1、第*卷第*期2 0 * * 年 * 月機械工程學報JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERINGVol.*No.*20*DOI：10.3901/JME.20*.*.*激勵幅值對準零剛度隔振器特性的影響(二號黑體)*劉興天1, 2黃修長1, 2張志誼1, 2華宏星1, 2(四號仿宋)(1. 上海交通大學振動、沖擊、噪聲研究所上海200240；2. 上海交通大學機械系統與振動國家重點實驗室上海200240)摘要(小五，黑體)：提出具有負剛度特性的歐拉屈曲梁結構并分析其靜態特性，將負剛度機構和線性隔振器并聯使用，設計準零剛度隔振器。如果隔振器的載荷選用得當，系統將在零剛度點平衡，

2、若載荷發生改變，系統平衡點將偏離零剛度點。考慮載荷的影響，對零剛度隔振器進行動態建模，并采用諧波平衡法求解準零剛度隔振器的響應。定義準零剛度隔振器平衡點不在剛度零點時系統的力傳遞率，分析激勵幅值和載荷對隔振器性能的影響并和線性隔振器的性能進行比較。結果表明，所設計的零剛度隔振器具有低頻隔振效果，其響應和隔振性能受到激勵幅值和載荷的影響，可以使系統的特性從單純的漸硬剛度向漸軟剛度以及漸軟-漸硬剛度混合的特性改變，并顯著改變系統的傳遞性能。(小五，宋體)關鍵詞(小五，黑體)：負剛度隔振非線性系統諧波平衡法(小五，宋體)中圖分類號(小五，黑體)：TG156(小五，Times New Roman)In

3、fluence of ExcitationAmplitude and Load on the Characteristics of aQuasi-zero Stiffness Isolator(小三，加粗小三，加粗)LIU Xingtian1, 2HUANG Xiuchang1, 2ZHANG Zhiyi1, 2HUA Hongxing1, 2(小四，姓大寫)(1. Institute of Vibration, Shock and Noise, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240; (五號)2. State Key Laborator

4、y of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240)Abstract(小五，加粗小五，加粗)：An Euler buckled beam formed negative stiffness mechanism is proposed and the static characteristic ofwhich is analyzed. A quasi-zero stiffness isolator is designed by parallel connected the neg

5、ative stiffness mechanism and a linearisolator. The Euler buckled beam structure functions as a stiffness corrector to lower the stiffness of the linear isolator. If the load ischosen properly, the equilibrium point will be set at the zero stiffness point, any changes of the load will lead the equil

6、ibrium pointdeviating from the zero stiffness point. The dynamic model is built considering the load effect and the Harmonic balance method isemployed to solve for the dynamic response of the system. Force transmissibility of the zero stiffness isolator is defined andcompared with that of an equival

7、ent linear one. The effect of excitation amplitude and load on the performance is analyzed. Theresults show that the force excitation amplitude and load can change the characteristic of the nonlinear isolator from a hardeningstiffness system to a softening stiffness system and even a mixed softening

8、-hardening stiffness system. The excitation amplitude andload also have great affection on the transmissibility performance. (小五)Key words(小五，加粗小五，加粗)：Negative stiffnessVibration isolationNonlinear systemsHarmonic balance method0前言(一級標題：四號，宋體)*1(正文：五號，宋體)隨著精密工程、納米工程等的發展，對隔離外界環境的振動提出了越來越高的要求，例如在引力波探測

9、以及高精密光學成像等 國家自然科學基金資助項目(11202128)。 20121205 收到初稿， 20120205收到修改稿（六號宋體，此處為腳注，和正文分開）領域，對低頻隔振的需求更加迫切。然而，普通的隔振器很難在低頻范圍有效隔振，研發在低頻區域隔振性能好、承載能力強的隔振器一直是各國學者的研究熱點。線性理論表明，在一定載荷下，降低隔振器的剛度可以顯著降低隔振器起始隔振頻率，從而獲取低頻隔振性能。但是降低隔振器的剛度又使得隔振器的靜態變形增加而喪失承載能力，同時會帶來穩定性以及占用空間過大等問題。近年來，國內外諸多學者通過在線性隔振器的基礎上引入負機械工程學報第 49 卷第 6 期期90剛

10、度機構來獲取低頻隔振性能，同時保持隔振器的靜態承載能力，取得了很好的效果。PLATUS 等1-2利用兩端受壓桿的結構提供負剛度設計了超低頻隔振器，其固有頻率可以達到 1 Hz 以下，但其對負剛度 的 原 理 及 系 統 的 非 線 性 特 性 涉 及 較 少 。CARRELLA 等3-4采用了斜置彈簧提供負剛度，并將準零剛度隔振器模型簡化為杜芬方程進行了系統響應的求解。其中，前者還對零剛度區間進行了優化5，以在系統平衡位置附近獲取盡量大的小剛度區間，但提供負剛度的兩根斜置彈簧在變形時可能存在橫向失穩。LE 等6-8也對這種負剛度結構進行了研究，LE 考慮了隨機載荷和多個簡諧載荷的激勵，YANG

