1、一、選擇即（共 28 題）1.（安徽卷）如果 MB1G 的三個內角的余弦值分別等于 AAB2c2 的三個內角的正弦值,A. B1G 和2c2 都是銳角三角形B. B1cl和2c2 都是鈍角三角形C. AAB1G 是鈍角三角形，是銳角三角形D.1cl是銳角三角形，2c2 是鈍角三角形解，的三個內角的余弦值均大于 0,則是銳角三角形，若、土 5 二 G 是sinJ.=cos=sin(彳一4)銳角三角形,由;sin5.=coi-5.=-5.)ArsinJ=coiC.=sing-C：)所以 aiRC、是鈍角三角形.故選 D.一，4解,4 b=a.coa-ba c=O=a (b-0=0coaQb-c),

2、故選 CIOB|=B6X 6=0,點。在 NH內，且乙 4 宏=30,2006 高考試題】2.（北京卷）若 a 與 b-c 都是非零向量,則“a b=a c”是“a_L(bc)”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件3.（福建卷）已知 IOA|=1,設 OC=勿OA+AOB(9、nER),則出等于1111B.3C當D,也，那解析 2Pl 卜 U 礪卜麗=0 點 C 在 AB 上，且乙 H9C=30?.設 A 點坐標為（1,0）,B 點的坐標為（Q,Ji），C 點的坐標為（x,y）=（三，）44OCmOA+n(?5(wfHwR),則二 m=94

3、(A)5(B)4(C)3(D)1解析：向量 a 與 b 的夾角為 120|a+b|2=|a|2+2a-b+|b|2,A13=9-3|b|+|b|2,則 6 二一 1(舍去)或 6=4,選 B.5.(廣東卷)如圖 1 所示，D 是ABC 的邊 AB 上的中點，則向量無二A.-BC+1BAB.-BC-ABAC.BC-BAD.BC+-BA22221 解析：CD=CB+BD=-BC+-BA,故選 A6 .（湖北卷）已知向量牙=（J5,i）,6 是不平行于 x 軸的單位向量，且 16=JL 則 6=A.4)B.(匕立)支)D.(Q)222244解：設 5=（x,y）5則有向+丁=#且/+2=1。,產 0

4、）解得 x=；,丫=坐,7.（湖北卷）已知非零向量 a、b,若 a+劣與 a 一多互相垂直，則*=lbl11AB.4C.-D.242解：由a+2b 與a互相垂直=（a+2）（a2b）=0=a24b2=0即|a|2=4|b|n|a|=2|b|,故選 D8.（湖南卷）已知|i|=2|6|#O,且關于 x 的方程 x2+|x+6=O 有實根,則占與 6 的夾角的取值范闈是（）4.（福建卷）已知向量 a 與 b 的夾角為 120,=3,+6 卜 g 則同等于a-b=|a|b|-cosl20=-|b|,2rn、A0,一6解析；|=21bk0,且關于 x 的方程 V+|a|x+=0 有實根，則|a2-4a

5、-b0設向量/5 的夾角為&cos6=/+7 一=砧，利用余弦定理可得【點評】本題考查了兩向重平行的坐標形式的重要條件及余弦定理和三角函數，同時著重卷查了同學們的運算能力。12.（遼寧卷）設 0（0,0）,A（l,0）,B（0.1）,點 P 是線段 AB 上的一個動點，AP=2AB,若OPABPA PB,則實數 2 的取值范用是(A)-/il(B)1-21(C)-21+(D)1-dP=(l-z)dj+zOT=(l-/szX=JF=Z=(-Z5Z)OPABPAPB(l-zsx)(-Ll)(z;-z)(z-Ll-z)=2z:-4z+lb3滿足同=2 同，且為順時針旋轉 30。后與 U 同向

6、，其中 i=l,2,3,則A.-n+b+bjn。B.4 一燈+與=。C.4-lx-b3=0D.+2+63=0解；向量生、小、生的和牝+生+生=0。向量%、恁順時針旋轉 30。后與 4、&、4 同向，且同=2 同，a+&+a=o,選D.16 .（全國卷 I）用長度分別為 2、3、4、5、6（單位：cm）的 5 根細木棒圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面枳為A.85/5an2B.60airC.35/55cin2D.20air解：用 2、5 連接，3、4 連接各為一邊，第三邊長為 6 組成三角形，此三角形面積最大，面積為 646cm2,選艮17.（全國

