1、中考動點專題所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜，靈活運用有關數學知識解決問題.關鍵:動中求靜.數學思想：分類思想函數思想方程思想數形結合思想轉化思想注重對幾何圖形運動變化能力的考查從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數圖像等圖形，通過對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發現圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學生經歷探索的過程，以能力立意，考查學生的自主探究能力，促進培養學生解決問題的能力.圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形

2、在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質是解決數學動點”探究題的基本思路，這也是動態幾何數學問題中最核心的數學本質。二期課改后數學卷中的數學壓軸性題正逐步轉向數形結合、動態幾何、動手操作、實驗探究等方向發展.這些壓軸題題型繁多、題意創新，目的是考察學生的分析問題、解決問題的能力，內容包括空間觀念、應用意識、推理能力等.從數學思想的層面上講：（1）運動觀點；（2）方程思想；（3）數形結合思想；（4）分類思想；（5）轉化思想等.研究歷年來各區的壓軸性試題，就能找到今年中考數學試題的熱點的形成和命題的動向，它有利于我們教師在教學中研究對策，把握方向.只的這樣，才能更好的培養學

3、生解題素養，在素質教育的背景下更明確地體現課程標準的導向.本文擬就壓軸題的題型背景和區分度測量點的存在性和區分度小題處理手法提出自己的觀點.專題一：建立動點問題的函數解析式函數揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規律，是初中數學的重要內容.動點問題反映的是一種函數思想，由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化，引起未知量與已知量間的一種變化關系，這種變化關系就是動點問題中的函數關系.那么，我們怎樣建立這種函數解析式呢？下面結合中考試題舉例分析.一、應用勾股定理建立函數解析式例1（2000年2上海）如圖1,在半彳仝為6,圓心角為90的扇形OAB的弧AB上，有一個動點P,PHOA,垂足為H,4OPH

4、勺重心為G.（1）當點P在弧AB上運動時，線段GOGPGH中，有無長度保持不變的線段被口果有，請指出這樣的線段，并求出相應的長度.（2）設PH=x,GP=y，求y關于X的函數解析式，并寫出函數的定義域（3）如果PGH等腰三角形，試求出線段PH的長.解：（1）當點P在弧AB上運動時，OP保持不變，于是線段GOGP（221中，有長度保持不變的線段，這條線段是GH=NH=OP=2.332(2)在RtPOH中，OH=,：OP2-PH2=v36-x2MH=1OH=1.36-x222在RtAMPH,MP=PH2MH2=.x29-1x2=1.363x2421（即自變量x的取值范圍）.GHy=GP=2MP,3

5、63x2(0 x6).33(3)PGK等腰三角形有三種可能情況：GP=PHt-366+3x2=x，解得x=66.經檢驗,x=66是原方程的根,且符合題意312GP=GHt、36+3x=2,解得x=0.經檢驗，x=0是原方程的根，但不符合題意3PH=GH1x=2.綜上所述，如果PGH等腰三角形，那么線段PH的長為66或2.、應用比例式建立函數解析式例2(2006年2山東)如圖2,在ABC中,AB=AC=1,點D,E在直線BC上運動.設BD=x,CE=y.(1)如果/BAC=30，/DAE=105,試確定y與x之間的函數解析式；如果/BAC的度數為a,/DAE的度數為P,當a,P滿足怎樣的關系式時

6、,(1)中y與x之間的函解:(1)在4ABC中，AB=AC,/BAC=30 /ABC4ACB=75,./ABDhACE=105. /BAC=30,/DAE=105,/DAB吆CAE=75 ./CAE=/ADB, .ADKEAC,，又/DAB吆ADB=/ABC=90-且2，函數關系式成立，&3n4r&aA90-=P-a,整理得P二90.22當P-一=90時，函數解析式y=1成立.2x例3(2005年2上海)如圖3(1),在4ABC中，/ABC=90,AB=4,BC=3.點。是邊AC上的一個動點，以點O為圓心作半圓，與邊AB相切于點D,交線段OC于點E.作EPED,交射線AB于點P

