1、名師推薦精心整理學習必備初等數(shù)學基礎知識一、三角函數(shù)1 .公式同角三角函數(shù)間的基本關系式：平方關系：sinA2(a)+cosA2(a)=tanA2(a)+1=secA2(acOtA2(a)+1=cscA2(a)商的關系：tana=sina/coscota=cosa/sina倒數(shù)關系：tanacota=Sina-csca=1cosa-seca=1三角函數(shù)恒等變形公式：兩角和與差的三角函數(shù)：cos(a+3尸cosa-coin阿sin3cos(去3尸cosa-cos3+sina-sin3sin(a3尸sinacos3cosa-sin3tan(a+3)=(tana+tan-tan(1x-tan3)ta

2、n(a3)=(tan-tan3)/(1+tana-tan3)倍角公式：sin(2a)=2sina-cosacos(2a)=cosA2(-sjnA2(a)=2cosA2(-1=1-2sinA2(a)tan(2a)=2tana4如人2(a)半角公式：sinA2(a/2)=(1cosa)/2cosA2(a/2)=(1+cosa)/2tanA2(a/2)=(-cosa)/(1+cosa)tan(a/2)=sina/(1+cos促c=$1a)/sina萬能公式：sina=2tan(a/2)/1+tanA2(a/2)cosa=HanA2(a/2)/1+tanA2(a/2)tana=2tan(a/2)/(也

3、門人2(a/2)積化和差公式：sina-cos3=(1/2)sin(a+3-)+sn(acosa-sin3=(1/2)sin(-sin+倒區(qū))cosa-cos3=(1/2)cos(a+3)+co$Iasina-sin-(1/2)cos(a+-cos(o-3)和差化積公式：sina+sin3=2sin(a+3)/2cos0/2asino-sin3=2cos(a+3)/2sin-(3)/2上a +3 )/2cos(3 )2acosa+cos3=2cos(cosa-cos3=2sin(a+3)/2sin(3)/22 .特殊角的三角函數(shù)值f(入0(0=)石（30）JT(45)(60)312(90)co

4、s日1V3/2V2/21/20sin901/2V2/2V3/21tan001/V31不存在cot日不存在V311/730只需記住這兩個特殊的直角三角形的邊角關系，依照三角函數(shù)的定義即可推出上面的三角值。色數(shù)角A、sincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90-acosasinactgatga90+acosa-sina-ctga-tga180-asina-cosa-tga-ctga180+a-sina-cosatgactga270-a-cosa-sinactgatga270+a-cosasina-ctga-tga360-a-sinacosa-tga-ctga360+asina

5、cosatgactga記憶規(guī)律：豎變橫不變（奇變偶不變），符號看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割元二次函數(shù)、方程和不等式即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）.,2=b-4ac0=0A0）1x2d11/FF二次方程ax2+bx+c=0力x1L互異實根.j_ii2/一bb-4ac2-2a有一相等實根（有一根）bx1一直無實根K、元次不等式(a0)2.1.一一ax+bx+c0(x1x2)xx2bx豐一2axwR2.1.一ax+bx+c0x1x0時在R十單增；R0時在R+單減.1.61.41.210.80.60.40.20y=x3y=xAZy

6、=x1/3,0a#1R4.5y0.過點(0,1).a1單增.0a1單減.mmnm+1am-njmJmnaa=a,=a,(a)=aa43.532.521.510.50-0.5y=ax0a0a#1r+fax一y=logax過點(1,0).a1單增.0a0lga(MN)=lgaM+lgaN,M,一1zlga;；=lgaM-lgaN,NlgaMp=PlgaM,lgcb,”lgab=(c0,1),lgcalgaax=x(x0)agax=x(x0)正弦函數(shù)y=sinxy1-1奇函數(shù).T=2n.y余弦y=cosxRy1下O光13先2H函-1-數(shù)偶函數(shù).T=2幾.小1正.，冗切y=tanxx#kn+一2函kw

