1、運籌學習題庫數學建模題（5）1某廠生產甲、乙兩種產品，這兩種產品均需要A、B、C三種資源，每種產品的資源消耗量及單位產品銷售后所能獲得的利潤值以及這三種資源的儲備如下表所示：ABC甲94370乙4610120360200300試建立使得該廠能獲得最大利潤的生產計劃的線性規(guī)劃模型，不求解。解：設甲、乙產品的生產數量應為x1、x2,則xl、x2>0,設z是產品售后的總利潤，則maxz=70xi+120x2s.t.9x14x23604x16x22003x110x230X"x202、某公司生產甲、乙兩種產品，生產所需原材料、工時和零件等有關數據如下:甲乙可用量原材料（噸/件）22300

2、0噸工時（工時/件）52.54000工時零件（套/件）1500套產品利潤（元/件）43建立使利潤最大的生產計劃的數學模型，不求解。解：設甲、乙兩種產品的生產數量為x1、x2,設z為產品售后總利潤，則maxz=4x1+3x2s.t.2xi2x230005x12.5x24000x1500x1,x203、一家工廠制造甲、乙、丙三種產品，需要三種資源一一技術服務、勞動力和行政管理。每種產品的資源消耗量、單位產品銷售后所能獲得的利潤值以及這三種資源的儲備量如下表所示：技術服務勞動力行政管理單位利潤甲110210乙1426丙1564資源儲備量100600300建立使得該廠能獲得最大利潤的生產計劃的線性規(guī)劃

3、模型，不求解。解：建立線性規(guī)劃數學模型：設甲、乙、丙三種產品的生產數量應為Xi、X2、X3,則Xi、X2、X3>0,設z是產品售后的總利潤，則maxz=10x1+6X2+4X3s.t.x1x2x310010X!4x25x36002x12x26X3300Xi，X2，X304、一個登山隊員，他需要攜帶的物品有：食品、氧氣、冰鎬、繩索、帳篷、照相器材、通信器材等。每種物品的重量合重要性系數如表所示。設登山隊員可攜帶的最大重量為25kg,試選擇該隊員所應攜帶的物品。序號1234567物品食品氧氣冰鎬繩索帳篷照相器材通信設備重量/Kg55261224重要性系數2試建立隊員所能攜帶物品最大量的線性規(guī)

4、劃模型，不求解。解：弓I入01變量Xi,Xi=1表示應攜帶物品i,Xi=0表示不應攜帶物品Inaxz20x115x218x314x48x54x610x75x-|5x22x36x412x52x64x725Xi0或1,i1,2,.,75、工廠每月生產A、B、C三種產品，單件產品的原材料消耗量、設備臺時的消耗量、資源限量及單件產品利潤如下圖所示：產資'品源ABC資源限量材料（kg）1.51.242500設備（臺時）31.61.21400利潤（元/件）101412根據市場需求，預測三種產品最低月需求量分別是150、260、120,最高需求量是250、310、130,試建立該問題數學模型，使每月

5、利潤最大，為求解。解：設每月生產A、B、C數量為x1,X2,X3。MaxZ10xi14x212x3廠1.5x11.2x24x325003x11.6x21.2x31400150X1250260X2310120X3130X1,X2,X306、A、B兩種產品，都需要經過前后兩道工序，每一個單位產品A需要前道工序1小時和后道工序2小時，每單位產品B需要前道工序2小時和后道工序3小時。可供利用的前道工序有11小時，后道工序有17小時。每加工一個單位產品B的同時，會產生兩個單位的副產品C,且不需要任何費用，產品C一部分可出售盈利，其余只能加以銷毀。出售AB、C的利潤分別為3、7、2元，每單位產品C的銷毀費