7、,交射線CB于點F.(1)求證：AADEAEP.(2)設OA=x,AP=y,求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域.(3)當BF=1時，求線段AP的長.數解析式還成立？試說明理由又/DAB吆ADB=ZABC=75ABBDCE-AC(2)由于/DAB吆CAE=P-a(2)A(2)/ABC=90,AB=4,BC=3,AC=5./ABCWADO=90OD/BC,OD3xADe3“r4“L38,OD-x,AD=x.AE=X+-x=-x.555584AEADxx.ADaAAEP,.AE=AD_5_=_5_APAEy8x516八25yx(0 x_).58(3)當BF=1時,若EP交線段CB的延長線于點F

8、,如圖3(1),貝UCF=4./ADEMAEP,ZPDE=ZPEC./FBP=/DEP=90,/FPB=/DPE,，/F=/PDE,，/F=/FEC,CF=CE.85.5-x=4,得*=.可求得y=2AP=2.58若EP交線段CB于點F,如圖3(2),則CF=2.類似，可得CF=CE.815-5-x=2,得x=.可求得y=6,即AP=6.綜上所述，當BF=1時,線段AP的長為2或6.、應用求圖形面積的方法建立函數關系式例4(2004年2上海)如圖，在ABC中，/BAC=90,AB=AC=2r）建立方程.3.解題的關鍵是用含x的代數式表示出相關的線段.略解CFCD解：（1）證明ACDFsAEBD

9、/.=，代入數據得CF=8,AF=2BDBE324 2）設BE=x,則d=AC=10,AE=10 x,利用（1）的萬法CF,x32一一相切時分外切和內切兩種情況考慮:外切，10=10 x十一,x=4、,2；x內切，10=10”絲xx=102V17.0 x10當。C和。A相切時，BE的長為4，2或102/17.,20（3）當以邊AC為直徑的。O與線段DE相切時，BE=.3（二）線動問題在矩形ABCD中，AB=3,點O在對角線AC上，直線l過點O,且與AC垂直交AD于點E.（1）若直線l過點B,把ABE沿直線l翻折，點A與矩形ABCD的對稱中心A，重合，求BC的長;（2）若直線l與AB相交于點F,

10、且AO=IAC,設AD的長為X,五邊4形BCDEF的面積為S.求S關于X的函數關系式，并指出x的取值范圍；.一.3探索：是否存在這樣的X,以A為圓心，以X-長為半徑的圓與4直線l相切，若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由.題型背景和區分度測量點本題以矩形為背景，結合軸對稱、相似、三角等相關知識編制得到.一小題考核了學生軸對稱、矩形、勾股定理三小塊知識內容；當直線AB邊向上平移時，探求面積函數解析式為區分測量點一、加入直線與圓的位置關系（相切問題）的存在性的研究形成了區分度測量點二.區分度性小題處理手法1.找面積關系的函數解析式，規則圖形套用公式或用割補法，圖形用割補法.2.直線與圓的相切

11、的存在性的處理方法：利用d=r建立方程.3 .解題的關鍵是用含X的代數式表示出相關的線段.略解1_（1）.A是矩形ABCD勺對稱中心AB=AA=-AC2,.AB=AB,AB=3；AC=6BC=3/3(2)AC=JX2+9,AOJX2+9,AFJ(X2+9),412-X4270X2-81-S.AEF1.一AEAF2(x29)296xS=3x.(x29)2Xox96xAE_x294x（，3：x：3-3）S=96x若圓A與直線l相切，則x-3=Vx2+9x1=0（舍去），x2=8=x2=8丁34455不存在這樣的x,使圓A與直線l相切.（三）面動問題如圖，在MBC中，AB=AC=5,BC=6,D、E

12、分別是邊AB、AC上的兩個動點(D不與A、B重合)，且保持DE/BC,以DE為邊，在點A的異側作正方形DEFG.(1)試求MBC的面積；(2)當邊FG與BC重合時，求正方形DEFG的邊長；(3)設AD=x,AABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y,試求y關于x的函數關系式，并寫出定義域;(4)當ABDG是等腰三角形時，請直接寫出AD的長.題型背景和區分度測量點本題改編自新教材九上相似形24.5(4)例七,典型的共角相似三角形問題，試題為了形成坡度，在原，當D點在AB邊上運動時，正方形DEFG整體動起來,于面積類習題來設置區分測量點一，用等腰三角形的存在性來設置區分測量點二.區分度性小題處理手

