1、Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究第第4章章銳角三角函數銳角三角函數Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究中考要求中考要求1）基本概念：包括直角三角形的基本元素，）基本概念：包括直角三角形的基本元素，邊角關系，銳角三角函數等邊角關系，銳角三角函數等2）基本計算：包括對角的計算，對邊的）基本計算：包括對角的計算，對邊的計算，應用某種關系計算等。計算，應用某種關系計算等。3）基本應用：主要題型是：測量，航海，坡面）基本應用：主要題型是：測量，航海，坡面改造，光學，修筑公路等其主要思想方法是：改造，光學，修筑公路等其主要思想方法是：方程思想，數形結合，化歸

2、轉化，數學建模等。方程思想，數形結合，化歸轉化，數學建模等。Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究sin A= 斜邊的對邊Acos A= 斜邊的鄰邊Atan A= 的鄰邊的對邊AA cot A= 的對邊的鄰邊AA知識 概要（一）銳角三角函數的概念（一）銳角三角函數的概念分別叫做銳角分別叫做銳角A的的正弦、正弦、余弦、正切、余弦、正切、余切余切，統稱為，統稱為銳角銳角A的三的三角函數角函數.0sin A1，0cos A1 這些這些函數值之間函數值之間有什么關系有什么關系？Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究（二）同角三角函數之間的關系（二）同角三角函數之

3、間的關系sinA+cosA=1tanA=sinA/cosAtanA cotA=1（三）互余兩角三角函數之間的關系（三）互余兩角三角函數之間的關系sin A= cos（90 - A）tan A =cotA（90 - A）Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究知識 概要（四）三角函數值的變化規律（四）三角函數值的變化規律1）當角度在）當角度在0-90之間變化時，正弦值（正切值）之間變化時，正弦值（正切值）隨著角度的增大（隨著角度的增大（或減小或減小）而增大（）而增大（或減小或減小）2）當角度在）當角度在0-90之間變化時，余弦值（余切值）之間變化時，余弦值（余切值）隨著角度的增

4、大（隨著角度的增大（或減小或減小）而減小（）而減小（或增大或增大）Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究21212222332323333311角度角度逐漸逐漸增大增大正弦值正弦值如何變如何變化化?正正弦弦值值也也增增大大余弦值余弦值如何變如何變化化?余弦值逐漸減小正切值正切值如何變如何變化化?正切正切值也值也隨之隨之增大增大余切值余切值如何變如何變化化?余切余切值逐值逐漸減漸減小小cottancossin6 045 3 0角 度三角函數09001001不存在不存在0（五）特殊的三角函數值（五）特殊的三角函數值知識 概要Copyright 2004-2009 版權所有 盜版

5、必究知識 概要 填空：比較大小填空：比較大小1735tan) 1 (5317tan9cos2）（10cos82sin68sin3）（Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究知識 概要（六）解直角三角形（六）解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。未知元素的過程，叫做解直角三角形。若直角三角形若直角三角形ABC中，中，C=90 ，那么，那么A， B， C，a,b,c中除中除C=90外，其余外，其余5個元素之間有如下關系：個元素之間有如下關系：1）a+b=c2）A+B=90 3）c ca

6、 aABABBCBC斜邊斜邊A的對邊A的對邊sinAsinAABCabcc cb bABABACAC斜邊斜邊A的鄰邊A的鄰邊cosAcosAb ba aACACBCBCA A的鄰邊的鄰邊A A的對邊的對邊tanAtanA只要知道其中只要知道其中2個元素個元素（至少要有一個是邊）就（至少要有一個是邊）就可求出其余可求出其余3個未知數個未知數Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究1）仰角和俯角）仰角和俯角鉛鉛直直線線水平線水平線視線視線視線視線仰角仰角俯角俯角在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.知識 概要（七）應用問題中

7、的幾個重要概念（七）應用問題中的幾個重要概念Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究 以正南或正北方向為準，正南或正北方向以正南或正北方向為準，正南或正北方向線與目標方向線構成的小于線與目標方向線構成的小于900的角的角,叫做方叫做方向角向角.如圖所示：如圖所示：3045BOA東東西西北北南南2）方向角）方向角4545西南西南O東北東北東東西西北北南南西北西北東南東南Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究19.4.5 坡度通常寫成坡度通常寫成1 m的形式，如的形式，如i=1 6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a，有有i =

8、tan a顯然，坡度越大，坡角顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.lh 在修路、挖河、開渠和筑壩時，設計圖紙上都要注明斜在修路、挖河、開渠和筑壩時，設計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度坡的傾斜程度.lh如圖如圖:坡面的鉛垂高度（坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）的比叫做坡面坡度（或坡比）.記作記作i,即即 I = .3）坡度（坡比）坡度（坡比）,坡角的概念坡角的概念Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究銳角三角函數的概念關系銳角三角函數的概念關系1）在）在Rt ABC中，中，C=90BC=a，AC=b若若sinA