6、用為1元。預測表明，產品C最多只能售出13個單位。試建立總利潤最大的生產計劃數學模型，不求解。解：設每月生產A、B數量為X1，X2,銷毀的產品C為X3。MaxZ3x17x22(2x2x3)x3廠X2x2112x13x2172X2X313X1,X2,X307、靠近某河流有兩個化工廠（參見附圖），流經第一化工廠的河流流量為每天500m3，在兩個工廠之間有一條流量為200萬m3的支流。第一化工廠每天排放有某種優(yōu)化物質的工業(yè)一33污水2萬m，第二化工廠每天排放該污水1.4萬m。從第一化工廠的出來的污水在流至第二化工廠的過程中，有20%可自然凈化。根據環(huán)保要求，河流中的污水含量不應大于0.2%。這兩個工

7、廠的都需要各自處理一部分工業(yè)污水。第一化工廠的處理成本是1000元/萬m3，第二化工廠的為800元/萬m3。現(xiàn)在要問滿足環(huán)保的條件下，每廠各應處理多少工業(yè)污水，才能使兩個工廠的總的污水處理費用最少？列出數學模型，不求解。附圖:。工廠1十33500萬m200萬m解：設第一化工廠和第二化工廠的污水處理量分別為每天x1m3和x2萬m3,minZ1000x1800x21x120.8x1x21.6stx21.4x1,x208、消費者購買某一時期需要的營養(yǎng)物（如大米、豬肉、牛奶等），希望獲得其中的營養(yǎng)成分（如：蛋白質、脂肪、維生素等）。設市面上現(xiàn)有這3種營養(yǎng)物，其分別含有各種營養(yǎng)成分數量，以及各營養(yǎng)物價格

8、和根據醫(yī)生建議消費者這段時間至少需要的各種營養(yǎng)成分的數量（單位都略去）見下表。營養(yǎng)物營養(yǎng)成分甲乙丙至少需要的營養(yǎng)成分數量A462080B11265C10370D21735450價格252045問：消費者怎么購買營養(yǎng)物，才能既獲得必要的營養(yǎng)成分，而花錢最少？只建立模型，不用計算。解：設購買甲、乙、丙三種營養(yǎng)物的數量分別為為、x2和x3，則根據題意可得如下線性規(guī)劃模型：minz25%20x245x34%6x220x380%x22x365s.t.%3x37021x17x235x34509、某公司生產的產品A，B，C和D都要經過下列工序：刨、立銃、鉆孔和裝配。已知每單位產品所需工時及本月四道工序可用生

9、產時間如下表所示：刨立銃鉆孔裝配A0.52.00.53.0B1.01.0.0.51.0.C1.01.01.02.0D0.51.01.03.0可用生產時間（小時）06000又知四種產品對利潤貢獻及本月最少銷售需要單位如下:產品最少銷售需要單位元/單位A1002B6003C5001D4004問該公司該如何安排生產使利潤收入為最大？（只需建立模型）解：設生產四種產品分別Xi,X2,X3,X4單位則應滿足的目標函數為：maxz=2X1+3X2+X3+x4滿足的約束條件為：0.5為x2x30.5x418002Xjx2x3冷28000.5X|0.5x2x3x430003Xjx22x33x46000x110

10、0x2600x3500x440010、某航空公司擁有10架大型客機、15架中型客機和2架小型客機，現(xiàn)要安排從一機場到4城市的航行計劃，有關數據如表1-5,要求每天到D城有2個航次（往返），到A,B,C城市各4個航次（往返），每架飛機每天只能完成一個航次，且飛行時間最多為18小時，求利潤最大的航班計劃。客機類型到達城市飛行費用（元/次）飛行收入（元/次）飛行時間（h/d）大型A6000700080001000050007000100001800012510BCD中型A10002000400030004000600024820BCD小型A20003500600040005500800012619B

11、CD解：設大型客機飛往A城的架次為X1A，中型客機飛往A城的架次為X2A，小型客機飛往A城的架次為X3A，其余依此類推。資源限制派出的大型客機架次不能超過10架，表示為同理x2Ax2Bx2C15x3Ax3Bx3C2班次約束飛往各城的班次要滿足X1Ax2Ax3A4x1Bx2Bx3B4x1Cx2Cx3C4x1Dx2Dx3D2非負性約束非負性約束Xj0且為整數；(i=1,2,3;j=A,B,C,D)maxz1000x1AOxiB2000x1C8000xid+2000x2a目標函數為2000x2b2000x?c2000x3A2000x3B2000x3c11、CRISP公司制造四種類型的小型飛機：AR1