13、法1.找到三角形與正方形的重疊部分是解決本題的關鍵，如上圖3-1、3-2重疊部分分別為正方形和矩形包括兩種情況.2.正確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上圖3-3、3-4、3-5用方程思想解決.3.解題的關鍵是用含X的代數式表示出相關的線段.略解解：(1)S.ABC=12.(2)令此時正方形的邊長為a,則a=4a，解得a=12.645y4x45-x=24x-&x2.555251252520AD=,73117類題改編自09奉賢3月考25題，將條件(2)“當點M、N分別在邊BA、CA上時”，去掉，同時加到第(3)題中.(3)當0YxW2時,362=x25題的基礎上改編出求等腰三角形面積的

14、第一小題GF邊落在BC邊上時， 恰好和教材中的例題對應,大邊，探尋正方形和三角形的重疊部分的面積與線段可以說是相似三角形對應的小高比大高=對應的小邊比AD的關系的函數解析式形成了第三小題，仍然屬圖3-5當2YxY5時,(4)得，優弧AB的度數為3600-600=3000,則由同弧所對的圓心角與圓周角的關系得出：/ACB=1500,因此，本題的答案有兩個，分別為300或1500.反思：本題通過點C在圓上運動的不確定性而引起結果的不唯一性。而需要分類討論。這樣由點C的運動變化性而引起的分類討論在解題中經常出現。變式1:1:已知ABC是半彳至為2的圓內接三角形，若AB=2v，3，求/C的大小.本題與

15、例1的區別只是AB與圓的半徑的關系發生了一些變化，其解題方法與上11AB1sinAOB=2面一致，在三角形AOB中，2OBAOB=1200當點C在劣弧AB上變化時，/C所對的弧是優弧AB,它的大小為優弧AB的一半，由/AOB=1200得，優弧AB的度數為3600-1200=2400,則已知：在4ABC中，AB=AC,/B=30o,BC=6,點D在邊BC上，點E在線段DC上，DE=3,ADEF是等邊三角形，邊DF、EF與邊BA、CA分別相交于點M、N.(1)求證：BDMSCEN；(2)設BD=x,ABC與DEF重疊部分的面積為y,求y關于X的函數解析式，并寫出定義域.(3)當點M、N分別在邊BA

16、、CA上時，是否存在點D,使以M為圓心，BM為半徑的圓與直線EF相切,如果存在，請求出x的值；如不存在，請說明理由.例1:已知。的弦AB的長等于。O的半徑，點C在。上變化(不與A、B)重合，求/ACB的大小.分析：點C的變化是否影響/ACB的大小的變化呢？我們不妨將點C改變一下，如何變化呢？可能在優弧AB上，也可能在劣弧AB上變化，顯然這兩者的結果不一樣。那么，當點C在優弧AB上變化時,/ACB所對的弧是劣弧AB,它的大小為劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圓心角，連結AO、BO,則由于AB=OA=OB,即三角形ABC為等邊三角形，則/AOB=600,則由同弧所對的圓心角與圓周角的關系得出：

17、/ACB=2/AOB=300,當點C在劣弧AB上變化時，/ACB所對的弧是優弧AB，它的大小為優弧AB的一半，由/AOB=6001AOB=60，則2，即從而當點C在優弧AB上變化時，/C所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，即NC=600從由同弧所對的圓心角與圓周角的關系得出：/C=1200,因此/C=60或/C=1200.變式2 2：如圖,半經為1的半圓O上有兩個動點A、B,若AB=1,判斷/AOB的大小是否會隨點A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。解：（1）由于AB=OA=OB,所以三角形AOB為等邊三角形，則/AOB=60

18、0,即/AOB的大小不會隨點A、B的變化而變化。（2）四邊形ABCD的面積由三個三角形組成，其中三角形AOB的面積為4,而三角11“_1-ODAF-OCBG=(AFBG)形AOD與三角形BOC的面積之和為222,又由梯形1-一（AFBG）=EH的中位線定理得三角形AOD與三角形BOC的面積之和2ABCD的面積最大，只需EH最大，顯然EHOE=2,當AB/CD時,.3x,33.3四邊形ABCD的面積最大值為4+2=4.對于本題同學們還可以繼續思考：四邊形ABCD的周長的變化范圍.變式3 3：如圖,有一塊半圓形的木板，現要把它截成三角形板塊.三角形的兩個頂點分別為A、B,另一個頂點C在半圓上，問怎

