大致做勻減速運動，避免司機和乘客在急剎車期間遭受危險的劇烈前沖。這樣，汽車剎車的減速度a基本上是常數.且二、模型假設1.剎車距離d等于反應距離d1與制動距離d2之和；2.反應距離d1與車速v成正比，比例系數為反應時間k1；3.剎車時使用最大制動力F，F做的功等于汽車動能的改變，且F與車重m成正比.三、模型建立由假設2，反應

12、距離為；由假設3和前面的分析，制動距離為；由假設1，剎車距離為.四、參數估計請根據由美國公路局提供的剎車距離實際觀測數據，估計本案例的數學模型的參數（車速的單位是英里/小時，距離的單位是英尺，時間的單位是秒，單位換算：1英里5280英尺）。表反應距離和制動距離的實際觀測值車速v（英里/小時）反應距離（英尺）制動距離（英尺）剎車距離（英尺）范圍平均值范圍平均值202218222040444225282531285359563033364540.5697873.53539475852.5869791.5404464807210812411645508210392.5132153142.550551

13、051311181601861735561132165148.5193226209.560661622021822282682486572196245220.5268317292.5707723729526631437234375832833533183664364018088334418376422506464車速v的單位是mile/h（英里每小時），剎車距離d、反應距離和制動距離的單位是ft（英尺）。單位換算.剎車距離為，其中1.反應距離為，比例系數為反應時間，單位是s（秒），既然實測數據有反應距離的數據，我們由此估計反應距離的參數.v=20:5:80;d1=22 28 33 39 44 50 55 61 66 72 77 83 88;k1=(v*5280/3600)'d1'計算結果 = 0.7528（s）.2.制動距離為，既然實測數據有制動距離的數據，我們由此估計制動距離的參數.v=20:5:80;d2=20 28 40.5 52.5 72 92.5