11、 等7則使用功率流方法研究了隔振器的特性。此外，電磁結構9-10也可以用來提供負剛度。在研究零剛度隔振器時，大多數的學者均假設隔振器在加載后恰好于零剛度點平衡。本文采用歐拉梁的橫向變形來提供回復力從而獲取負剛度，設計了簡單實用、可靠性高的準零剛度隔振器。同時，本文還首次考慮了由于載荷過大而引起的系統平衡點偏離隔振器剛度零點的情況，并將激勵幅值考慮在內，進一步揭示了準零剛度隔振器的特性和性能。1準零剛度隔振器模型1.1試驗方法(二級標題：五號，黑體)受軸向力作用的兩端鉸支歐拉梁見圖 1，設初始狀態下其中心點的初始橫向變形(初始缺陷)為00wq， 則其軸向載荷和軸向位移近似可表示為111/2220

12、014eqqyFPLLL2201182 qyLL(1)式(1)適用于小變形(/20%y L)。式中，ePEI2/L為兩端鉸支，受軸向力的歐拉梁臨界屈服載荷，L為梁的長度，y為梁的軸向變形。圖 1兩端鉸支的歐拉梁軸向受力模型(小五，宋體)將這樣的歐拉梁以一定角度斜向布置成如圖 2所示的結構。在初始狀態時，在連接塊上施加垂向力，這個力和歐拉梁連接塊上垂向位移的關系為 1/220014 1F uqq201222qu (2)式中，F是量綱一回復力，/eFF P， u為量綱一位移，/ uu L，0 q為歐拉梁量綱一的初始缺陷，00/ qqL，22 u，cos。式(2)的表達式非常復雜， 使用三階泰勒展開

13、在0 u處對其進行簡化，并注意到系統的回復力關于零點對稱，可得 313 F uk uk u(3)式中， k1為負剛度機構的線性剛度系數，1abka2262b；k3為立方剛度項系數，32abka23232622abbbaa；a, b 為定義的參數，220(44)aq，0 bq。圖 2四光束干涉結構及其光強分布特征(圖中數值帶數據清晰，數值帶上方要有量名稱及單位)表 1因素水平表(小五，黑體)因素(六號宋體)水平1234源極電壓/V1 0501 000950900工件電壓/V275250350300氣壓/Pa35304540極間距/mm15202522.5從式(3)可以看出歐拉梁結構的負剛度特性。

14、將這個結構在圖 2 中初始狀態和剛度為k、黏性阻尼系數為c的線性隔振器連接，連接后加載質量為m的設備，使得系統在圖 3 所示位置平衡。此時非線性零剛度隔振器的回復力32131nFk uk u(4)式中，nF為非線性隔振器的量綱一回復力，nF /nFkL，111 kk，33 kk。為定義的歐拉梁和線性隔振器剛度比，/eP kL。若取11/k，月 2013 年 3 月劉興天等：激勵幅值及載荷對準零剛度隔振器特性的影響91則有10 k。此時，隔振器在圖 3 所示的平衡點處具有零剛度特性。此時系統的回復力變為321nFu(5)式中，為零剛度隔振器的三次方剛度系數，31/kk。圖 3隔振器示意圖(坐標軸

15、項目齊全)1.2試驗方案(二級標題：五號，黑體)將式(5)對量綱一位移求導可以得出系統的量綱一剛度23nku(6)(公式均用公式編輯器處理，公式居中，序號右齊)從式(6)可看出，隔振器的剛度關于平衡點為拋物線，而且在平衡點0 u處，系統的剛度為零，這就是準零剛度隔振器的定義來源。選定歐拉梁初始的角度25 ，對于不同的歐拉梁初始缺陷，零剛度隔振器的剛度曲線見圖 4(0q表示量綱一初始缺陷)。可以看出，歐拉梁的初始缺陷越小，此時的也越小，系統在平衡點附近的小剛度區間越大。圖 4歐拉梁初始缺陷對零剛度隔振器量綱一剛度影響(盡量不要用彩色曲線，因黑白印刷，故請用不同線型區分各線條)2動態方程及求解第