19、樣截取才能使截出的三角形的面積最大？要求說明理由（廣州市2000年考題）分析： 要使三角形ABC的面積最大， 而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只需AB邊上的高最大即可。過點C作CDXAB于點D,連結CO,由于CDWCO,當。與D重合，CD=CO,因此，當CO與AB垂直時，即C為半圓弧的中點時，其三角形ABC的面積最大。本題也可以先猜想，點C為半圓弧的中點時，三角形ABC的面積最大，故只需另選一個位置C1（不與C重合），證明三角形ABC的面積大于三角形ABC1的面積即可。如圖1Jj顯然三角形ABC1的面積=2AB3C1D,而C1DC1O=CO,則三角形ABC1的面積=2AB3C1D2A

20、B3C1O=三角形ABC的面積，因此，對于除點C外的任意點C1,都有三角形ABC1的面積小于三角形三角形EH=OE,因此ABC的面積，故點C為半圓中點時，三角形ABC面積最大.本題還可研究三角形ABC的周長何時最大的問題。提示：利用周長與面積之間的關系。要三角形ABC的周長最大，AB為常數,只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC3BC=AB2+43AABC的面積，因此AABC的面積最大時，AC+BC最大，從而AABC的周長最大。從以上一道題及其三個變式的研究我們不難發現，解決動態幾何問題的常見方法有：一、特殊探路，一般推證（2004年廣州市中考題第11題）如圖，OO1和

21、。O2內切于A,OO1的半徑為3,。O2的半徑為2,點P為。O1上的任一點（與點A不重合），直線PA交。O2于點C,PB切。O2于點B,BP則PC的值為分析：本題是一道選擇題，給出四個答案有且只有一個是正確的，因此可以取一個特殊位置進行研究，當點P滿足PBAB時，可以通過計算得出PB=,32-12=2.2BC3AP=BP3AB,因止匕_AB_BP_8,2824.2RP_JAB2+BP2M16+82V6金BC=222.6,BP2-BC2=在三角形BPC中，PC=3,BP所以，PC=3選（B）作為一道選擇題，到此已經完成，但如果是一道解答題，我們得出的結論只是一個特殊情況，還要進步證明對一般情況也

22、成立。例3:如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4,OA工BC于。，點E和點F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點F不與A、C重合，點E不與B、A重合。判斷AOEF的形狀，并加以證明。例2:(B)花3(C)2,6(D)2當然，本題還可以根據三角形相似得BPAPPC-BP,即可計算出結論。AA判斷四邊形AEOF的面積是否隨點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.AEF的面積是否隨著點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。分析：本題結論很難發現，先從特殊情況入手。最特殊情況為E、F分別為AB、AC中點，顯然有AEOF為等腰直角三角形。

23、還可發現當點E與A無限接近時，點F與點C無限接近， 此時AEOF無限接近AAOC,而AAOC為等腰直角三角形， 幾種特殊情況都可以得出AEOF為等腰直角三角形。一般情況下成立嗎？OE與OF相等嗎？/EOF為直角嗎？能否證明。 如果它們成立， 便可以推出三角形OFC與三角形OEA全等，一般情況下這兩個三角形全等嗎？不難從題目的條件可得：OA=OC,/OCF=ZOAE,而AE=CF,則AOEA0AOFC,則OE=OF,且/FOC=/EOA,所以/EOF=/EOA+/AOF=/FOC+/FOA=900,則/EOF為直角，故AEOF為等腰直角三角形。二、動手實踐，操作確認。中，C為弧AB的中點，D為弧

