1、廈門大學信息科學與技術學院第六章第六章 微波網絡基礎微波網絡基礎 6.1 微波接頭的等效網絡 6.2 一端口網絡的阻抗特性6.3 微波網絡的阻抗和導納矩陣6.4 微波網絡的散射矩陣6.5 ABCD矩陣6.6 傳輸散射矩陣6.7 微波網絡的信號流圖廈門大學信息科學與技術學院工作于低頻狀態下的電路，因電路尺寸相對于波長較小，可看作一系列集總無源和有源元件通過導線的互連，電路中任意一點具有唯一定義的電壓和電流。在這種情況下，由于電路尺寸足夠小，電路中從一點到另一點的相位變化可以忽略。另外，低頻電路的電磁場可看作由雙導體或多導體支持的TEM導波場，據此可得到Maxwell方程的準靜態(quasi-st

2、atic type)解，并得到了著名的Kirchhoff電壓和電流定律和電路理論的阻抗概念。一般來說，低頻電路的這些基本分析技術不能直接應用于微波電路，如何電路和網絡概念進行擴展使其能夠用來解決實際應用中微波網絡分析和設計問題是本章要討論的重點。廈門大學信息科學與技術學院與求解Maxwell方程相比，解決同樣的實際問題，電路分析具有簡單、直觀的特點，因而更加簡便。場分析在某種程度上可以給出關于一個特定問題更多的信息，也就是說，一個特定問題的Maxwell方程的解是完備的，它給出了空間任意一點的電場和磁場。但是通常我們感興趣的是通過電路中一系列終端(Terminal)的電壓和電流、通過電路中某個

3、設備的功率流以及其他一些類型的全局量，而不是關于空間中任意一點響應的準確描述。電路或網絡分析的另一個優點是可以很容易地對要解決的問題進行修正，或者說可以很容易的將許多元件組合在一起并求其響應，而無須對其中每一個元件及其相鄰元件的行為進行詳細分析，應用求解axwell方程的場分析方法解決此類問題是非常困難的。廈門大學信息科學與技術學院也存在一些情況，由于電路分析方法過于簡單，會產生錯誤的結果，這時候，我們必須應用場分析，通過求解Maxwell方程來解決問題，培養識別何時能夠應用電路理論，何時應用場分析技術解決實際問題的能力是本課程的一項重要任務。微波網絡分析的基本過程如下。首先應用場分析和Max

4、well對一些基本的規范性的問題進行處理(如傳輸線和規則金屬波導等)，從而得到與電路或傳輸線參數直接相關的量，如傳輸線和波導的傳播常數和特征阻抗。接下來，我們就可將傳輸線或波導作為由其長度、傳播常數和特征阻抗表征的分布參數元件來對待，并將各種組件互聯成為電路，最后應用網絡或傳輸線理論對由所有元件組成的整個系統的行為特征進行分析，如多次反射、損耗和阻抗變換等。廈門大學信息科學與技術學院因此，微波網絡由分布參數電路和集總參數電路組合而成。分布參數電路由組成微波電路或系統的規則導行系統等效而成，集總參數網絡則由微波電路或系統中的不連續性等效而成。應用這種等效關系，許多微波問題，在電磁場理論分析基礎上

5、，或者在實驗基礎上，便可以應用傳輸線理論和低頻網絡理論來處理，從而使問題得到解決，而且運算要簡便得多，同時也可模擬低頻傳輸線的測量技術和方法，來研究微波電路和系統的測量問題。廈門大學信息科學與技術學院6.1 微波接頭的等效網絡廈門大學信息科學與技術學院本節建立任意微波接頭的等效網絡，結果是，接頭的規則波導段等效為一對雙導線，接頭內的不連續性等效為集總參數網絡，由此構成相應接頭的微波網絡，進而可用傳輸線理論和低頻網絡理論對微波網絡元件進行分析和綜合。廈門大學信息科學與技術學院1. 等效電壓和電流與阻抗的概念(1) 等效電壓和電流在微波波段，電壓和電流的測量是很困難的，或者說是不可能的，這是因為電