9、 sinB = 2 3，求，求a b的值的值銳角三角函數的概念銳角三角函數的概念解法解法1 設設AB=c由三角函數的定義得：由三角函數的定義得：sinA sinB=a/c b/c=a b a b = 2/3解法解法2 由三角函數的定義得：由三角函數的定義得：a=csinA, b=csinB, a/b=csinA/csinB a b=sinA/sinB = 2/3抓住三角函數的定義是解題的抓住三角函數的定義是解題的關鍵關鍵Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究銳角三角函數的概念關系銳角三角函數的概念關系銳角三角函數的概念銳角三角函數的概念2 在在 ABC中中A B，C=90則

10、下則下列結論正確的是（列結論正確的是（ ）(1)sinAsinB(2)sinA+sinB=1(3)sinA=sinB(4)若各邊長都擴大為原來的若各邊長都擴大為原來的2倍，則倍，則tanA也擴大為原來的也擴大為原來的2倍倍A)(1)(3) B)(2)C)(2)(4) D)(1)(2)(3)解析：令解析：令a=3,b=4則則c=5,sinA=3/5,sinB=4/5且且 A B，易知，易知（1）（）（3）都不對，故選）都不對，故選 B）用構造特殊的直角三角形來否定某些用構造特殊的直角三角形來否定某些關系式，是解決選擇題的常用方法關系式，是解決選擇題的常用方法Copyright 2004-2009

11、 版權所有 盜版必究銳角三角函數的概念關系銳角三角函數的概念關系三角函數值三角函數值三角函數值三角函數值3.如果3.如果 cosA-0.5cosA-0.5+ +3 3tanB-3tanB-3 =0,=0,那么那么ABC是（ ）ABC是（ ）A）銳角三角形）銳角三角形B）直角三角形）直角三角形D）鈍角三角形）鈍角三角形C）等邊三角形）等邊三角形解：根據非負數的性質，由已知得解：根據非負數的性質，由已知得cosA=cosA=1 12 2,tanB=,tanB= 3 3則則 CCopyright 2004-2009 版權所有 盜版必究銳角三角函數的概念關系銳角三角函數的概念關系三角函數值三角函數值三

12、角函數值三角函數值4. 計算：4. 計算： sinsin2 24545 0 0+ 6tan30+ 6tan30 解：原式=(解：原式=(2 22 2) )2 2- -1 12 2 點評點評 融特殊角的三角函數值，簡單融特殊角的三角函數值，簡單的無理方程的計算以及數的零次冪的的無理方程的計算以及數的零次冪的意義于一體是中考命題率極高的題型意義于一體是中考命題率極高的題型之一之一Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究銳角三角函數的概念關系銳角三角函數的概念關系三角函數值三角函數值互余或同角的三角函數關系互余或同角的三角函數關系互余或同角的三角函數互余或同角的三角函數5.下列式中

13、不正確的是（下列式中不正確的是（ ）A)cos35A)cos35 2 26060 2 26060 C點評點評：應用互余的三角函數關系：應用互余的三角函數關系進行正弦與余弦的互化，并了解進行正弦與余弦的互化，并了解同一個銳角的三角函數關系，能同一個銳角的三角函數關系，能運用其關系進行簡單的轉化運算，運用其關系進行簡單的轉化運算，才能解決這類問題。才能解決這類問題。Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究銳角三角函數的概念關系銳角三角函數的概念關系三角函數值三角函數值互余或同角的三角函數關系互余或同角的三角函數關系互余或同角的三角函數互余或同角的三角函數6 在在 ABC中中C=9

14、0化簡下面的式子化簡下面的式子1 1- -2 2s si in nA Ac co os sA A 7 在在 ABC中中C=90且且1 1sinAsinA+ +1 1tanAtanA=5=5求求cosA的值的值點評：利用互余或同角的三角函點評：利用互余或同角的三角函數關系的相關結論是解決這類問數關系的相關結論是解決這類問題的關鍵題的關鍵Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究銳角三角函數的概念關系銳角三角函數的概念關系三角函數值三角函數值互余或同角的三角函數關系互余或同角的三角函數關系4.解直角三角形解直角三角形解直角三角形解直角三角形7 7. .在在R Rt t A AB B

15、C C中中， 解解 點評點評：由于三角函數是邊之間：由于三角函數是邊之間的比，因此利用我們熟知的按的比，因此利用我們熟知的按比例設為參數比的形式來求解，比例設為參數比的形式來求解，是處理直角三角形問題的常用是處理直角三角形問題的常用方法。方法。Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究銳角三角函數的概念關系銳角三角函數的概念關系三角函數值三角函數值互余或同角的三角函數關系互余或同角的三角函數關系4.解直角三角形解直角三角形解直角三角形解直角三角形ABC8.如圖小正方形的邊長為如圖小正方形的邊長為1，連，連結小正方形的三個頂點得到結小正方形的三個頂點得到 ABC，則，則AC邊上是