24、AC上任一點（與A、C不重合），則(A)AC+CB=AD+DB(B)AC+CBAD+DB（D）AC+CB與AD+DB的大小關系不確定分析：本題可以通過動手操作一下，度量AC、CB、AD、DB的長度，可以嘗試換幾個位置量一量，得出結論（C）例5:如圖，過兩同心圓的小圓上任一點C分別作小圓的直徑CA和非直徑的弦CD,延長CA和CD與大圓分別交于點B、E,則下列結論中正確的是（*）（A）DE=ABDEAB（C）DEAB（D）DE，AB的大小不確定分析：本題可以通過度量的方法進行，選（B）本題也可以可以證明得出結論，連結DO、EO,則在三角形OED中,由于兩邊之差小于第三邊，則OE-ODDE,即OB-

25、OADE,因此ABAB三、建立聯系，計算說明例6:如圖，正方形ABCD的邊長為4,點M在邊DC上，且DM=1,N為對角線AC上任意一點，則DN+MN的最小值為分析：能否將DN和NM進行轉化，與建立三角形兩邊之和大于第三邊等問題，很自然地想到軸對稱問題，由于ABCD為正方形，因此連結BN,顯然有ND=NB,則問題就轉化為BN+NM的最小值問題了，一般情況下：BN+NMBM,只有在B、N、M三點共線時，BN+NM=BM,因22_此DN+MN的最小值為BM=BBCCM=5本題通過建立平面上三個點中構成的三角形中的兩邊之和大于第三邊及共線時的兩邊之和等于第三邊的特殊情況求最小值， 最后通過勾股定理計算

26、得出結論。例7:如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4,OA,BC于O,AE=CF,但點F不與A、C重合，點E不與B、A重合。例4（2003年廣州市中考試題）在。點E和點F分別在邊AB、AC上滑動并保持判斷四邊形AEOF的面積是否隨點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.AEF的面積是否隨著點E、F的變化而變化，若變化，求AEFO其變化范圍，若不變化，求它的值。(即例3的第2、第3問)分析：(2)本題的方法很多，其一，可以建立四邊形AEOF與AE長的函數關系式，如設AE=x,則AF=242-x,2,2而三角形AOB的面積與三角形AOE的面積之比二x，而三角形AOB

27、的面積1x2.2xOBOA=2=2,則三角形AOE的面積=42,同理三角形AOF的面積=V2,因此四邊形x(22-x)=2AEOF的面積=&；即AEOF的面積不會隨點E、F的變化而變化，是一個定值，且為2.當然，本題也可以這樣思考，由于三角形AOE與三角形COF全等，則四邊形AEOF的面積與三角形AOC的面積相等，而AOC的面積為2,因此AEOF的面積不會隨點E、F的變化而變化，是一個定值，且為2.本題通過建立函數關系或有關圖形之間的關系，然后通過簡單的計算得出結論的方法應用比較廣泛.-x(2:,2x)=-(x-2)21第(3)問，也可以通過建立函數關系求得，AAEF的面積=22，又x

28、的變化范圍為0 x2后，由二次函數知識得&AEF的面積的范圍為：0iAEF的面積-1.本題也可以根據三角形AEF與三角形OEF的面積關系確定&AEF的面積范圍：不難證明&AEF的面積 W&OEF的面積，它們公用邊EF,取EF的中點H,顯然由于OEF為等1EF腰直角三角形，則OHLEF,作AGLEF,顯然AGWAH=AG(=2)，所以AEF的面積 wOEF的面積，而它們的和為2,因此0&AEF的面積-1.本題包容的內涵十分豐富，還可以提出很多問題研究：比如，比較線段EF與AO長度大小等(可以通過A、E、O、F四點在以EF為直徑的圓上得出很多結論)例8:如圖

29、，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,點P沿AB邊從點A開始向點B以2厘米/秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1厘米/秒的速度移動。如果P、Q同時出發，用t秒表不移動白時間(0Wt3).動點M,N同時從B點出發， 分別沿B-A,B-C運動，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB,分別交AN,CD于P,Q.當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動.設運動時間為t秒.若a=4厘米，t=1秒，則PM二厘米；(2)若a=5厘米，求時間t,使PNBAPAD,并求出它們的相似比；(3)若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；(4)是否存在這樣的