6、壓和電流的測量需要定義有效的端對(terminal pairs)。這樣的端對對TEM導行系統(如同軸線、帶狀線)可能存在，但對于非TEM導行系統(如矩形波導、圓波導和表面波導)就不存在。根據前面討論的關于TEM傳輸線的電場和磁場分布，正導體相對于負導體的電壓，廈門大學信息科學與技術學院dlVE其積分路徑是從正導體到負導體，根據兩導體之間橫向場的性質，這一定義是唯一的且與積分路徑的形狀無關，根據安培定律正導體上總的電流為，CdlIH式中積分路徑為包圍正導體的任意閉合路徑。對于行波則可定義特性阻抗，IVZ 0廈門大學信息科學與技術學院這樣，定義了電壓V、電流I和特性阻抗Z0之后，若已知此線的傳播常

7、數，就可應用傳輸線理論來研究此種線的性質。然而，對于波導的情況就遇到困難。例如矩形波導的情況，其主模TE10模的橫向場可以寫成，zjxzjxzjyzjyeyxEHeaxHajzyxHeyxEHeaxHajzyxE,sin,sin,0101001010廈門大學信息科學與技術學院根據前述電壓的定義，可有yzjdyeaxHajVsin10可見電壓取決于位置x與沿y方向的積分等高線長度。如取x=a/2處從y=0至b積分所得到的電壓，與取x=0處從y=0至b積分所得到的電壓就不相同。那么什么是正確的電壓?；氐绞牵翰淮嬖谖ㄒ坏膶λ袘枚歼m用的“正確”電壓。廈門大學信息科學與技術學院實際上對于電流和阻抗也

8、存在類似問題。因此，理論和實踐都要求對非TEM線定義有用的電壓、電流和阻抗，即有必要定義其等效的電壓、電流和阻抗。由于非TEM模的電壓、電流和阻抗不是唯一的，所以對波導的等效電壓、等效電流和等效阻抗有許多定義方法，下述考慮通?？傻贸鲎钣杏玫慕Y果：(1) 電壓和電流僅對特定波導模式定義，且定義電壓與其橫向電場成正比，電流與其橫向磁場成正比。(2) 為了和電路理論中的電壓和電流應用方式相似，等效電壓和電流的乘積應等于該模式的功率流。(3) 單一行波的電壓和電流之比等于此線的特性阻抗；此阻抗可任意選擇，但通常選擇等于此線的波阻抗，或歸一化為1。廈門大學信息科學與技術學院對具有正向和反向行波的任意波導

9、模式，其橫向場可以寫成，zjzjtzjzjttzjzjtzjzjtteIeICyxeAeAyxzyxeVeVCyxeAeAyxzyx200100,HHHEEE由于電場的橫向分量和磁場的橫向分量之比為波阻抗，于是有，wttZyxzyx,00EH廈門大學信息科學與技術學院因此可得等效電壓波和電流波的定義， zjzjzjzjeIeIzIeVeVzV而0ZIVIV比例常數AIAICAVAVC21,可由功率和阻抗條件確定。廈門大學信息科學與技術學院入射波的復功率流為，dszCCIVdszAPtSttSt2210021002HEHE該功率必須等于，2IV因此dszCCtSt0021HE式中積分對波導截面進

10、行。廈門大學信息科學與技術學院因，ACIACV21,則得到特性阻抗，210CCIVIVZ若要求Z0=Zw，則此模式的波阻抗(ZTE或ZTM) 為，TMTE21or ZZZCCw廈門大學信息科學與技術學院若要求將特性阻抗歸一化(Z0=1)，則得121CC至此，對于給定的波導模式，可先求出C1和C2，進而定義等效電壓和電流對高次?？捎猛瑯拥姆绞教幚?，這樣，波導中的一般場便可表示成如下形式：yxeCIeCIzyxyxeCVeCVzyxtNnzjnnzjnnttNnzjnnzjnntnnnn,01220111HHEE廈門大學信息科學與技術學院例求矩形波導TE10模的等效電壓和等效電流 解 TE10模矩

11、形波導模式的橫向場分量和功率流與此模的等效傳輸線模型如下表所示，廈門大學信息科學與技術學院由入射功率相等得到，212TE221214CCAIVZAab若選擇Z0=Zw=ZTE，則有TE21ZCCIV由此求得，廈門大學信息科學與技術學院21 ,2TE21abZCabC故等效電壓和等效電流為，zjzjzjzjeAabZeAabZIeAabeAabV212122TETE廈門大學信息科學與技術學院(2) 阻抗的概念在不同的應用中都使用了阻抗(impedance)的概念，這里我們對這一重要的概念進行總結。阻抗這一術語最初于十九世紀由O. Heaviside首先使用，用于描述由電組、電感和電容組成的交流電

