1、微積分初步單元輔導二導數與微分部分學習重難點解析(一)關于導數的概念函數的導數是一個增量之比的極限，即f (x) = lim limf(X，x) - f (x)u0=x g0-X我們把衛稱為函數的平均變化率，把lim衛稱為變化率，若limy存在則可導，否則不可xIZX Z導 導數是由極限定義的，故有左導數和右導數 f(x)在點xo處可導必有函數f(x)在點xo處左右導數都存在且相等 (二)導數、微分和連續的關系由微分的定義dy = f (x)dx可知(1)(1) 函數的可導與可微是等價的，即函數可導一定可微；反之可微一定可導(2)(2) 計算函數f(x)的微分dy，只要計算出函數的導數f(x)

2、再乘上自變量的微分dx即可；因此，我們可以將微分的計算與導數的計算歸為同一類運算(3)(3) 由定理可知，連續是可導的必要條件，那么，函數可微也一定連續. .反之不然，即連續函數不一定是可導或可微函數. .(三)導數的幾何意義由切線問題分析可知，函數y二f(x)在點X。處的導數就是曲線y二f(x)在點(X。，f (x。)處切線的斜率。于是，y二f(x)在點(xo，yo)處的切線方程為(四)關于導數的計算掌握導數的計算首先要熟記導數基本公式和求導法則. .在我們這門課程中所學習的求導法則和方法有：(1)(1) 導數的四則運算法則；(2)(2)復合函數求導法則；(3)(3)隱函數求導方法. .對于

3、上述法則和方法在實用中要注意其成立的條件 在導數的四則運算法則中，應該注意乘法法則和除法法則，注意它們的構成形式并注意11解題的技巧 例如，yX，求廠心.這是一個分式求二階導數的問題，形式上應該用導數的除法法則求解，但是，如果將函數變形為y x再求導數就應該用導數的加法法則了 假如我們掌握了一些解題的技巧，會使我們的運算變得簡單還會減少錯誤復合函數求導數是學習的重點也是難點，它的困難之處在于對函數的復合過程的分解. .由復合函數求導法則知，復合函數y二f(u),u二(X)的導數為：y f (u) (x)在求導時將y二f(:(x)分解為y二f (u), (x)(其中u為中間變量) )，然后分別對

4、中間變量和自變量求導再相乘 那么如何進行分解就是解題的關鍵，一般的說，所設的中間變量應是基本初等函數或基本初等函數的四則運算，這樣就會對于y二f(u),u二(x)分別都要有導數公式或法則可求導. .如果分解后找不到求導公式，則說明分解有誤. .例如函數y二sin$. x，時會發現沒有導數公式可以來求yu 隱函數的特點是變量y與x的函數關系隱藏在方程中，例如y =1 xsin y，其中的sin y不 但是y的函數，還是x的復合函數. .所以對于sin y求導數時應該用復合函數求導法則，先對y的函數sin y求導得cosy，再乘以y對x的導數由于y對x的函數關系不能直接寫出來， 故而只能把y對x的

5、導數寫為yl一般地說，隱函數求導數分為下列兩步：yx= 2sin . x cos、:x =一sin2A/x. .有一種錯誤的分解是y = sin2u,u = (x，這樣在求導2jx 2jx其分解為y二u u二sinv,v = x. .于是分別求導為,yu二2u,uv二cosv，1v；= 尸. .相乘得到2( x111方程兩邊對自變量x求導，視y為中間變量，求導后得到一個關于y的一次方程;2解方程，求出y對x的導數y. .總之，導數公式和求導法則是要靠練習來熟悉和理解的，我們應該通過練習掌握方法并從中獲得技巧 微積分初步學習輔導導數與微分部分典型例題例 1 1 求下列函數的導數或微分：設y=x+