7、卷 I）已知向量 a、b 滿足|a|二 L|b|=4,且 ab=2,則 a 與 b 的夾角為nnnnA.B.-C.D643213. （遼寧卷）已知等腰ABC 的腰為底的 2 倍,則頂角 A 的正切值是（）解:14.B.y/3c.叵8依題意，結合圖形可得 tanA=史，故 tai1A=2152tan2xrr一 115 士選口1-tan2-72（全國卷 I）AABC 的內角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c,若 a、b、c 成等比數列,且 c=2a,則 cosB=1A.一43B.-4D.叵3解析：向量外 8 滿足同=Lp|=I：且鵬=2,設與否的夾角為8,則a.b1cos6=-=.|b|2=選

8、 C.n18.（全國 II）己知向量=（4,2）,向量 6=（X,3）,且占6,則乂=（A）9（B）6（05（D）3解：ab=4X32x=0,解得 x=6,選 B19.（山東卷）在血中，角力、8、，的對邊分別為 a、b、c,A=-,a=y/3,b=l,則 c 二(8) 2(C)A/31(D)石解；由正弦定理得 s:nB=L,又 ab,所以 AB,故 B=3。）所以 C=9Q:故 c=2,選 B20.(山東卷)設向量 a=(l,-2),b=-2f4),c=(1,2),若表示向量4a,4b2c,2(a-c),d的有向線段首尾相接能構成四邊形，則向量 d 為(A)(2,6)(B)(2,6)(C)(2

9、,-6)(一 2,-6)解：設/=(x,y)因為 4a=(4,-12)4b2c=(-6,20),2(ac)=(4,2)依題意，有 4a+(4b2c)+2(a-c)4(C)AB-AD=BD：-T-T(D) AD+CB=0.解：由向量定義易得，（C） 選項錯誤：AB-AD=DB；的是(A)RBRB(B)RBRR(C)眄麗(D)質南解析：如圖，已知正六邊形月尸山 B 月?，設邊長|月月二 a,則/號月=三.，6|月月|二招，廢慈二久小分岑=三，zPFR=1,IP,P,|=2a,熊:而=a-2a=a：,耳&德=0,至二職貝 U=+sin65inC,i(cos2-cos2J)=sinsinCsi

10、n(+-4)sin(J-B)=sin5sinC一又 sin(/+4)=sinC,.sin(-4)=sin,/.工B=B,=23,若ABC 中，工=22,由上可知，每一步都可以逆推回去，得到優=3|8+c)，9所以 J=60+c)是 4=23 的充要條件，選 A 一26 .(浙江卷)設向量 a,6,c 滿足 a+6+c=6.aJ_6、|a|=l,|b|=2,則|c=(A)l(B)2(04(D)5解；由 a+%+c=0=-4-5=c,故|c=(一一方)-=|q+2a 工+5-=S27.(重慶卷)與向量。二(gjb-(；,1)的夾解相等，且模為 1 的向量是解；由博卜|可解得 k=0 或 6,當 k

11、=0 時，刀與就的夾角為?，當 k=6 時，與 MC 的夾角為 JT-arccoV,故選 D乂二、填空題(共 15 即)29 .(安徽卷)在口 ABCD 中，屈=&ADb 辱 3N0)3人(沙+);-(7獷2 (2 )24(北京卷)己知向量 a=(cos2,sina),b 二(cos。，sin。)，旦 aW 土 b,那么 a+b 與 a-b 的夾角的大小是.解！a-b=(coscr+cossmtz+sm(3)sa-b=(cost/cos/?sincesin/?),設a-b 與 a-b 的夾角為 a 則 36=。 ， 故 A35.(湖北卷)在ABC 中， 己知 a=士叵， b=4,A=3