7、Z數(shù)J/LIIx奇函數(shù).T=n.在每個周期內單增余切函數(shù)y=cotxx/kn,kwZi1yk1k奇函數(shù).T=n在每個周期內單減.iiin1T1式、1ix反正y=arcsinx1-111定-1y奇函數(shù).單增.弦1o1x函數(shù)-理JIJI-y22反余弦函數(shù)y1-11兀y=arccosx花-1o1x單減.0yTt.反正切函數(shù)y=arctanx反余切函數(shù)y=arccotxRy1oJI單減.0yn.極限的計算方法一、初等函數(shù)：l.limC=C(C是常信函數(shù))2.若f(x，EM(即f(x)是有界量)，lima=0(即a是無窮小量)，=limf(x)=0,特別：fx)=C=limC：=03若f(xWM(即f(

8、x注有界量)=limx)=0,QOC特力kfx=CC吏0=lim=0coC二C04.lim一0：C：05.未定式喝型A.分子，分母含有相同的零因式，消去零因式B.等價無窮小替換(常用sinxx,ex-1x,ln(x+1)x)C.洛必達法則：要求C(xgx)存在，且limf(x)存在，此時，lim)=limx)gxgxgx(2居型A.忽略掉分子，分母中可以忽略掉的較低階的無窮大，保留最高階的無窮大，再化簡計算B.分子，分母同除以最高階無窮大后，再化簡計算.C.洛必達法則.3)8一。型0一.二一.通過分式通分或無理函數(shù)有理化轉化為0型或型0goO16(4)08轉化為02=010,QO(5)00型_

9、2T08(6產。型_70.笛一1(71忍通過lim(1+x=e或求對數(shù)來計算.x0二、分段函數(shù)：分段點的極限用左，右極限的定義來求解.切線方程為：y y0 = f(x0)(x x0) 1,、法線萬程為y y0 = -(x -Xo )f (Xo)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(C)，= 0 , C是常數(shù)(5)(11)(13)(a)= axlna,特別地，當 a=e時,(ex“、1(l0g ax)=,x ln a特別地，當a(sin x) = cosx12(tan x)=2 = sec xcos x(secx) = (secx)tan x(arctanxUe1=e時，(ln x) x(6) (cosx)E

10、sin x12(8) (cot x)= 2 = - csc x sin x(10)(12)(14)(cscx) - -(cscx)cotx(arccosx) :一1 2.1 - x2(arccot x) = 一-1y1 x函數(shù)的和、差、積、商的求導法則函數(shù)u =u(x)及v =v(x)都在點x可導u(x)及v(x)的和、差、商(除分母為0的點外)都在點x可導,(1) u(x).v(x)1-u(x)-v(x)(2) u(x)v(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)虎卜工產)基本初等函數(shù)的微分公式(1)、dc=0(c為常數(shù))；(2)、dlxixRx不為任意常數(shù))；(3)、d(ax)=axlnad

11、x,特別地，當a=e時，d(ex)=exdx；11(4)、d(logax)=dx,特別地，當a=e時，d(lnx)=dx；xlnax(5)、d(sinx)=cosxdx;(6)、d(cosx)=-sinxdx;2(7)、d(tanx)=secxdx；2(8)、d(cotx)=-cscxdx；(9)、d(secx)=secxtanxdx;(10)、d(cscx)=_cscxcotxdx;(11)、.,、1,d(arcsinx)=,dx;,1-x2(12)、1d(arccosx)=,dx;.1-x2(13)、-，、1.d(arctanx)=2dx;1x(14)、一，、1，d(arccotx)=-7

12、dx.1x2曲線的切線方程y-y()=f(x0)(x-x0)幕指函數(shù)的導數(shù)=u(x)v，u(x)VJv(x)lnu(x)+v(x)Iu(x)J極限、可導、可微、連續(xù)之間的關系條件A 條件B 條件A條件B 條件A 條件BA為B的充分條件A為B的必要條件A和B互為充分必要條件邊際分析邊際成本邊際利潤彈性分析MC=C(q)；邊際收益MR=R(q);ML=L(q),L(q)=R(q)C(q)=MRMCy=f(x)在點xo處的彈性,EyExx0一y(%)x=x。V。特別的，需求價格彈性:EpDD(p)羅爾定理若函數(shù)f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間a,b連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)可導;f(a)=f(b),則在(