16、的高（邊上是的高（ ）A A) )3 32 22 2B B) )3 31 10 05 5C C) )3 35 55 5DD) )4 45 55 5點評點評：作：作BC邊上的高，利用邊上的高，利用面積公式即可求出面積公式即可求出AC邊的高，邊的高，面積法面積法是解決此類問題的有是解決此類問題的有效途徑效途徑Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究銳角三角函數的概念關系銳角三角函數的概念關系三角函數值三角函數值互余或同角的三角函數關系互余或同角的三角函數關系4.解直角三角形解直角三角形5.解直角三角形的應用解直角三角形的應用解直角三角形的應用解直角三角形的應用9.如圖如圖某人站在

17、樓頂觀測對面的筆直某人站在樓頂觀測對面的筆直的旗桿的旗桿AB，已知觀測點，已知觀測點C到旗桿的到旗桿的距離（即距離（即CE的長）為的長）為8米，測得旗米，測得旗桿頂桿頂 的仰角的仰角ECA為為30旗桿底旗桿底部的俯角部的俯角ECB為為45 則旗桿則旗桿AB的高度是（的高度是（ ）米）米解：如圖在Rt解：如圖在RtACE和RtACE和RtBCE中BCE中 CABDE E點評：此題屬于解直角三角形的點評：此題屬于解直角三角形的基本應用題基本應用題測量問題測量問題，要明確，要明確仰角仰角和和俯角俯角，然后數形結合直接，然后數形結合直接從圖形出發解直角三角形從圖形出發解直角三角形.Copyright

18、2004-2009 版權所有 盜版必究10.如圖某船以每小時如圖某船以每小時30海里的速度先向正東方向航行，在點海里的速度先向正東方向航行，在點A處測得某島處測得某島C在北偏東在北偏東60的方向上，航行的方向上，航行3小時到達點小時到達點B，測得該島在北偏東測得該島在北偏東30的方向上且該島周圍的方向上且該島周圍16海里內有暗礁海里內有暗礁（1）試證明：點）試證明：點B在暗礁區外；在暗礁區外；（2）若繼續向東航行有無觸暗礁的危險？）若繼續向東航行有無觸暗礁的危險？東東北北C CA AB BD解：解：1）由題意得，）由題意得，CAB=30，ABC=120 ，則，則C=30 ，BC=AB=303=

19、90 16點點B在暗礁區外在暗礁區外.2)如圖過點如圖過點C作作CDAB交交AB的延長線于的延長線于D點，設點，設BD=x，在，在Rt BCD中，中，CBD=60， 船繼續向東航行沒有觸礁的危險。船繼續向東航行沒有觸礁的危險。Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究11）如圖）如圖AM，BN是一束平行的陽光從教室窗戶是一束平行的陽光從教室窗戶AB射入的平射入的平面示意圖，光線與地面所成的角面示意圖，光線與地面所成的角AMC=30，在教室地面，在教室地面的影長的影長MN= 米，若窗戶的下檐到教室地面的距離米，若窗戶的下檐到教室地面的距離BC=1米，米，則窗戶的上檐到教室地面的距

20、離則窗戶的上檐到教室地面的距離AC為（為（ ）米）米A A) )2 23 3 B B) )3 3 C C) )3 3. .2 2 D D) )3 33 32 22 2 3 3解：如圖過B作BD解：如圖過B作BDMC交AM于D，MC交AM于D， 則得四邊形DBNM是平行四邊形 則得四邊形DBNM是平行四邊形 B此題屬于光學問題的基本應用，首先此題屬于光學問題的基本應用，首先要對有關生活常識有所了解，從圖形要對有關生活常識有所了解，從圖形入手，數形結合，將已知信息轉化為入手，數形結合，將已知信息轉化為解直角三角形的數學模型去解。解直角三角形的數學模型去解。Copyright 2004-2009 版

21、權所有 盜版必究12）如圖，一張長方形的紙片）如圖，一張長方形的紙片ABCD，其長，其長AD為為a，寬，寬AB為為b(ab) ，在，在BC邊上選取一點邊上選取一點M，將，將 ABM沿著沿著AM翻折翻折后，后，B至至N的位置，若的位置，若N為長方形紙片為長方形紙片ABCD的對稱中心，的對稱中心，求求a/b的值。的值。2 21 1N ND DA AB BC CM M3解解：如如圖圖連連結結N NC C，由由已已知知得得， A AB BMM 點評點評：此題是創新綜合題，要求我們對圖形及其此題是創新綜合題，要求我們對圖形及其變換有較深刻的理解，并運用圖形對稱性和解直變換有較深刻的理解，并運用圖形對稱性和解直角三角形知識或勾股定理建立等式求解。角三角形知識或勾股定理建立等式求解。Copyright 2004-2009 版權所有 盜版必究1