12、0,則 sinB=42解：由正弦定理易得結論 sinB=立。236.(湖南卷)如圖 2,0M AB,點 P 在由射線 0M、 線段 0B 及 AB 的延長線圍成的陰影區域內(不含邊界)運動,且亞=xOA+yOT,則 x 的取值范圍是;當 x=-：時，y 的取值范:圍是.解析:如圖，OMAB,點 P 在由射線 OM,線確、OB 及 AB 的延長線圍成的區域內(不含邊界)運動,且加=x6A+麗，由向最加法的平行四邊形法則，OP 為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以0B 和 0A 的反向延長線為兩鄰邊，x 的取值范圍是（一 8,0）：當 X=-9 時，要使 P 點落在指定區域內，即 P 點應落在 D

13、E 上，CD=-OB,CE=-OB,222 y 的取值范圍是（L2237.（江蘇卷）在ABC 中，己知 BC=12,A=60,B=45,則 AC=【思路點撥】本題主要考查解三角形的基本知識【正神解答】由正弦定理得，上_解得 xc=4 而sin45sin60-【解后反思】解三角形，已知兩角及任一邊運用正弦定理，已知兩邊及其夾角運用余弦定理38.（江西卷）已知向量 3=（1,sin 勿，6=Q,cos.則忖一 6|的最大值為.解：a-b=|sin6cos0|=/2Isin（6）y/lo439 .（全國 H）已知政的三個內角力、B、。成等差數列，且 45=1,BC=4,則邊 30 上的中線相的長為.

14、解析：由 AABC 的三個內角 A、B、（:成等差數列可得 A+C=2B 而 A+B+C=；r 可得 NB=Z3AD 為邊 BC 上的中線小知 BD=2,由余弦定理定理可得 AD=O本題主要考察等差中項和余弦定理,涉及三角形的內角和定理,難度中等。40.（天津卷）設向量：與 6 的夾角為 e,a=（3,3）,2b-a=（-1,1）,則co0=.解析：設向量：與 6 的夾角為“且片=（3,3）,26-牙=（一 1,1）, 6=（1,2）,則.ab93 而Ia|-I）I3 五,。1041.（浙江卷）設向量 a,b,c 滿足 a+b+c=0,（a-b）c,a_Lb,若 IaI=1,則 IaI2+|b

15、|2+IcI2 的值是【考點分析】本題考查向量的代數運算，基礎題。【名師點拔】向量的模轉化為向量的平方，這是,個重要的向量解決思想。42.（上海春）在ABC 中，已知 BC=8,AC=5,三角形面積為 12,則-BCACAsinC=20sme=12 解： 由三角形面積公式，得 21cos2C=l-2sin2C=.25 從而應填 25.43.（上海春）若向量八 6 的夾角為 150，忸卜石，b=4,則 2a+b=解；如圖，在AABC中,1=2 向=2 在網平卜 4,于是,_E人-em2a+i1=5C|=J16+12-2-42V3cosl50=2應用余弦定理，得 I三、解答題（共 11 題）44.

16、（湖北卷）設函數 f（x）=a（b+c），其中向量 a=（sinx,-cosx）b=（sinx,-3cosx），c=（-cosx.siiix），XGRob=0(；-bj(a+b)=Oac=bc-e=同=J4-:ez.因為 2 為整數，要使同最小，則只有：尸 1，此時冷(一搟，-2)即為所求.45.(湖北卷)設向量 a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),xR,函數 f69=a(I)求函數/Yx)的最大值與最小正周期;(II)求使不等式f(x)-成立的 X 的取值集。2f(x)=a(a+b)=ala+ab=sin2x+cos2x+sinxcosx+cos2x解：(I);113 亞

17、=1+-sin2x+(cos2x+l)=+sin(2x+；) f(x)的最大值為？+巫，最小正周期是生=不。222(II)由(I)知“、3341.,不、3.z萬、f(x)O+sin(2x+)sin(2x+)0222424O2k?r2x+2k+lor-xk+,keZ3即 f(x)N3 成立的 x 的取值集合是 Jx|k 不一把 KxKk/r+工,kZ128846(湖南卷)如圖 3,D 是直角ABC 斜邊 BC 上一點,AB=AD,記 NCAD=a,/ABC=0.證明 sina+cos2/?=0若 AC 二百 DC,求夕的值.解：(1).如圖 3,a=-(TT-Ip)=ipsilla=sin(2/

