1、數學數學 A（理）理）5.4平面向量應用舉例第五章平面向量 基礎知識基礎知識自主學習自主學習 題型題型分類分類深度深度剖析剖析 思想方法思想方法感悟感悟提高提高 練出高分練出高分基礎知識自主學習知識梳理1.向量在平面幾何中的應用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理ab ，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直問題數量積的運算性質ab ，a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a，b為非零向量abx1y2x2y10ab0 x1x2y1y20基礎知識自主學習知識梳理夾角問題 數量積的定義cos (為向量a，b的夾角)長度問題 數量積的

2、定義|a|_，其中a(x，y)基礎知識自主學習知識梳理2.平面向量在物理中的應用(1)由于物理學中的力、速度、位移都是，它們的分解與合成與向量的相似，可以用向量的知識來解決.(2)物理學中的功是一個標量，這是力F與位移s的數量積.即WFs|F|s|cos (為F與s的夾角).矢量加法和減法基礎知識自主學習知識梳理3.平面向量與其他數學知識的交匯平面向量作為一個運算工具，經常與函數、不等式、三角函數、數列、解析幾何等知識結合，當平面向量給出的形式中含有未知數時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數的關系式.在此基礎上，可以求解有關函數、不等式、三角函數、數列的綜合問題.此類問題的解題思

3、路是轉化為代數運算，其轉化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數量積的公式和性質.基礎知識自主學習知識梳理u 思考辨析判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)若 ，則A，B，C三點共線.()(2)解析幾何中的坐標、直線平行、垂直、長度等問題都可以用向量解決.()(3)實現平面向量與三角函數、平面向量與解析幾何之間的轉化的主要手段是向量的坐標運算.()基礎知識自主學習知識梳理u 思考辨析(4)在ABC中，若 0，則ABC為鈍角三角形.()(5)作用于同一點的兩個力F1和F2的夾角為 ，且|F1|3，|F2|5，則F1F2的大小為 .()(6)已知平面直角

4、坐標系內有三個定點A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若動點P滿足： ，tR，則點P的軌跡方程是xy10.()基礎知識自主學習考點自測題號答案解析1234BB 解析題型分類深度剖析題型一向量在平面幾何題型一向量在平面幾何中中 的應用的應用思維點撥解析思維升華例例1如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上的一點(不包括端點)，E，F分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PAEF.題型分類深度剖析思維點撥思維升華題型一向量在平面幾何題型一向量在平面幾何中中 的應用的應用例例1如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上的一點(不包括端點)，E，F分別

5、在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PAEF.解析正方形中有垂直關系，因此考慮建立平面直角坐標系，求出所求線段對應的向量，根據向量知識證明.題型分類深度剖析思維升華題型一向量在平面幾何題型一向量在平面幾何中中 的應用的應用例例1如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上的一點(不包括端點)，E，F分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PAEF.思維點撥解析題型分類深度剖析思維升華題型一向量在平面幾何題型一向量在平面幾何中中 的應用的應用例例1如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上的一點(不包括端點)，E，F分別在邊BC，DC上，

6、且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PAEF.思維點撥解析題型分類深度剖析用向量方法解決平面幾何問題可分三步：(1)建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；思維升華題型一向量在平面幾何題型一向量在平面幾何中中 的應用的應用例例1如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上的一點(不包括端點)，E，F分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PAEF.思維點撥解析題型分類深度剖析(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.思維升華題型一向量在平面幾何題型一向量在平

7、面幾何中中 的應用的應用例例1如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上的一點(不包括端點)，E，F分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PAEF.思維點撥解析題型分類深度剖析跟蹤訓練1(1)在邊長為1的菱形ABCD中，BAD60，E是BC的中點，則 等于()解析建立如圖平面直角坐標系，題型分類深度剖析題型分類深度剖析(2)在ABC所在平面上有一點P，滿足則PAB與ABC的面積的比值是()A題型分類深度剖析題型二向量在三角函數中題型二向量在三角函數中的的 應用應用例例2已知在銳角ABC中，兩向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A

8、,1sin A)，且p與q是共線向量.(1)求A的大??；解析思維升華題型分類深度剖析題型二向量在三角函數中題型二向量在三角函數中的的 應用應用解析思維升華例例2已知在銳角ABC中，兩向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)，且p與q是共線向量.(1)求A的大?。活}型分類深度剖析題型二向量在三角函數中題型二向量在三角函數中的的 應用應用解析思維升華解決平面向量與三角函數的交匯問題的關鍵：準確利用向量的坐標運算化簡已知條件，將其轉化為三角函數中的有關問題解決.例例2已知在銳角ABC中，兩向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Ac