16、1 節中，將歐拉梁負剛度機構和線性隔振器并聯，設計了具有準零剛度特性的非線性隔振器。理想狀態下， 準零剛度隔振器在加載后將于0 u處平衡，如圖 3 所示。實際上，由于系統在0 u點的動剛度很低，因此整個系統對所加載荷的變化非常敏感，假設圖 3 中的負載m在平衡后，又有一個1%m的質量加上去，此時系統將在0.16 u處重新平衡，可以預見，超載對系統的性能將產生很大的影響。因此，考慮圖 5 所示更具普遍性的情況，假設加載質量為m的設備后，平衡點偏離零剛度點，位于00 u處。此時，系統靜態平衡方程為3201kLumg(7)23202dd1ddxxmckLxutt0cosFtmg(8)0022nnnn

17、nFkctfmmmL并結合式(7)可將式(8)化為22312302dd2cosddxxxxxf(9)式中，2103 u，203 u，3。式(9)表示的是非對稱回復力的振子或隔振器模型12-14。利用文獻15中的變換，設23/ 3xx，可將式(9)變換為2*313002dd2cosddxxb xb xfb(10)式 中 ， 3202323/ 32/ 27b，11b223/ 3，33b。使用諧波平衡法16對式(10)進行求解，設解為 *01cos xAA(11)圖 5載荷過載時隔振器狀態示意圖(比例尺清晰)機械工程學報第 49 卷第 6 期期92將式(11)代入到式(10)中并令常數項和相同的諧波

18、項系數相等可以得到3210303010223111301310103233cos42sinb Ab Ab A AbAb Ab A Ab AfAf(12)由式(12)可以得到隱含系統響應中常數項0A的表達式39222726301 3300 3024222513331 302432240 1 30 3011122223241033000 102535201511416242164416964b AbbbAb b Ab bbbbbAb bbb bAbbbbb bb fAb bb 22222230000 1001640bAbb bAb (13)由式(12)可以求出響應中常數項0A的極值及對應的頻率13

19、64301000334655pppbbAAAbb22220010222333305205pabbAbbb(14)20103005222pppbbb AA(15)式(14)可以用來求取過載系統響應中常數項的極值點，式(15)用來確定此極值點對應的頻率。而諧波項系數可以由式(12)求出。 從式(7)(15)討論了在載荷過載時的響應，若系統沒有過載，可令式(7)中00 u，這樣系統的動態方程為2302dd2cosddxxxf(16)同樣采用諧波平衡法求解式(16)，其解設為 1cos xA(17)可用同樣的過程求出系統的響應以及系統響應中的極值和對應的頻率。242242262111103940216

20、AAAAf(18)362012433pfA(19)22111382ppA(20)式(18)用于求取載荷剛好在0 u點平衡時系統響應，式(19)為響應的極值點，式(20)則為對應的共振頻率。這樣，系統在0 u處平衡，或因超載而在0uu處平衡的系統響應、系統極值和對應的共振頻率便可以得到。對于非線性系統，系統的解中存在不穩定解，可以通過文獻17中的方法求得。3系統參數對響應的影響由上文可知，系統響應與零剛度隔振器的三次方剛度系數、平衡點的位置0 u以及系統激勵的幅值0f相關， 下文將就這三個參數對系統響應的影響進行分析。求取系統的響應后，畫出系統響應隨頻率變化的曲線。圖 6 和圖 7 為系統在不同

21、三次方剛度以及不同平衡位置0 u時系統響應中的常數項0A和諧波項1A。 響應中的不穩定解為虛線， 穩定解為實線，圓圈表示響應的極值，下文同。注意到當系統剛好平衡在剛度零點時，系統響應中的常數項00A。圖 6、7 中的響應是在固定激勵幅值下求得的。觀察圖 6 和圖 7 可以發現，在相同的激勵下，隨著0 u的減小，系統響應中常數項系數0A逐漸減小， 在0 u減小至零時0A也隨之消失， 然而諧波項系數1A的最大值卻逐漸增大，系統的共振(極值)頻率隨之減小。圖 6、7 中，對于每一個0 u，均改變三次方剛度系數來觀察其對響應的影響(圖 6、7 中箭頭方向為減小方向)，可以看出，減小可以使得系統響應的共

22、振點向更低頻率方向移動，但同時響應峰值增加。圖 6基于 CCH-SSVEP 智能輪椅導航方案(圖中六號字)圖 7不同平衡點及立方剛度下零剛度隔振器響應諧波項月 2013 年 3 月劉興天等：激勵幅值及載荷對準零剛度隔振器特性的影響93圖 8 和圖 9 為激勵幅值對系統響應的影響圖。與平衡點在零剛度點不同，若系統由于超載而使得平衡點偏離零剛度點， 那么， 當激振幅值不太大時，隔振器的特性由原來的漸硬剛度變成了一個漸軟剛度。隨著激勵幅值的增大，對于后者，將進入既有漸軟剛度特性又有漸硬剛度特性的情況，且根據實際系統的不同，系統在單一激振頻率下可能存在 5個解17的情況。4系統的力傳遞率力傳遞率是通用