18、7-)=-cos2/7,222即 sina+cos2/?=0.由 11得 sina=-cos1J3,sinG=-小cos2/7=-(l-2sin:Q,0尸B+C2cos-2l-cos(B+C)1人八 1+cosA.17F-(l-cosA)=+-=-1+cos(B+C)21-cosA33ARC=/,乂 SARr=-bcsinA=-bc ，則 be=3o 將 a=2,cosA=-,c=三代入余弦定理：a）=b2+c22bccosA 中得 b46b?+9=0 解得 b=JT3b48.（江西卷）如圖，已知 AABC 是邊長為 1 的正三角形，M、N 分別是邊 AB、AC 上的點,線段 MN 經過 aA

19、BC 的中心 G,設 NMSA=a（二工。江）33(2).在 AIS。中,由正弦定理得DCJCsinasin(萬一 0sinasin(3.：.sin=4sina即 2 屈尸-sin0-忑=。解得 sin 尸二坐或（2）因為 S試將 AAGM、ZkAGN 的面積(分別記為&與 SJ 表示為 a 的函數(2)求丫=+的最大值與最小值 8r主因為WaW3-,所以當 a=或 a=-時，y 取得最大值 yi=240當 a=時，y 取得最小值 ya=216249 .(全國卷 I)AABC 的三個內角為 AB、C,求當 A 為何值時，cosA+2cos 史2取得最大值，并求出這個最大值。切切,_B+

20、CnA,_B+CnA丁八,七B+CAB+CA.解：由A+B+C=TT,A+B+C=TT,得二-二7 7n n所以存ccsccs：- -=sin-.=sin-.當 sin,=1,即時，cosA+2cosE取得最大值為 J50 .(全國 II)己知向量 a=(sin。，1),b=(l,cos),一二 VOaZb=0=sin8+cos8=0=0=-4(2).卜+6卜gn6+Lcos6+1)|=#由8+1+(cos6+iy=+2sin+1+cos*+2cos+1=J2(sin8+cos。+3本題主要考察以下知識點1.向量垂宜轉化為數量積為02.特殊角的三角函數值3.三角函數的基本關系以及三角函數的有界

21、性 4.已知向量的坐標表示求模難度中等，計算量不大2J751 .(全國 II)在 AABC 中，NB=450,AC=M,cosC=、一,求(1)BC=?（2）若點 D&B 的中點，求中線 CD 的長度。cC=得 oC=sinA=sin(l80,45*-C)=(cosC+sinC)=RrAC.yJlQ3yflQ6BC=sinA=-=372sinBx/210由正弦定理知2ARACr回小)AB=-sinC=-=-=2sinBJ251BD=-AB=I22CD=VBD2+BC2-2BD-BCcosB=J+18-213孝二屈52.（四川卷）己知 AB,C 是三角形 AABC 三內角，m=(-1,/

22、?)】=(cosAsinA),flmn=1(I)(I)求角A A：(H)(H)若22=3，求tanC.tanC.cos-B-siirB解.a當比 1（8+工）=1 時+方有最大值:此時 6=二-最大值為仁 JI+349=W+1(2)由余弦定理知sin(+)+3解；本小題主要考察三角函數概念、同角三角函數的關系、兩角和與差的三角函數的公式以及倍角公式，考察應用、分析和計算能力。(I)B.w-w=lcos-1sinJ)=1SP-sinA-cosA=1(II)由題知 1+44nBcjB=_3,整理得 sh/B-sinBcosB-2cos?B=0cos-B-sdirB:.cosB 工 0:.tairB

23、-tanB-2=0:.tanB=2 或 tanB=-1而 tanB=-l 使 cosBsh/BuO,舍去 AtanB=253(四川卷)己知 A、B、(:是 AABC 三內角，向量 m=(-1,拘,n=(cosAsin,且 ni n=L(I)求角 A,“、立 l+sin2B,(II)八；=-3,求 tanB.cos-B-sin-B本小題主要考察三角函數概念、同角三角函數的關系、兩角和與差的三角函數的公式以及倍角公式，考察應用、分析和計算能力。滿分 12 分。解：(I)w-w=1|-1.1-(cosA.sin-4)=10A7T:-tanC=tan萬-(A+B)=-tai(A+B)8+5 逐-(II