9、os A,1sin A)，且p與q是共線向量.(1)求A的大小；題型分類深度剖析(2)求函數y2sin2Bcos 取最大值時，B的大小.解析思維升華題型分類深度剖析(2)求函數y2sin2Bcos 取最大值時，B的大小.2sin2Bcos(2B60)1cos 2Bcos(2B60)1cos 2Bcos 2Bcos 60sin 2Bsin 60解析思維升華題型分類深度剖析(2)求函數y2sin2Bcos 取最大值時，B的大小.1cos 2Bsin 2B1sin(2B30)，當2B3090，即B60時，函數取最大值2.解析思維升華題型分類深度剖析解決平面向量與三角函數的交匯問題的關鍵：準確利用向量

10、的坐標運算化簡已知條件，將其轉化為三角函數中的有關問題解決.(2)求函數y2sin2Bcos 取最大值時，B的大小.解析思維升華題型分類深度剖析跟蹤訓練2(1)已知a，b，c為ABC的三個內角A，B，C的對邊，向量m( ，1)，n(cos A，sin A).若mn，且acos Bbcos Acsin C，則角A，B的大小分別為()題型分類深度剖析題型分類深度剖析(2)ABC的三個內角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，設向量m(ab，sin C)，n( ac，sin Bsin A)，若mn，則角B的大小為_.解析mn，(ab)(sin Bsin A)sin C( ac)0，題型分類深度剖析題

11、型分類深度剖析題型三向量在解析幾何中題型三向量在解析幾何中的的 應用應用例例3已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動點，作PQl，垂足為Q，且(1)求動點P的軌跡方程；解析思維升華題型分類深度剖析解 (1)設P(x，y)，則Q(8，y).解析思維升華題型三向量在解析幾何中題型三向量在解析幾何中的的 應用應用例例3已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動點，作PQl，垂足為Q，且(1)求動點P的軌跡方程；題型分類深度剖析向量在解析幾何中的“兩個”作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現，多用于“包裝”，解決此類問題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向

12、量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關系，從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.解析思維升華題型三向量在解析幾何中題型三向量在解析幾何中的的 應用應用例例3已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動點，作PQl，垂足為Q，且(1)求動點P的軌跡方程；題型分類深度剖析解析思維升華題型三向量在解析幾何中題型三向量在解析幾何中的的 應用應用例例3已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動點，作PQl，垂足為Q，且(1)求動點P的軌跡方程；( 2 ) 工 具 作 用 ： 利 用abab0(a，b為非零向量)，abab(b0)，可解決垂直、平行問題.特別地，向

13、量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較優越的方法.題型分類深度剖析例例3(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求的最值.解析思維升華題型分類深度剖析解析思維升華例例3(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求的最值.題型分類深度剖析解析思維升華例例3(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求的最值.題型分類深度剖析解析思維升華例例3(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求的最值.題型分類深度剖析解析思維升華例例3(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求的最值.向量在解析幾何中的“兩個”作用(1)載體作用：向量在

14、解析幾何問題中出現，多用于“包裝”，解決此類問題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關系，從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.題型分類深度剖析( 2 ) 工 具 作 用 ： 利 用abab0(a，b為非零向量)，abab(b0)，可解決垂直、平行問題.特別地，向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較優越的方法.解析思維升華例例3(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求的最值.題型分類深度剖析跟蹤訓練3 已知向量 (k,12)， (4,5)， (10，k)，且A、B、C三點共線，當k0時，若k為直線的斜率，則過

15、點(2，1)的直線方程為_.(4k)(k5)670，解得k2或k11.題型分類深度剖析當k|ab|，此時，|ab|2|a|2|b|2；當a，b夾角為鈍角時，|ab|a|2|b|2；當ab時，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故選D.答案D練出高分B組專項能力提升1113141512練出高分B組專項能力提升1113141512練出高分B組專項能力提升1113141512練出高分B組專項能力提升1112141513練出高分B組專項能力提升1112141513練出高分B組專項能力提升111215131414.已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動點，則 的最小值為_.解析方法一以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，練出高分B組專項能力提升1112