23、的用來衡量隔振器性能的參數18，非線性系統的力傳遞率和線性系統的力傳遞率有著相同的意義，即傳遞到基礎上的動態力幅值和激勵力幅值的比值：0/ftTF F，其中tF為隔振器的彈性力teF和阻尼力tdF之和，因為二者相位差為90 ，故22ttetdFFF。對于平衡點剛好在零剛圖 8不同激勵幅值下零剛度隔振器響應常數項圖 9不同激勵幅值下零剛度隔振器響應諧波項度點的隔振器，其力傳遞率2231102fnAATf(21)對于平衡點不在零剛度點的系統，注意到式(9)的解為 01cos xAA(22)式中，0023/ 3 AA。隔振器平衡點不在零剛度位置時，其彈性力表達式為23123teFxxx(23)將式(

24、22)代入到式(23)中可得01costettFFF(24)式中223301210102013033222tA AAFAA AA32111201313013234tFAA AAA A在這里僅考慮動態力部分，這樣就可以得到此時系統的力傳遞率221102tfnFATF(25)圖 3 所示系統對應的線性系統(即去除歐拉梁負剛度結構)的力傳遞率也在圖中畫出，為圖 10 和圖 11 中最右邊曲線，傳遞率的峰值在圖 10、11 中用圓圈表示，不穩定的傳遞率用虛線表示，取定負剛度結構的歐拉梁初始傾角為 25， 初始量綱一缺陷為 0.02。圖 10擠壓油膜阻尼器結構圖(順序標注，文字清晰)1. 輸油管2. 座

25、孔3. 密封件4. 套圈5. 滾動軸承6. 軸7. 間隙油膜8. 定心彈簧圖 11線性隔振器及不同激勵幅值下零剛度隔振器力傳遞率圖 10 為固定激勵幅值下，平衡點位置逐漸變為零剛度點時的力傳遞率曲線。系統的平衡點越接近剛度零點，系統對應的最大傳遞率頻率越低，且機械工程學報第 49 卷第 6 期期94傳遞率峰值也越低，但是當00 u時，由于系統的特性發生了變化，此時系統的最大傳遞率頻率雖然較小，但是傳遞率峰值卻比平衡點不在剛度零點的系統要大。通過圖 11 也可以發現這個現象，圖 11為系統的傳遞率受激勵幅值變化的影響圖。若激勵幅值過大，平衡點在零剛度點的系統傳遞率的最大值和頻率均有可能超過平衡點

26、不在剛度零點的系統。盡管如此，當傳遞率越過最大值時，平衡點在零剛度點的系統依然具有更好的衰減效果。值得一提的是，在頻率較低時，平衡點在零剛度點系統的傳遞率比其他的大。此外，盡管系統過載可能使得系統的隔振效果變差，但總體上仍然要優于線性系統，具有更低的最大傳遞率以及更寬的隔振頻帶。與線性系統的傳遞率不受激勵的影響不同，非線性隔振器的傳遞率和系統所受的激勵幅值有很大關系，若平衡點在剛度零點，系統對于更小的激勵幅值有更好的隔振效果。然而，當所設計零剛度隔振器過載使用時，從傳遞率的角度出發，盡管此時激勵幅值對傳遞率的影響較小，但更大的激勵幅值時的隔振效果反而更好，二者的趨勢恰恰是相反的。5結論(1)

27、本文使用歐拉屈曲梁結構獲取負剛度，設計了零剛度隔振器。結果表明，零剛度隔振器具有比線性隔振器更低的隔振頻率，且最大傳遞率也有所下降。但隨著載荷的增大，隔振器的起始隔振頻率增大，隔振效果降低，在實際使用時，想要獲得更寬的隔振頻帶，不應使得隔振器超載太多。(2) 載荷的增大使得零剛度隔振器平衡點偏離剛度零點。相對于平衡點在零剛度點的情況，系統在相同激勵幅值下的最大響應值減小，但共振頻率增加。而且系統從硬特性變為軟特性，且隨著激勵的增大，系統可以表現出軟、硬特性混合的特點。(3) 若隔振器無超載，則激勵越大，隔振效果越差。但若隔振器有超載，系統在受到更大幅值的激勵時，隔振效果不會變差，反而會稍微變好

28、，并對極低頻率的擾動更不敏感。本文的研究結果對設計和使用零剛度隔振器均具有極強的指導意義和參考價值。參考文獻(五號，黑體)1 PLATUS D L. Negative-stiffness-mechanism vibrationisolationsystemC/ProceedingsoftheSPIE-theInternational Society for Optical Engineering. San Jose：International Society for Optical Engineering, 1999,98-105.2 張建卓, 董申, 李旦. 基于正負剛度并聯的新型隔振系統研

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