12、型（具有一個座位的飛機）、AR2型（具有兩個座位的飛機）、AR4型（具有四個座位的飛機）以及AR6型（具有六個座位的飛機）。AR1和AR2一般由私人飛行員購買，而AR4和AR6一般由公司購買，以便加強公司的飛行編隊。為了提高安全性，聯(lián)邦航空局（）對小型飛機的制造做出了許多規(guī)定。一般的聯(lián)邦航空局制造規(guī)章和檢測是基于一個月進度表進行的，因此小型飛機的制造是以月為單位進行的。表說明了CRISP公司的有關飛機制造的重要信息。AR1AR2AR4AR6聯(lián)邦航空局的最大產量（每月生產的飛機數目）8171115建造飛機所需要的時間（天）47911每架飛機所需要的生產經理數目1122每架飛機的盈利貢獻（千美元）

13、6284103125CRISP公司下個月可以得到的生產經理的總數是60人。該公司的飛機制造設施可以同時在任何給定的時間生產多達9架飛機。因此，下一個月可以得到的制造天數是270天（9*30，每月按30天計算）。JonathanKuring是該公司飛機制造管理的主任，他想要確定下個月的生產計劃安排，以便使盈利貢獻最大化。解：設x1表示下個月生產AR1型飛機的數目，x2表示AR2型，x3表示AR4型，x4表示AR6型目標函數：maxz62x-|84x2103x3125x44x17x29x311x4270x1x22x32x460x18約束條件：x217X311x415X1，X2，X3,X40X|,X

14、2,X3,X4為整數12、永輝食品廠在第一車間用1單位原料N可加工3單位產品A及2單位產品B,產品A可以按單位售價8元出售，也可以在第二車間繼續(xù)加工，單位生產費用要增加6元，加工后單位售價增加9元。產品B可以按單位售價7元出售，也可以在第三車間繼續(xù)加工，單位生產費用要增加4元，加工后單位售價可增加6元。原料N的單位購入價為2元，上述生產費用不包括工資在內。3個車間每月最多有20萬工時，每工時工資0.5元，每加工1單位N需要1.5工時，若A繼續(xù)加工，每單位需3工時，如B繼續(xù)加工，每單位需2工時。原料N每月最多能得到10萬單位。問如何安排生產，使工廠獲利最大？解：設X1為產品A的售出量；X2為A在

15、第二車間加工后的售出量；X3表示產品B的售出則目標函數為:則目標函數為:量；X4表示B在第三車間加工后的售出量；X5為第一車間所用原材料的數量，maxz8x19.5x27x38x42.75x5X5X51000003x23x2約束條件：x12x41.5x5200000x23x50X3X3X42x50X1,X2,X3,X4,X50?化標準形式（5）1將下列線性規(guī)劃模型化為標準形式解：minzx12x23x3X1X2X37X1X2X323x1X22x35X10X20X3無約束X170maxz'X12x23(X4X5)0x60x7X1X2X4X5X67X1X2X4X5X723xX22X352、

16、將下列線性規(guī)劃模型化為標準形式minzx-i2x23x32x1X2X393x1X22x344x12x23x36X10X20X3無約束解:maxz'X1'2x23x3'3x3''2x1'X2X3'X3''X493x1'X22x32x3''X544x1'2x23x3'3x3''6X1503、將下列線性規(guī)劃變?yōu)樽畲笾禈藴市巍inz3x14x22x35x44x1x22x3x42x1x23x3Xt14st2x-i3x2x32x42X1,X2,X30,X4無約束maxz3%|4