30、矩形： 在運動過程中， 存在某時刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由.評析本題是以雙動點為載體，矩形為背景創設的存在性問題.試題由淺入深、層層遞進，將幾何與代數知識完美的綜合為一題，側重對相似和梯形面積等知識點的考查，本題的難點主要是題(3),解決此題的關鍵是運用相似三角形的性質用t的代數式表示PM,進而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數關系式，再利用t的范圍確定的a取值范圍.第(4)小題是題(3)結論的拓展應用，在解決此問題的過程中，要有全局觀念以及對問題的整體把握4以雙動點為載體，探求函數最值問題例4(2007年吉林省)如圖9

31、,在邊長為82cm的正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點，它們分別從點A、C同時出發，沿對角線以1cm/s的相同速度運動，過E作EH垂直AC交RtAACD的直角邊于H;過F作FG垂直AC交RtAACD的直角邊于G,連結HG、EB.設HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1,AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規定：線段的面積為0).E到達C,F到達A停止.若E的運動時間為x(s),解答下列問題：當0X(2)若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數關系式；(圖10為備用圖)求y的最大值.解(1)以E、F、G、H為頂點的四邊形是矩形，因為正方形ABCD的邊長為82,所以AC=1

32、6,過B作BOXAC于。，則OB=89，因為AE=x，所以S2=4x，因為HE=AE=x,EF=16-2x，所以S1=x(16-2x),當S1=S2時，4x=x(16-2x),解得XI=0(舍去)，x2=6,所以當x=6時，S1=S2.(2)當0Wx8時，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20 x,當8WxW16寸,AE=x,CE=HE=16-x,EF=16-2(16-x)=2x-16,所以S1=(16-x)(2x-16),所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.當0Wx8時，y=-2x2+20 x=-2(x-5)2+50,所以當x=5時，y的最大值為50.當8

33、WxW16寸,y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82,所以當x=13時，y的最大值為82.綜上可得，y的最大值為82.評析本題是以雙動點為載體，正方形為背景創設的函數最值問題.要求學生認真讀題、領會題意、畫出不同情況下的圖形，根據圖形建立時間變量與其它相關變量的關系式，進而構建面積的函數表達式.本題在知識點上側重對二次函數最值問題的考查，要求學生有扎實的基礎知識、靈活的解題方法、良好的思維品質；在解題思想上著重對數形結合思想、分類討論思想、數學建模等思想的靈活運用專題四：函數中因動點產生的相似三角形問題例題如圖1,已知拋物線的頂點為A(2,1),且經過原點O,與x軸的另一個交點

34、為B。12y二一xx求拋物線的解析式；(用頂點式求得拋物線的解析式為4)若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標；連接OA、AB,如圖2,在x軸下方的拋物線上是否存在點P,使得OBF與4OAB相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。分析：1.當給出四邊形的兩個頂點時應以兩個頂點的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以O、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形要分類討論：按OB為邊和對角線兩種情況2.函數中因動點產生的相似三角形問題一般有三個解題途徑求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊.和角的特點，進而得出已

35、知三角形是否為特殊三角形。根據未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊分類討論?；蚶靡阎切沃袑牵谖粗切沃欣霉垂啥ɡ?、三角函數、對稱、旋轉等知識來推導邊的大小。若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。例 1(20081(2008 福建福州) )如圖，已知ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s,點Q運動的速度是2cm/s,當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t(s),解答下列問題：(1)當t=2時，判斷BPQ的形

36、狀，并說明理由；(2)設BPQ的面積為S(cm2),求S與t的函數關系式；(3)作QR/BA交AC于點R,連結PR,當t為何值時，APRAPRQ?分析：由t=2求出BP與BQ的長度，從而可得BPQ的形狀;作QELBP于點E,將PB,QE用t表示，由S=1SBPQ=2XBPXQE可得S與t的函數關系式；先證得四邊形EPRQ為平行四邊形，得PR=QE,再由APRAPRQ,對應邊成比例列方程，從而t值可求.解:(1)4BPQ是等邊三角形，當t=2時,AP=2X1=2,BQ=2X2=4，所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又因為/B=600，所以BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QEXAB,