12、路中復比率(complex ratio) V/I，阻抗概念很快成為交流電路分析必不可少的工具。后來，借助于集總參數等效電路和分布串聯阻抗(series impedance)和并聯導納(shunt admittance)的思想，這一重要概念又被應用于傳輸線。上世紀三十年代，Schelkunoff認識到阻抗概念可系統化擴展到電磁場中，并注意到組抗可作為場型和傳輸介質的一個重要特征。廈門大學信息科學與技術學院進一步，聯系到傳輸線和平面波傳播的相似性，阻抗甚至是依賴方向的(dependent on direction)。因此，阻抗概念成為電磁場理論和傳輸線或電路理論的聯系紐帶。對各種類型的阻抗總結如下

13、：介質的固有阻抗(intrinsic impedance of the medium)它僅決定于介質的材料參數，且等于平面波的波阻抗。波阻抗(wave impedance)wttwYHEZ1廈門大學信息科學與技術學院2. 均勻波導的等效電路為簡單起見，以矩形波導為例。對于傳輸某TMmn模的波導，由于Hz=0，則有0zztBE這表明電場在xy平面內無旋度，因此在此平面內，電場可以表示成該模式的模式電壓的負梯度，yVExVEyx ,廈門大學信息科學與技術學院將Hz=0代入xxt DH可得，xyEjzH考慮場的橫-縱關系，xVjxEkjzzc2廈門大學信息科學與技術學院由此可得，VjEkjzzc2又

14、因，yyt BE可得，xEkHjxEzEzcyzx22廈門大學信息科學與技術學院因而，zcczcEkjjkjEkzV22221zEj縱向位移電流密度21ck具有面積量綱因此有等效傳輸線方程，VjzIIjkjzVzzc ,2廈門大學信息科學與技術學院 據此可得到TM波導的傳輸線等效電路，如圖所示,其單位長度串聯阻抗和并聯導納為,jYjkjZc121 ,廈門大學信息科學與技術學院 對于傳輸某TEmn模的波導，用同樣的方法可得其傳輸線等效電路，如圖所示，其單位長度串聯阻抗和并聯導納為，jkjYjZc211 ,廈門大學信息科學與技術學院波導的等效電路表明波導具有高通濾波特性。事實上，由圖(a)可知，當

15、ff c (c)時，串聯支路呈電容性，由圖(b)可知，當fWe)， Xin為正；對于電容性負載(WmWe)， Xin為負。廈門大學信息科學與技術學院1. 福斯特電抗定理假設一端口網絡無耗，考慮頻率變化的影響，電路內的電場和磁場滿足如下Maxwell方程，EHHEjj將此二方程的復數共軛對求導數，得到EEHHHEjjjj廈門大學信息科學與技術學院考慮關系，2222 HEEEHHHEEEHHHEEHEEEHHEHEjjjjjjj對上式左邊應用散度定理，可得廈門大學信息科學與技術學院mesWWjds4HEHE因此，mesttttttttWWjdsVIIVIVIV 400000000HEHEHEHE由

16、于，wttZz00 EH tttt0000HEHE廈門大學信息科學與技術學院這表明E0t和H0t的關系相同，對于無耗電抗終端jXIV 因此，IVIVWWjme4式中V和I是端面上的等效電壓和等效電流，綜合以上兩式，XIjIIjXIXjIjXIWWjme224廈門大學信息科學與技術學院即得到，24IWWXme此式右邊總是正的，因此，對于一個無耗網絡，電抗對頻率的斜率總是正的。同樣，對于導納則有，24VWWBme這表明一個無耗網絡的電納也具有對頻率為正的斜率。這些結果即構成福斯特(foster)定理。應用此定理可以證明，物理可實現的電抗或電納函數的極點和零點必定在軸上交替出現。廈門大學信息科學與技

17、術學院2. Z()和()的奇偶特性考慮一端口網絡輸入端的策動點阻抗Z()，在該點的電壓電流關系為， IZV對于任意的頻率關系，取V()的逆Fourier變換可得時域電壓為， deVtvtj21廈門大學信息科學與技術學院由于v(t)必定為實數，所以有， tvtv或者， deVdeVdeVtjtjtj因此必定有， VV此說明ReV()為的偶函數，而ImV()為的奇函數。廈門大學信息科學與技術學院類似的結果對I()和Z()也成立，因為有， IZVIZIZV因此，如果 jXRZ則R ()為的偶函數，而X ()為的奇函數。考慮輸入端反射系數， jXZRjXZRZZZZ0000廈門大學信息科學與技術學院則

