1、差差 分分 方方 程程(2)(2) 穩定性穩定性 1.1.差分方程模型差分方程模型 對于對于k階差分方程階差分方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (1-1)若有若有xn = x (n), 滿足滿足F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,則稱則稱xn = x (n)是差分方程是差分方程(1-1)的的解解, 包含個任意常包含個任意常數的解稱為數的解稱為(1-1)的的通解通解, x0, x1, , xk-1為已知時稱為已知時稱為為(1-1)的的初始條件初始條件,通解中的任意常數都由初始條通解中的任意常數都由初始條件確定后的解稱為件確定后的

2、解稱為(1-1)的的特解特解.k 若若x0, x1, , xk-1已知已知, 則形如則形如xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 )的差分方程的解可以在計算機上實現的差分方程的解可以在計算機上實現. 若有常數若有常數a是差分方程是差分方程(1-1)的解的解, 即即F (n; a, a, , a ) = 0,則稱則稱 a是差分方程是差分方程(1-1)的的平衡點平衡點. 又對差分方程又對差分方程(1-1)的任意由初始條件確定的的任意由初始條件確定的解解 xn= x(n)都有都有xna (n), 則稱這個平衡點則稱這個平衡點a是是穩定穩定的的. . 一階常系數線性差分方程一階常

3、系數線性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b為常數為常數, 且且a -1, 0)的通解為的通解為xn=C(- - a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡點是其平衡點, 由上式知由上式知, 當且僅當當且僅當|a|1時時, b/(a +1)是穩定的平衡點是穩定的平衡點. 二階常系數線性差分方程二階常系數線性差分方程xn+2 + axn+1 + bxn = r,其中其中a, b, r為常數為常數. 當當r = 0時時, 它有一特解它有一特解x* = 0； 當當r 0, 且且a + b + 1 0時時, 它有一特解它有一特解x*=r/( a + b +1

4、). 不管是哪種情形不管是哪種情形, x*是其平衡點是其平衡點. 設其特征方設其特征方程程 2 + a + b = 0的兩個根分別為的兩個根分別為 = 1, = 2. 當當 1, 2是兩個不同實根時是兩個不同實根時,二階常系數線二階常系數線性差分性差分方程的通解為方程的通解為xn= x*+ C1( 1)n + C2( 2)n ; 當當 1, 2= 是兩個相同實根時是兩個相同實根時,二階常系數線二階常系數線性差分性差分方程的通解為方程的通解為xn= x* + (C1 + C2 n) n; 當當 1, 2= (cos + i sin ) 是一對共軛復根是一對共軛復根時時,二階常系數線性差分二階常系

5、數線性差分方程的通解為方程的通解為xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知易知,當且僅當特征方程的任一特征根當且僅當特征方程的任一特征根 | i |1時時, 平衡點平衡點x*是穩定的是穩定的. 則則對于一階非線性差分方程對于一階非線性差分方程xn+1 = f (xn )其平衡點其平衡點x*由代數方程由代數方程x = f (x)解出解出. 為分析平衡點為分析平衡點x*的穩定性的穩定性, 將上述差分方程近將上述差分方程近似為一階常系數線性差分方程似為一階常系數線性差分方程1|*)(| xf時時, ,上述近似線性差分方程與上述近似線性差分方程與原原非線性差分方程的非線性差分

6、方程的穩定性相同穩定性相同. . 因此因此當當時時, , x*是不穩定的是不穩定的. .當當1|*)(| xf時時, , x*是穩定的；是穩定的；當當1|*)(| xf1( *)(*)( *),nnxfxxxf x)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk2. 建模實例：差分形式的阻滯增長模型建模實例：差分形式的阻滯增長模型連續形式連續形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩定平衡點穩定平衡點(與與r大小無關大小無關)離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時刻的數量時刻的數量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數

7、量代的數量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點的穩定性，即討論平衡點的穩定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點是平衡點kkyNrrx) 1( 1rb記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩定性離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點的平衡點y*=N討論討論 x* 的穩定性的穩定性變量變量代換代換(2)的平衡點的平衡點brrx111*(1)的平衡點的平衡點 x*代數方程代數方程 x=f(x)的根的根穩定性

8、判斷穩定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點的平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩定平衡點的穩定平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩定平衡點的不穩定平衡點補充知識補充知識(剛學過的剛學過的):一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點及穩定性的平衡點及穩定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩定性的平衡點及其穩定性平衡點平衡點bx11*穩定性穩定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調增）0 x1x1x2xx* 穩定穩定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不穩定不穩定另一平衡另一平衡點為點為 x=01 rb1)0(bf不穩定不穩定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振蕩地）y0 xxy )(xfy 0 x1x