37、垂足為E,由QB=2t,得QE=2tsin600=31,由AP=t,得PB=6-t,所以S作PQ=1XBPXQE=1(6-t)而t=上3t2+3J31；222(3)因為QR/BA,所以/QRC=/A=600,/RQC=/B=60,又因為/C=600,所以QRC是等邊三角形，這時BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.因為BE=BQcos600=1X2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,2所以EP=QR,又EP/QR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形，所以PR=EQ=J3t,一APPRt3t6由APRSPRQ,得到=匚口,即=-_,解得t=6,PRRQ.3t6-

38、2t5所以當t=6時，APKPRQ.5點評：本題是雙動點問題.動態問題是近幾年來中考數學的熱點題型.這類試題信息量大，對同學們獲取信息和處理信息的能力要求較高；解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，并特別關注運動與變化中的不變量、不變關系或特殊關系，動中取靜，靜中求動.例 2(20082(2008 浙江溫州)如圖，在RtzXABC中，/A=90:AB=6,AC=8,D,E分別是邊AB,AC的中點，點P從點D出發沿DE方向運動，過點P作PQ_LBC于Q,過點Q作QR/BA交AC于R,當點Q與點C重合時，點P停止運動.設BQ=x,QR=y.(1)求點D到BC的距離D

39、H的長;(2)求y關于x的函數關系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；(3)是否存在點P,使4PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由.分析：由BHDABAC,可得DH;由RQCsABC,可得y關于x的函數關系式；由腰相等列方程可得x的值；注意需分類討論.解：(1)丫NA=Rt/,AB=6,AC=8,，BC=10.1_點D為AB中點，BD=AB=3.2丁/DHB=/A=90：/B=/B.二BHDszBAC,DH_BDACBCDHBDBCAC310125AB,，QRC=/A=90-CC=CC,RQCABC,綜上所述，當x為生或6或15時，4PQR為等腰三角形.點

40、評:建立函數關系式，實質就是把函數y用含自變量x的代數式表示；要求使PQR為等腰三角形的x的值，可假設4PQR為等腰三角形，找到等量關系，列出方程求解，由于題設中沒有指明等腰三角形的腰故還須分類討論.五、以圓為載體的動點問題動點問題是初中數學的一個難點，中考經?？疾?，有一類動點問題，題中未說到圓，卻與圓有關，只要巧妙地構造圓，以圓為載體，利用圓的有關性質，問題便會迎刃而解；此類問題方法巧妙，耐人尋昧。例1.在RMABC中，AC=5,BC=12,/ACB=90,P是AB邊上的動點（與點AB不重合），Q是BC邊上的動點（與點B、C不重合），當PQ與AC不平行時，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，

41、請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由。（03年廣州市中考）分析：不論P、Q如何運動，/PCGO小于/ACB即小于90,又因為PQ與AC不平行，所以/PQC不等于90,所以只有/CPM直角，CPQt可能是直角三角形，而要判斷CPQ是否為直角三角形，RQQCy10-xABBC610,即y關于x的函數關系式為：y=-x+6.5（3）存在.按腰相等分三種情況：當PQ=PR時，過點P作PM_LQR于M，則QM/1+/2=90；/C+/2=908.cos.1=cosC=10QMQP13日-x-62512當PQ=RQ時,183c12_x+6=,x=6.當PR=QR時， 則R為PQ中垂線上的點,

42、于是點R為EC的中點，CR=CE=AC=2.2QRtanC=CR4BACA-3x65215(2)vQR/只需構造以CQ為直徑的圓，根據直徑所對的圓周角為直角，若AB邊上的動點P在圓上，/CPQ就為直角,否則/CPQ就不可能為直角。以CQ為直徑做半圓D=當半圓D與AB相切時，設切點為M連結DM則DMLAB,且AC=AMk5所以MB=AB-AM=13-5=8則DM=x,DB=12x212-x10-20解得：x=1,所以CQ=2x=20r,20一、一，、一一,即當CQ=一且點P運動到切點M的位置時，CPQ為直角三角形。320一當一CQ12時，半圓D與直線AB有兩個交點，當點P運動到這兩個交點的位置時