24、)由題知1+2sinBcosBcos2B-siirB=-3,整理得打.丁+笈A/1?4(II)解：由 cosC=：,且 OvC戲得 sinC=Jl-cos?C=中.由正定理,ABBCg 皿、fBCsinCy/14小、.5 代小加小八一=，解得 5inX=./以 9cosA=.由倍角公式sinCsinHAS5J7sin2J=sin24-cosJ=16且 cos2A=l-2sin:A=16BC2=202+102-2X20X1OCOS12O0=700.于是 BC=10V7.eesinACBsinl20./ITV-=-,AsinNACB 二一，20105VVZACB90，NACBF10，乙船應朝北偏東

25、 71方向沿立線前往 B 處救援.2005 高考試題】高考試題】1.(全國卷I)AABC的外接圓的圓心為 0,兩條邊上的高的交點為H,OH=m(OA+OB+OC),則實數m 二二2.(全國卷國卷 H)已知點 A(JJ,1),B(0,0)C(73,0).設 NBAC 的平分線 AE 與 BC相交于 E,那么有無二而，其中 2 等于(C)11A.2B.C.3D.233.(全國卷 H)點 P 在平面上作勻速直線運動，速度向量(4,-3)迷(點小的運動方向與沙相同，且每秒移動的距離為 IT 個單位.設開始時點 P 的坐標為(-10,10)，則 5 秒后點 P 的坐標為(C)A.(-2,4)B.(-30

26、,25)C.(10,-5)D.(5,-10)4 .(全國卷 IID 已知向量 6A=(k,12),而=(4,5),&=(k,10),且 A、B、C 三點共線,則 k 二-馬35.(北京卷(若|&|二L|6|=2,1=J+6,且 21，則向量二與 6 的夾角為(c)3)30(6)60(C)120(。)1506 .(上海卷)直角坐標平面 xoy 中，芥定點 A(12)與動點 P(x,y)滿足則點 P 的軌跡方程是x+2vT=0o7 .(天津卷)在直角坐標系 xOy 中， 已知點 A(0,1)和點 B(-3,4),若點 C 在 NA0B 的平分線上且 1 改 1=2,則 66=(-孚

27、，邛 I8.(福建卷)在 AABC 中，ZC=90,Q=(kJ),而=(23),則 k 的值是(D)A.5B.-5C.1D.-19.(廣東卷)已知向量 a=(2,3),b=(x,6),且 a 口 b,則 x 為-410 .(湖北卷)已一向量：=(2,2)F=(5,k)若|+6|不超過 5,則 k 的取值范圍是 16,211 .(江蘇卷)在陽 C 中， 0 為中線 AM 上一個動點， 若 AM=2,WiJOA*(OB+OC)MM 小值是_-2。12.(江西卷)已知向量；=(U),6(2,-4),|c|=若 G+b)c=，則:與曲夾角為 2(C)A.30B.60C.120D.15013(江西卷)已

28、知向量a-(2cosstan(+)：=(A/2sin(+)stan(-)s=a-b.2242424是否存在實數 xw 血小使八 x)+=0(其中 r(K)是外)的導函數)。若存在,則求出 K 的值；若不存在 9 則證明之.14.(浙江卷)已知向量e,e=L 對任意 I 三 R,恒有 a1c24，則(C)(A)a1.&(B)aA-(a-e)(C)cJL(4 一一 2)(D)(c+5)(c7-5)15.(全國 I)點 0 是三角形 ABC 所在平面內的一點，滿足6A加=6曰6己=626A.則點。是AABC的(B)(A)三個內角的角平分線的交點(E)三條邊的垂直平分線的交點(C)三條中線的交