6、3x+Iog3x逅，求y.；設y=尋|，求dyxsin x(3)(3)設y，求y (). .1 cosx3分析 這三個函數都是由基本初等函數經過四則運算得到的初等函數，求導或求微分時,需要用到導數基本公式和導數的四則運算法則 對于(1)(1)先用導數的加法法則，再用導數基本公式；對于 ，可以先用導數除法法則，再用基本公式；但注意到 (2)(2)中函數的特點,=x -2x3，則可用導數的加法法則求導，得到函數的導數后Jxdx，得到函數的微分；對于(3)(3)用導數除法法則，再用基本公式(1)(1)y =(X33xlog3x-33)= =(x3)(3x)(log3x) -(33)因為汀早仝一2x所

7、以y =(x3) 2(x芻身4x待，33在運用導數的四則運算法則應注意: 在求導或求微分運算中，一般是先用法則，再用基本公式;3解題時應先觀察函數，看看能否對函數進行變形或化簡，在運算中盡可能的避免使先將函數進行整理,再乘以3x1 23xIn3-0=3x23xIn3xln 3于是2(1 cosx)(1 cosx)2(1 cosx)21cosx所以y ()= =131 +COSXx2把根式qxp寫成冪次Pxq的形式，這樣便于使用公式且減少出錯;用導數的除法法則 如例 1 1 中的小題，將yx二2變形為y = x二2=X 2X3后再求導3232x、X數，這種解法比直接用除法法則求解要簡便且不易出錯

8、4導數的乘法和除法法則與極限相應的法則不同，運算也相對復雜得多，計算時要細心.例 2 2 求下列函數的導數或微分：、sinlJ- - 設y =ex，求dy. . ； (2)(2)設y = ln(x-試1 x )，求y C、3). . (3)(3)設y=(邛)10，求y. .x +1分析 采用復合函數求導法則，所設的中間變量應是基本初等函數或基本初等函數的四則運算. .求導時，依照函數的復合層次由最外層起，向內一層層地對中間變量求導，直至對自變量求導為止. .解(1)(1)設y = e ,u = sin v,v=丄，利用復合函數求導法則，有x1 1si n_11si n_11代回還原得y =ex

9、cos (2)，dy = y dx = excos(2)dxx xx x在基本掌握復合函數求導法則后，也可以不寫出中間變量，如下解法：(2)(2)設y =1 n u,u = x -一v,v = x2 1，利用復合函數求導法則，有121 12或著嚴xnT-LrTx-k(1)設y二u10,U二仝,v =X2，1，利用復合函數求導法則和導數的四則運算法則有,v例 3 3 求下列方程所確定的隱函數的導數y或微分dy:(1)(1)x2y2xy = 0，求dy；(2)(2)exyy ln x二cos2x，求y. .代回還原得代回還原X21 -2x2_ 10 x9(1 -X2)(X21)2一(X21)11或

10、著y =10( )9x +1(七X 17)9X21- x 2x(X21X - I X21y ( 3)二分析 隱函數的特點是：因變量y與自變量x的對應關系是隱藏在方程中的. .因此，在求導數時，不要忘記y是x的函數，在對y的函數求導后切記再乘以y對x的導數y. .依隱函數求導數的步驟求導. .解(1)(1)方法 1 1由導數得到微分 方程兩邊對自變量x求導，視y為中間變量，有2x 2yy (y xy) = 0，即卩(x 2y)y = _(y 2x)整理方程，解出y，得：y-*空，dy二ydx丄dx x+2y x+2y方法 2 2方程兩邊對變量求微分， 這時變量y和x的地位是相同的，即不再將y看作

11、x的函數. .2 2d(x y xy) =0，2xdx 2ydy ydx xdy = 0(2)(2) 方程兩邊對自變量x求導，視y為中間變量，有于是(xexyIn x)y =-2sin 2 - - yexyx整理方程解出y，得：2sin2x+f +y驟2xsin2x+y + yxe八xexyInxx2exyxl nx例 4 4 求由曲線x2xyy 4在點M (2,-2)的切線方程分析如果函數y二f(x)可導，函數曲線在點xo處的切線方程為因此求曲線在某點處的切線方程，必須知道兩點：曲線在點xo處的導數f (xo)；切點(xo,y). .此題中，切點M(2,-2)已知，只需對隱函數方程求導數，求