43、，CPQ3為直角三角形。20當0CQ時，半圓D與直線AB相離，即點P在半圓D之外，0v/CPQ90,3此時，CPQ可能為直角三角形。20_所以，當CQ12時，CPQ可能為直角三角形。3例2.如圖2,直角梯形ABCM,AD/BC,/B=90,AD+BCDC若腰DC上有動點P,使APLBP,則這樣的點有多少個？分析：由條件APIBP,想到以AB為直徑作圓，若CD與圓相交，根據直徑所對的圓周角是90,兩個交點即為點P;若CD與圓相切，切點即是點P;若相離，則DC上不存在動點巳使APIBR解：如圖3,以AB為直徑做。O,設O。與CD切于點E因為/B=/A=90所以ARBC為。O的切線即AD=DEBC=

44、CE所以AD+BC=CD而條彳中AD+BCDC我們把CD向左平移， 如圖4,CD的長度不變， 的長度縮短，此時AD+BGDC,點O至ijCD的距離OE小于。O的半徑OE在Rt.DMB中，DB2=DM2+MB2,即圖1 1圖2CD與圓R圖3 3P、P2即AD與BCCD與。O相交，/AP1B和/AP2B是直徑AB所對的圓周角，都為90。，所以交點為所求。因此，腰DC上使APIBP的動點P有2個。例3.如圖5,ABC的外部有一動點P(在直線BC上方)，分別連結PBPC,試確定/BPC與/BAC的大小關系。(02年廣州市中考)分析：/BPd/BAC之間沒有聯系，要確定/BPC與/BAC的大小關系，必須

45、找恰當的載體，作為它們之間的橋梁，這道橋梁就是圓，通過構造ABC的外接圓，問題就會迎刃而解。(1)當點P在ABC外接圓外時，如圖5,連結BD,根據外角大于任何一個與它不相鄰的內角，/BPGZBDC又因為/BDC=/BAC所以/BPCC/BAC(2)當點P在ABC外接圓上時，如圖6,根據同弧所對的圓周角相等，/BPC=/BAC(3)當點P在ABC外接圓內時， 如圖7,延長BP交4ABC外接圓于點D,連結CD,則/BPO/BDC又/BDC=/BAC故/BPO/BAC綜上，知當點P在ABC外接圓外時,/BPG/BAC當點P在ABC外接圓上時，/BPC=/BAC當點P在ABC外接圓內時，/BPO/BA

46、C專題六、中考數學熱點專題突破訓練一一動點問題動點試題是近幾年中考命題的熱點，與一次函數、二次函數等知識綜合，構成中考試題的壓軸題.動點試題大致分為點動、線動、圖形動三種類型.動點試題要以靜代動的解題思想解題.下面就中考動點試題進行分析.例1(2006年福建晉州)如圖，在平行四邊形ABCD43,AD=4cmZA=60,BDLAD.一動點P從A出發，以每秒1cm的速度沿ZB-C的路線勻速運動，過點P作直線PM使PAD.1 .當點P運動2秒時，設直線PM與AD相交于點E,求APE的面積；2 .當點P運動2秒時， 另一動點Q也從A出發沿A-B的路線運動， 且在AB上以每秒1cm的速度勻速運動， (當

47、P、Q中的某一點到達終點，則兩點都停止運動.)過Q作直線QN使QMPM設點Q運動的時間為t秒(0wtw8),直線PM與QNB平行四邊形ABC所得圖形的面積為S(cm2)(1)求S關于t的函數關系式;(2)求S的最大值.圖5 5當6t8時,S=S平行四邊形ABC-SAQF-SAGCF.www.xueyouWO.net1.分析：此題為點動題，因此，1)搞清動點所走的路線及速度，這樣就能求出相應線段的長;析在運動中點的幾種特殊位置.2)分由題意知，點P為動點，所走的路線為：ZB-C速度為1cm/s。而t=2s,故可求出AP的值,求出APE的面積.進而略解：由AP=2,/A=60。彳導AE=1,EP=/3.因此凡=-AEEP=2.分析：兩點同時運動，點P在前，點Q在后，速度相等，因此兩點距出發點A的距離相差總是在AB邊上運動后，又到BC邊上運動.因此PMQN截平行四邊形ABC所得圖形不同.故分兩種情況:2cm.P(1)當P、Q都在AB上運動時，PMQN截平行四邊形ABC所得的圖形永遠為直角梯形.此時0WtW