29、點(D)三條高的交點16.(湖南)P 是 aABC 所在平面上一點，若FA而=扇記=記港，則 P 是 AABC 的(D)A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心2004 高考試題】高考試題】答，T 時,/(x)+/(x)=0一）選擇題1. （2004.全國理）已知 a、b 均為單位向量,它們的夾角為 60,那么|a+3b|二(C)A.B.V10C.V13D.42.（20CH.湖北理）已知為非零的平面向里.甲：乙：力=勒則A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3. （2004.福建理）已知 a、b 是非零向

30、量且滿足己一 2b）角是（B）4.（2004.重慶理）若向量 2 與 B 的夾角為 60,|E|=4，G+2E）而3 旬二-72,則向量 a的模為（C）A.2B.4C.6D.125、（2004.四川理）已知平面上直線/的方向向量 e=（-點 0（0,0）和點 A（lr2）在/上的射影分別為 0,和 A，則。川=入&其中人=（D）AB-C2C-2556.(04.上海春季高考)在 AABC 中，有命題-AC=BC：SB+BC+CA=0；若(融+衣)(荏一而)=0,則 AABC 為等腰三角形；若則神。為銳角三角形.命題正確(b-2a)b,則&與 b 的夾A.nInc.一D.(A)(A

31、)7.(2004.天津卷)若平面向量各與向量 5=(L-2)的夾角是 ISO且不|=3 正，則2=(A)(A)(-3.6)(B)(3-6)(0(6,-3)(D)(-6,3)-)埴空題*-*-f 一 43S.平面向量&6 中,已知 a-(4.-3)b-L 且 aG-5s 則向量 3=(三).9.(2QQ4 湖南理)已知向量 g(cos6,sin6),向量 8(右,一 1),則 X 一七的最大值是410、(2004.上海理)已知點 A(l,2),若向量品與二2,3同向，|司二 2 而，則點 B 的坐標為(5,4).三)解答即11. (2004.湖北理)(本小題滿分 12 分)如圖， 在 R

32、tAABC 中， 己知 BC=a,若長為 2d 的線段 PQ 以點 A 為中點， 問改與玩的夾角。取何值時或反的值最大？并求出這個最大值.r11.本小題主要考克向最的概念，平面向后的運算法則，考杳運用向量及函數知識的能力,滿分12 分.(D)=1?-AQ-A?-AC-AB-AQ+A-1C=-az-AP-ACABAP=-az-AP(AB-JlC)=-az+PQ-BC=-az-POBC7 7一=-r+丁 cos。故當 cos6=1：即 6=0（而與前方向相同）時:薩的最大其最大值為 0解法二：以直角頂點 A 為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系.設|AB|=c|AC|=

33、b,則 A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.設點 P 的坐標為(x,y),則 Q(-工-y).BP=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y).BPCQ=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+ex-by3=亙.藝=4.|PQ|-|BC|a-:.cx-by=a2cos。:.BPCQ=-a2+a2cos.故當 cos1,即夕=0（逅與彘方向相附吐前氏最大，其最大值為）.12. （04.上海春季高考）（本題滿分 12 分）在直角坐標系 xOy 中，已知點P（2cosx+l,2cos2x+2）和點Q（co

34、sx,-1）其中 xw07.若向量 OP 與 0Q 垂直，求 x 的值.12.由 OP1OQ,得 cos2cosx+l)-(2cot2x+2)-0利用 cos2x-2cos2x-1,化簡后得2cos2x-cosx=0,于是 cosx=0 或 cosx=工,VXD,4)C.(34)D.(34)4.(2001 江西、山西、天津)設坐標原點為 0,物物線,=2*與過焦點的直線交于 4B兩點，則 6A麗等于()33A.B.C.3D.-3445.(2001 上海)如圖 51,在平行六面體 4AGA 中，怒為“與切的交點，若至二盤AD19,4 人”.則下列向量中與 8乂相等的向量是()A.(a-b)-a-