17、x22x35x45x44x-|X22x3X4Xix23x3x4x4x514st2x-i3x2x32x42x4x62?圖解法(5)1用圖解法求解下面線性規(guī)劃minz=3xi+2x22x4x222x14x2102x1x27Xi3x21Xl,X20解：XL可行解域為abcda，最優(yōu)解為b點。2x1由方程組4x222x20解出Xi=11,X2=0*Xi=(11,=(11,:、X=X2minz=3X11+2X0=332、用圖解法求解下面線性規(guī)劃minz=2x1+X2x14x224Xjx285X,10x20從上圖分析，可行解域為abcde,最優(yōu)解為e點。由方程組X1x28X15解出X1=5,X2=3X*=

18、X1=(5,3)T用圖解法求解，并寫出解的情況X15X1+10x2=50X計X2=1X2/minz=Z=2x5+3=133、已知線性規(guī)劃問題如下：MaxZ=x13x2(5x110x250x1x21X24x-t,x20由圖可知:10x250x24則maxZ=2+3*4=144、用圖解法求解下面線性規(guī)劃問題maxz2x1x25x1156x12x224st.x2x25x!,x20解：5、用圖解法求解下面線性規(guī)劃問題maxz2x13x2X12x284x116st4x212Xj0,j1,2圖解如下：大值為z*2*43*214。二、單純型法（15）1、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解maxz=3x1+3

19、X2+4X33xi4x25x340s.t.6x4x23x366X1,X2，x解：加入松弛變量X4，X5，得到等效的標準模型:maxz=3x1+3X2+4X3+Ox4+0x5列表計算如下:3捲4x25x3X440s.t.6X14x23x3x566Xj0,j1,2,.,533400CBXBbx1x2x3x4x50L0x44034(5)1080x566643012200000334f004x383/54/511/5040/30x542（21/5）8/503/511012/516/544/503/5f1/504/504x3204/712/71/73x11018/2101/75/21324/745/71

20、/73803/705/71/7*TX=(10,0,2,0,0)maxz=3x10+4x2=382、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解maxz=70x1+120x29x4x23604x6x2200si3xi10X2300x1，x20解：加入松弛變量X3，X4，X5，得到等效的標準模型:maxz=70x1+120X2+0x3+0x4+0x5s.t.9x14x2X33604x16x2X42003x110X2X5300Xj0,j1,2,.,5列表計算如下:70120000CBXBbx1x2x3x4x50L0x336094100900x420046010100/30x53003(10)001300000

21、070120T0000x324039/5010-2/5400/130x420(11/5)001-3/5100/11120x2303/101001/1010036120001234T000120x31860/1100139/1119/1170x1100/111005/11-3/11120x2300/11010-3/222/11701200170/1130/114300011000-170/1130/11*z1003001860、TX=(,00),0,111111100-30043000Xmaxz11x=11113、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解2x12x23000maxz=4x1+3x2s.

22、t.解：加入松弛變量x3，5xiXiXi,X4,2.5X24000500X2X5,得到等效的標準形式:2Xi2x2X33000maxz=4x1+3x2+0x3+0x4+0x5s.t.5x-2.5x2X44000XiX5500Xj0，j1,2,.,5用表解形式的單純形法求解，列表計算如下:43000CBXBbX1X2X3X4X50L0X330/2=15000X4400052.50104000/5=8000X5500（1）0001500/1=500000004f30000X320000210-22000/2=10000X415000(2.5)01-51500/2.5=6004X1500100014

23、000403f00-40X3800001-0.8(2)800/2=4003X26000100.4-24X0/1=5004301.2-2000-1.22f0X5400000.5-0.413X21400011-0.404X110010-0.50.404310.40460000-1-0.40據上表,X=(100,1400,0,0,400)Tmaxz=4X100+3X1400=4604、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解maxz=10x1+6X2+4X3s.t.XiX2X310x14x22x12x2Xi，X2，X31005x36006x33000解：加入松弛變量X4,X5,X6，得到等效的標準模型:m