12、出f (xo). .解 方程兩邊對x求導，得：2x y x 2y = o于是，在點M(2,-2)的切線方程為：y-(-2)=1 (x-2)，即y = x-4請注意：求曲線的切線方程是導數概念的一個重要應用，一般地,dy= =y 2xx 2ydx解出y，得，七xz21鳥_2在題目中只給出切線(3(3)找出在定義域內的所有導數不存在的點;方程的兩個要點中的一個， 另一個是要根據已知條件求出來的 再則，如果已知條件中只給 了切點的橫坐標X。，那么縱坐標yo可以通過yo= f(x。)得到. .例 5 5 求函數y Vxlnx的二階導數. .分析 函數的二階導數為函數一階導數的導數.(.(如果仍然可導)

13、.).二1lnx”匚1(1lnx 1)2.xx x 2微積分初步學習輔導導數的應用部分學習輔導一、學習重、難點解析(一)函數的單調性與極值：函數的單調性判別法，函數極值及其求法了解駐點、極值點、極值等概念。了解可導函數極值存在的必要條件。知 道極值點與駐點的區別與聯系。掌握用一階導數求函數單調區間、極值與極值點(包括判別)的方法。1.1.函數單調性的判別方法：求函數的單調區間的步驟為：(1)確定函數的定義域；(2)求出函數在其定義域內 的點和導數不存在的點，這些點把定義域分成若干子區間；(3)確定在每個子區間內的符號：一般在該區間內任取一點，求出的符號，由于在該區間內有單調性，故的符號就是在該

14、區間內的符號. .(4)根據每個子區間內 的符號，確定的單調增減性，得到的單調區間 2.2. 函數極值的求法： 求函數極值的步驟為：解因為所以y汕nx 12、22Jx32In x. .(3(3)找出在定義域內的所有導數不存在的點;(1)確定函數的定義域，并求 的導數 ；(2)解方程，求出 在定義域內的所有駐點；(4)討論在駐點和不可導點的左、 右兩側附近符號變化情況， 確定函數的極值點(二)最大值、最小值問題掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為 主。函數最值得求法：求函數最值的步驟為：(1) 求函數的一階導數，確定函數在指定區間的內的駐點和不可導點；(2) 求出所給區

15、間上所有駐點、不可導點及邊界點的函數值進行比較；(3)上述駐點、不可導點及邊界點的函數值中最大者為最大值，最小者為最小值. .二、典型例題例 1 1 在指定區間1010，1010內，函數y二()是單調增加的。A.A.sinxB.B.eC.C.x2D.D.ln(x 20)解這個題目主要考察同學們對基本初等函數圖形的掌握情況。因它們都是比較簡單 的函數，從圖形上就比較容易看出它們的單調性。A A 中sinx是正弦函數，它的圖形在指定區間1010，1010內是波浪形的，因此不是單調增 加函數。B B 中e是指數函數，( (e)1 e“011 或f( (x) ) f(1)(1)，所以點x= = 1 1

16、 是函數f(x)=|x1+2的最小值點。應該填寫1 1例 4 4 應用題x 1 1 時,圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為I，問當底半徑與高分別為多少時,圓柱體的體積最大？求曲線y2二X上的點，使其到點A(3,0)的距離最短解：如圖所示，圓柱體高h與底半徑r滿足h2r2圓柱體的體積公式為V=：r2h將r2=l2-h2代入得V K(l2-h2)h求導得V = :(-2h2(I2-h2)=二(I2-3h2)令八0得h牛1，并由此解出r哼。即當底半徑r討1，高h詩時,圓柱體的體積最大。曲線y2=X上的點到點A(3, 0)的距離公式為d=1(x-3)2y2d與d2在同一點取到最大值，為計算方便求d2的最大值點，將y2二x代入得求導得令()7得x=5。并由此解出 V，即曲線y2=x上的點(汁)和點(舟點A(3, 0)的距離最短例 5 5 證明題證明函數f(x)二