35、Q-c)B(a-b)-c=n-c-i-cCm(a-b)mnbD.儲方)c=a(b-c)以 j5GR,且 a/Ts 則點 C 的軌跡A.3x-2i11=B.(x1)-(v2)二=5D.X-2T-5=01ZT+C26. (2001 江西、山西、天津理，5)若向量 a=(1,1),t=(L1),c=L2),則 C 等于()1313A-7a三沙 B,74 一 7 匕31D.ab7.（2000 江西、山西、天津理.4）設小氏。是任意的非零平面向量,且相互不共線,則(ab)c(ca)6=0|a|一|b|N8360。.(1)證明CiCLBDi（2） 假定CA2,CC=1,記面C,BD為公面CBD為為求二面角

36、aBDj3的平面角的余弦值;CD（3）當的值為多少時,CC28. （1999 上海，20）如圖 512,在四枝錐尸一破中，底面儂）是一直角梯形，NBA490： AD/BC,AB=BC=a,AD=2a,且_L 底面被力,長與底面成 30。角.（1）nAE1PD,后為垂足，求證：BELPDx（2）求異面直線絲與所成角的大小.29.（1995 上海，21）如圖 513 在空間直角坐標系中止 2,原點。是 6C 的中點，點 Hy31的坐標是（一，一，0）,點，在平面%N 上，且/6 減 90,NZO=300.2（1）求向量而的坐標；（2）設向量通和玩的夾角為 6,求 cosH 的值.答案解析能使.士

37、UL 平面CR?請給出證明.圖 5-131 答案；D解析 2 因為2)c=a| cos 丸而 4(b c)二區年 80 匕而 c 方向與 a 方向不一定同向.評述，向型的積運算不滿足結合律.2 .答案：D解析，設。=(xy)fOA=(3,1),OB=(1,3)*aOA=(3a*a),0B=（一&3）又 aOA一夕。3 （3c）,又，-=1 因此可得 x-2r=5評述：本題主要考查向量法和坐標法的相互關系及轉換方法3 .答案：D解析：設(x，y)-2ba-2(01)(3,2)=(3,4).評述：考查向后的坐標表示法.4 .答案:B1解法一,設(孫T：),：),所在直線方程為y=Mx彳)，

38、則OAOB,y=k（x-）F又 q”2,得戶必一（F-2）X=0,.巧土=1y=2x12345解析：B.M=B.B4-BM-AAH(BA+BC)=c+(+z?)-a+bc2222評述：用向量的方法處理立體幾何問題，使復雜的紋面空間關系代數化，本題考查的是基（XX）（）（X X：）= =、r解法二，因為直線.是過焦點的弦,所以 JT=F=-1.為互同上.評述：本題考查向量的坐標運算，及數形結合的數學思想.5.答案：A二（My）=（3a-Aa-3）.卜=3a”IJ=5/-12/=(5,-12)(-3)X5+4X(-12)=63.評述：本題考資平面向量數最枳的坐標表示及求法.15.答案：(4,2)0

39、+-60+-3解析：設尸(人7),由定比分點公式乂=彳一=2,y=彳一=1,1+-1+-22則尸(2,1),又由中點坐標公式，可得 8(4,2).消16.(1)證明？/3。=TCM3=一.0)BC=力ABAC=a,為正三角形又刀九=0,即 Z-J1X-L5,同理“月平面ABC,從而三棱柱ABC封為 C 是正二棱柱.(2)解：取，5 中點。，連結 C。、壯。COLAB,平面被口_平面他 84,平面 45&4,即 NC410 為直線 C41 與平面 4 居 8 所成的角.在中，COm.mJllf+/,2COy2：.sinCA=，即/1 公傷。.CA2又AB=w.0.-4C=?w.0.0)則

40、O.DLCB.平面儂”_L 平面OAB, Q_L 平面 6L4B.過，作絲的垂線，垂足為其連結電則 0_L./.n 以 a 為二面角 a 一四一。的平面角.sin。酢,0A再VOA2+OB27V21：.DEDBsinOBA=7;在 RfZXM?中，tan 龐zZZA=arctanVY,即二面角。一AB0 的大小為 arctanJY.（2）以。點為原點，分別以 Q4、。5 所在直線為 x、j 軸，過。點且與平面.西垂直的直線為二軸，建立空間直角坐標系如圖 515.則。（0,。,0）,。:（0,11 后,A（忑,.0）,山（垂，b、萬），3（0,2,0）.設異面直線乂：5 與.4。所成的角為 a,