24、axz=10x計6X2+4X3+Ox4+0x5+0x6x1x2x3x4100X*=(1002000，0，0,100)10x14x25x3x5600st2x12x26x3Xj0,j1,2,.,6x6300列表計算如下:1064000CBXBbX1x2x3x4x5X60L0x410x5600(10)45010600x6300000010f640000x4400(3/5)1/211/100200/310X16012/51/201/1001500x618006/5501/51150104501002f-10106x2200/3015/65/31/6010x1100/3101/62/31/600x610

25、0004201220010620/310/32/303008/310/32/301002002200maxz=10X+6X=3335、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解MaxZ4x1-2x22x3(3x1X2X360XiX22X3102xi2x22X340Xi,X2,X30用單純形法求解，并指出問題的解屬于哪一類。解：（1）、將原問題劃為標準形得：MaxZ4xi2X22X30X40X50X6%X2X3x4=60XiX22x3X5102x12x22x3x640(Xi,X2,X3,X4,X5,X6Cj4-22000CBXbbXiX2X3X4X5X60X4603iii000X5i0i-i20i00X

26、6402-2200ij4-22000Cj4-22000CBXbbXiX2X3X4X5X60X43004-5i-304Xii0i-i20i00X62004-60-2ij02-60-40Cj4-22000CBXbbX1X2X3X4X5X60X4100011-1-14Xi15101/201/21/4-2X2501-3/20-1/21/4j00-30-3-1/2所以X=(15,5,0,10,0,0)T為唯一最優(yōu)解MaxZ=4*15-2*5=506、用單純形法求解下述LP問題。maxz2.5X1X23x15x215st5x12x210x1,x20解：引入松弛變量x3、X4，化為標準形式:maxz2.5x

27、X23x15x2X315st5x2x2X410Xl,X2,X3,X4構造單純形表，計算如下:Cj2.5100iCbXbbX1X2X3X40X315351050X41052012j2.51000X39019/513/545/192.5Xi212/501/55j0001/21X245/19015/193/192.5Xi20/19102/195/19j0001/2由單純形表，可得兩個最優(yōu)解x(2,0,9,0)T、X(20/19,45/19,0,0)T，所以兩點之間的所有解都是最優(yōu)解，即最優(yōu)解集合為：X(1)X，其中01。7、用單純形法解線性規(guī)劃問題maxz2x1X25x2156x12x224X1X2

28、5X10X20解：化為標準型maxz2x1x20x30x40x55x2X3156x12x2X424XX2X55X150列出單純形表C21000CB溝bX1X2X3X4X50X315051000X424201040X55110015-Z0210000X3150510032X1411/301/60120X5102/30-1/613/2-Z-801/30-1/30021X3XiX215/27/23/20100011005/41/4-1/4-15/2-1/23/2-Z-20000-1/4-1/2Z*=17/2,X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)8、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解maxzx1

29、x2X12x222x1X22X1X24x10X2解:C11000CB溝bX1X2X3X4X50X3211210020X42-210100X54-11001-Z0110001X121-21000X460-32100X560-1101-Z-203-100把表格還原為線性方程9、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解maxz3x2x32X12x2X323x22X3X46X2X3X56X122x2X3X463x22x3X56X2X3令X3=0X122x2X463x2X56X2此時，若讓X2進基，則會和基變量x侗時增加，使目標函數值無限增長，所以本題無界maxz2xi4X2Xi2x28Xi4X23Xi0X2

30、0Z*=20,X*=(2,3,0,2,0)'Z*=20,X*=(4,2,0,0,1)C24000CbXbbXiX2X3X4X50X38i2i0040X44i00i00X530i00i3-Z0240000X32i0i0-220X44i00i044X230i00i-Z-i22000-42Xi2i0i0-20X4200-ii24X230i00i-Z-2000-2002Xi4i00i00X5i00-i/2i/2i4X220ii/2-i/20-Z-2000-20010、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解maxz3xi5x2Xi42x2i23x12x2i8X-0x20解：列表如下c35000CbX