13、a,b)內至少存在一點-,使f(。=0.拉格朗日定理設函數(shù)f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)可導，則在(a,b)上至少存在一點之,使得(口)=f(b)f(a)b-a基本積分公式(1) 0dx=C(2) kdx = kx CJx dx = CJ 11-(4) dx = In | x | C xxx a(5) axdx=C In a(6) exdx=exC(k為常數(shù))特別地：jdx=x + C1(有時絕對值符號也可忽略不寫)(7) cosxdx=sinxC(8) sinxdx=-cosxCdx2- cos x2=sec xdx = tan x C(10)dx = cs

14、c2 xdx - -cot x C sin x(11)secx tan xdx = secx C(12) cscxcotxdx=-cscxC(13) fdx2=arctanx+C(或dx2=-arccotx+C)1x21x2(14)dx2 21 -x=arcsinx Cdx=-arccosx + C )(15) Jtanxdx=-In|cosx|冗，(16) Jcotxdx=ln|sinx|七，(17) Jsecxdx=ln|secx+tanx|乜,(18) Jcotxdx=ln|cscx-cotx|七，dx1,x(19) J2=_arctan_+C,(a*0)，axaa(20) J2dx2,

15、ln，+C,(a=0),a-x2ax-a(21) 0), a(22) .xdx22,a=ln x + vx2 a2 +C，(a/0) .常用湊微分公式、1dx = d (ax + b ya, b為常數(shù)，且a = 0 ) a、xdx =1d x22、4dx 71x2x、-dx = 2d Tx x(5)、1 . 一一 dx = d In x x(6)、exdx =dex、sinxdx = -d cosx(8)、cosxdx = d sin x、2,sec xdx = d tan x(10)、csc2 xdx - -d cot x(11)、一1一dx =darcsinxJ -x2(12)、1.2 d

16、x = d arctan x1x2一階線性非齊次微分方程包+ P(x)y =Q(x)dx-P(x)dx的通解為y = e P(x) dxQ(x)edx C平面圖形面積的計算公式1)區(qū)域D由連續(xù)曲線y=f(x),y=g(x)和直線x=a,x=b圍成，其中f(x)g(x)(aExWb)(右圖)bD的面積A-lg(x)-f(x)dx0a2)區(qū)域D由連續(xù)曲線x=(y)，x=W(y)和直線x=c,x=d圍成，其中(y)_(y)c_y_d(右圖)dD的面積A=.丁(y)-(y)dyc平面圖形繞旋轉軸旋轉得到的旋轉體體積公式1、繞x軸的旋轉體體積(右圖)b2Vx=a二f(x)dx注意：此時的曲邊梯形必須緊貼

17、旋轉軸.2、繞y軸的旋轉體體積(右圖)Vy=c二g2(y)dy注意：此時的曲邊梯形必須緊貼旋轉軸.*V由邊際函數(shù)求總函數(shù)qqC(q)=f(x)dx+C0(Co=C(0)為固定成本)R(q)=og(x)dxq總利潤函數(shù)為L(q)=R(q)-C(q)=1g(x)-f(x)dx-C0。多元復合函數(shù)的導數(shù)公式設函數(shù)u=小(x,y)、v=巾(x,y)在點(x,y)有偏導數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u,v)處可微，則復合函數(shù)z=f(|)(x,y),巾(x,y)在點(x,y)的偏導數(shù)zz.zz.U_；zV.x二u二x:V二x；:z：:z；:u=二ycucycvcy兩個特例:z=f(u,v)，it)Kt)：dz:zdu：:udv*T-:udt：:vdtdz ：:uu丁二 f (u).du 二 y二 y.二zdz二u二u二zz=f(u),u=u(x,y):=f(u),二xduex：xcy隱函數(shù)導數(shù)公式FyF zFx: zFy= , =一xFz yFz二元方程F(x,y)=0所確定的Bt函數(shù)：5=dx三元方程F(x,y,z)=0所確定的二元隱函數(shù)：1 .確定函數(shù)定義域的主要依