41、則港二示一西二一、氏 1 一、月,席=如一也=右；一 1；上，AiS OiA1co2 匚=，|AB|-O,A|71111L1.異面直線與工。二所成角的大小為 aiccos.J18.解法一：如圖 516,以。點為原點建立空間直角坐標系.3由題意，有 8（3,0,0）,。（一，2,4）,設尸（3,0,力，則3 3- -BD,2,4,OP=3,0,z).2.99:BD 工 OP,ABDOP 二一一+4z=0,.28*：BB,_L 平面 425, N 月比是 8 與底面 408 所成的角.33tanP0B=,XPOBarclan.88解法二：取。5 中點 E,連結 DE、BE.如圖 517,則QE_L

42、 平面OBBO,.5E 是 5D 在平面。那。內的射影.又 102JL3D.由三垂續定理的逆定理，得在矩形OSBO中，易得RtAOBPs 處BBEBPOB9一=；,得B?=BEBB8（以下同解法一）19.解：（1）如圖 5-18,以點 4 為坐標原點。，以松所在直線為勿軸，以 44,所在直線為。軸，以經過原點且與平面曬 4 垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系.由已知，得4(0,0,0),3(0,a,0),A(0,0,yfla),G(-a,-,V2a22旦,0,0）,且初二（。，a,0）,麗二（0,0,V2a)坐標系如圖，取楨的中點 M 于是有攜辦由于 MCAB=o,MC1AA=0,所以因上面闞

43、 4.：.AC.4 加所成的角就是AC,與側面四民兒所成的角.v=(-Ia,-,V2a),血=(o,匕,日),222CC9/.AC.AM=0-十 23 二-出.4492市=上一直Va-a.-所以 HG 與AM所成的角，即 NG 與側面.”山所成的角為 30$.20.解：（1）記尸（x,y）由必（1,0）,（1,0）得 PM 二一 MP 二（一 1 一 x,-y）PN=-NP=(1x,y),MN=NM=(2,0)MP MN=2(l+x),PM PN=z+y-bNM NP=2(1 一 4.于是，Nff而 J,PM-PN,NM即是公差小于零的等差數列等價于x3+y2-1=-2(1+x)+2(1-x)

44、,22(l-x)-2(l+x)0所以，點尸的軌跡是以原點為圓心，6 為半徑的右半圓.0,h),有CV=(a,-a9h)且BE=(?7?11即/?=J2a,這時有-6a-+lr-6a-+(Via)-1cos=，八,t,=、I=-10a-+lr10a-+(V2a)-311Z5Z5 9=9=arccosarccos( ()=TT-arccos-arccos評述：本小題主要考查空間直角坐標的概念、空間點和向量的坐標表示以及兩個向量夾cosBE.DE.CV=444=0.角的計算方法；考查運用向量研究空間圖形的數學思想方法.22 .證明！因為 CBJL 平面力力,所以 4C 在平面之 5 上的射登為 4/

45、由山紇二平面 H5 得 X：CJ_E.同理可證月:Cl 工尸.因為 diUL/R4cLiE,所以 N】CL 平面AEF.（2） 解： 過. 作史） 的垂線交 8 于 G,因為 DQLqG,所以.WG_L平面DBBD.設衛 G 與 VIC 所成的角為&則 a 即為平面AEF與平面D-BD所成的角.9 由已知，計算得 QG=-.490),G(-,3,0),A(0,0,5),4C(4,3,0).94 旁(一，3,0,404,3,-5).4因為 4G 與 4c 所成的角為 a,注：沒有學習向最知識的同學可用以卜.的方法求二面角的平面角.解法一：設 4G 與 89 交于 M 則0)則 BE 二L1,0,AD=0,2,z),設苗與而所成角為。.則超匣二-J4+22COS0=-2,且心與716+4=05BE所成的角的大小為而.s21arccos.arccos. cos0cos0=104+z 10| |Q QQ又匕 I 同 X|6C|X|初二一，因此，四面體的 9 的體枳為一.633評述：本題考查空間圖形的長度、角度、體積的概念和計算.以向量為工具，利用