31、bbXiX2X3X4X50X34i0i000X4i2020i060X5i83200i19-Z035000X*=(2,6,6,0,0)'Z*=360X341010045X260101/200X56300-113-Z-30300-5/200X360011/3-1/35X220101/203X12100-1/31/3-Z-20000-3/2-111、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解maxz2x1x25xi15st.6X1X22x224x25x-,x20解：化為標準型maxz2x1X25x.|X3156x12x2x424st.X2X2X55X1,X2,X3,X4,X50單純型表如下:C210

32、00CbXbbX1X2X3X4X50X315051000X4246201040X55110015Z0210000X3150510032X1411/301/60120X5102/30-1/613/2Z001/30-1/300X315/20015/4-15/22X17/21001/4-1/21X23/2010-1/43/2Z17/2000-1/4-1/2由些可得，問題的最優(yōu)解為X1=7/2,X2=3/2，最優(yōu)值maxz=17/212、用大M法求解如下線性規(guī)劃模型：minz=5x1+2x2+4x33x1x22x346x13x25x310Xl,X2,X30解：用大M法，先化為等效的標準模型：maxz=

33、5xi2X24x3s.t.3為X22X3X46X-3x25x3X510yj0,j1,2,.,5增加人工變量X6、X7，得到：/maxz=5xi2X24X3一M<6一M<7s.t3x-jX22x3XX46為3x25x3XX710Xj0,j1,2,.,7大M法單純形表求解過程如下:52400MMCBXBbX1x2x3x4x5x6X70LMx64(3)1210104/3Mx71063501015/39M4M7MMMMM9M-5f4M-27M-4MM005X14/311/32/31/301/30Mx72011(2)12115-M5/3-M10/3-2M+5/3M2M-5/3-M0M-1/3

34、M-2/32M-5/3fM3M+5/305X15/311/25/601/601/610/30x410(1/2)1/211/211/225-5/225/605/605/601/2f1/605/6MM+5/65X12/3101/311/311/32x220112121一5211/311/311/3223001/311/3M+1M+1/3*x=2(2(3，0,0,0)T2222最優(yōu)目標函數值minz=maxZ=()=3313、用大M法求解如下線性規(guī)劃模型：minz=540x1+450X2+720x33xi5x29x3709捲5x23x330Xi,X2,X30解：用大M法，先化為等效的標準模型：max

35、z=540xi450x2720x3s.t.3x15x29x3X4709x15x23x3X530yj0,j1,2,.,5增加人工變量X6、X7,得到：/maxz=540x：1450x2720x3MxMxs.t3x15x29X3X4X6709x15x23x3X5x730Xj0,j1,2,.,5大M法單純形表求解過程如下:54045072000MMCBXBbx1x2x3x4x5x6x70LMx670359101070/3Mx730(9)53010130/9=10/312M10M12MMMMM12M-540T10M-45012M-720MM00Mx660010/3(8)11/311/360/8=2.5

36、20540Xi10/315/91/301/901/910/3/1/3=10-300+10/3M-8M180MM/3+60MM/3600-150+10/3M8M-540fMM/3600M/3+6015/2/5/1720x315/205/1211/81/241/81/242=18540Xi5/61(5/12)01/241/81/241/85/6/5/12=2540572720135/2475/12135/275/20125f0135/2475/12135/2M75/2M720x320/31011/61/61/61/6450x2212/5101/103/101/103/103604507207515

37、7515570018000751575M15M該對偶問題的最優(yōu)解是x=(0,2,0,0)3最優(yōu)目標函數值minz=(5700)=570014、用單純形法求解線性規(guī)劃問題maxz3x1X3X1X2X342x1X2X313x2X39%0X20X30化成標準形式有Xi50maxz3x1X30x40x5X1X2X3X442為X2X3X513x2X39加入人工變量則為maxz3x1x30x4OX5Mx6Mx7XiX2X3X442為X2X3X5X613x2X3x79X170列出單純形表C-30100-M-MCbXbbX1X2X3X4X5X6X70X441111000-MX61-21-10-110-MX790310001-Z10M-2M-34M10-M000X4330211-100X21-21-10-110-MX760403-31-Z6M6M-304M+103M-4M00X400001-1/2-1/21/20X23011/30001/3-3X11102/30