18、 jXZRjXZR00結果表明， ()的實部和虛部分別是的偶函數和奇函數。最后，考慮反射系數的幅值， 22可見 () 2和 () 都是的偶函數。此結果意味著只有形如，42cba的偶函數才能代表 () 2或者 () 。廈門大學信息科學與技術學院6.3 微波網絡的阻抗和導納矩陣廈門大學信息科學與技術學院前節已經定義了TEM和非TEM導波的等效電壓和電流，我們即可應用電路理論的阻抗和導納矩陣，來建立微波網絡各端口的電壓和電流關系，進而描述微波網絡的特性。這種描述方法在討論諸如耦合器和濾波器之類無源元件的設計時十分有用。廈門大學信息科學與技術學院1. 阻抗和導納矩陣如圖所示任意N端口，圖中各端口可以是

19、任意型式的傳輸線或單模波導的等效傳輸線，若網絡的某端口是傳輸多個模的波導，則在該端口應為多對等效傳輸線。廈門大學信息科學與技術學院定義第i端口參考面ti處的等效入射波電壓和電流為Vi+、Ii+，反射波電壓和電流為Vi、Ii，令z=0，得到第i端的總電壓和電流為，iiiiiiIIIVVV ,此N端口微波網絡的阻抗矩陣方程則為，NNNNNNIIIZZZZZZVVV211211121121 IZV 廈門大學信息科學與技術學院同樣可以得到導納矩陣方程，NNNNNNVVVYYYYYYIII211211121121 VYI Z和Y矩陣互為逆矩陣， 1 ZY廈門大學信息科學與技術學院阻抗參數Zij為jkIj

20、iijkIVZ, 0這說明， Zij是所有其他端口都開路時(因此Ik=0,kj)用電流Ij激勵端口j，測量端口i的開路電壓而求得。因此，Zii是其他所有端口都開路時向端口i看去的輸入阻抗， Zij則是其他端口都開路時端口j和端口i之間的轉移阻抗。類似地，jkVjiijkVIY, 0廈門大學信息科學與技術學院Yij是所有其他端口都短路時(因此Vk=0,kj)用電壓Vj激勵端口j，測量端口i的短路電流而求得。一般情況下，阻抗矩陣元素Zij和導納矩陣元素Yij為復數，因而對于N端口網絡，阻抗和導納矩陣為NN階方矩陣，存在2N2個獨立變量。不過，許多實用的網絡是互易的或無耗的，或既互易又無耗。下面將證

21、明，假如網絡是互易的(不含任何非互易介質，如鐵氧體或等離子體或有源器件)，則阻抗和導納矩陣是對稱的，假如網絡是無耗的，矩陣的所有元素都是純虛數。這些特殊情況將使N端口微波網絡的獨立變量大為減少。廈門大學信息科學與技術學院2. 互易網絡考慮任意N端口微波網絡是互易的(Reciprocal)，假定端口1和2以外的所有端口參考面短路，Ea、Ha和Eb、Hb是網絡內某處兩個獨立源a和b在網絡內任一點所產生的場，則由電磁場互易定理，有dsdssabsbaHEHE式中積分限S是沿網絡邊界并通過各端口參考面的封閉曲面。廈門大學信息科學與技術學院假若網絡的邊界壁和傳輸線均為金屬，則在這些壁上Etan=0 (假

22、設為理想導體)；假若網絡或傳輸線為開放結構，象微帶線那樣，則網絡邊界可以取得遠離這些線，使Etan可以忽略不計，上式中積分的非零值僅由端口1和2的橫截面提供，由6.1的討論可知，源a和b產生的場可以參考面t1和t2來計算:20222022202220221011101110111011 tbbtbbtaataatbbtbbtaataaIVIVIVIVHHEEHHEEHHEEHHEE廈門大學信息科學與技術學院綜合以上兩式，0212020222210101111dsIVIVdsIVIVsttabbasttabbaHEHE式中S1和S2是參考面t1和t2的橫截面。對每個端口有C1=C2=1，因此12120201010dsdssttsttHEH