1、構建心智圖像，促進學生理解有余數除法教學案例分析浙江省桐鄉市龍翔小學 吳建亞一、背景分析“有余數除法”是人教版實驗教材三年級上冊的內容，是“表內除法”的延伸和發展，是學習多位數除法的基礎，具有重要的地位。教材內容抽象、概念性強。學生剛學過表內除法，已經習慣用乘法口訣求商，不容易理解“余數”概念，對于除法不能直接從乘法口訣求商有許多困惑。為此，本課的教學目標為：通過操作、觀察、小組討論、師生交流等形式，充分理解余數的產生過程和表示的意義；通過被除數、除數、商、余數之間關系的探究，發現并理解“余數一定要比除數小”的道理。如何讓學生獲得鮮明表象，從而建立“余數”的概念，通過數字、圖像、語言及數形結合

2、等方式多方位體驗有余數除法的含義，感知“余數比除數小”的規律道理，并讓學生在試商、調商計算技能方面獲得一定的基礎？筆者進行了有效的嘗試。二、教學案例【片段一】擺幾個正方形？多幾根？師：（出示一捆小棒）4根小棒能搭一個正方形，用老師手中的小棒搭獨立的小正方形，會有怎樣的結果？生1：擺了幾個正方形后，會多幾根。生2：擺了幾個后會少幾根。生3：也可能會正好擺幾個正方形。師：你能舉一種情況來說明剛才的想法嗎？生1：如果是8根正好搭2個正方形。算式是84=2（個）（師用小棒演示后寫算式。）生2：24根正好搭6個正方形。算式是244=6（個）師：你能舉一種多幾根的例子嗎？生1：5根擺一個多1根。師：你是怎

3、么想的？生1：一個正方形是4根，多1根。生2：9根也是多1根。師：哦？怎么想的？生2：二個是8根，981。師：老師用小棒搭出來看看。（演示）生3：13根也是多1根。師：怎么想的？生3：9根多一根，13比9多4，正好多搭一個。生4：我補充，搭3個用12根，那么13根就多1根。師：13根小棒搭正方形是這個結果，那么你能用算式表示出來嗎？生1：3412（根），13121（根）生2：我是這樣想出來的：34+1=13（根）生3：我是算出來的：算式是：（131）4=3（個）生4：我是算出來的：算式是：134=3（個）1（根）師：同學們，你能看懂這里的算式嗎？你能說說每個算式的意義嗎？生：前3個算式能看懂，

4、最后的算式看不懂。師：這個算式表示的意思其實與前邊的大致是一樣的，就是有13根小棒，每4根正好搭1個正方形，能搭3個還多1根，這里多出來的數1就是余數。簡析：從開放式的問題入手，讓學生感受到有余數除法只是平均分中的一種特殊情況。學生在用4根小棒搭1個正方形的活動的過程中初步獲得了“余數”概念的表象支撐，為抽象出“余數”概念埋下了伏筆?！酒味浚耗銜苯恿惺絾幔繋煟何覀冊賮硐?，18根又能搭幾個正方形呢？你是怎么得到的？會列式的可直接列算式，不會的可先用小棒擺一擺，再列式。生1：我是想出來的：4416，18162，所以184=4（個）2（根）。師：真好，其他同學能說說嗎？（說給同學聽聽）師：23

5、根小棒能擺幾個？用算式表示。生：234=5（個）3（根）師：怎么想的？生：4520，23203。師：那么，144，194，254。匯報，說說怎么想的。簡析：“你是怎么得到結果的？”擺小棒是一個方法，但更多的是通過“乘、減”二步得到的，這里其實已經涉及到了“試商”這一層意思了。由于前期小棒的操作對感知余數有了一定的基礎，試商這個難點也變得水到渠成。【片段三】“你發現了什么規律？”師：同學們，你能在腦中用9根、10根、11根、12根、13根、14根、15根、16根、17根、18根、19根、20根小棒搭獨立的正方形嗎？分別有怎樣的結果？能用算式表示嗎？（生思考、寫算式）生匯報： 942（個）1（根）

6、1042（個）2（根）1142（個）3（根）1243（個）1343（個）1（根）1443（個）2（根）1543（個）3（根）1644（個）1744（個）1（根）1844（個）2（根）1944（個）3（根）2045（個）師：觀察上面的商和余數，你有什么想法？生1：1243（個）可以看成是余0根。生2：余數是1、2、3、1、2、3重復。師：為什么余數只出現1、2、3，不出現4、5等呢？生：因為余1、2、3根的話，不夠搭正方形了，多4根的話，還可以用4根搭1個正方形，多5根的話，還可以用4根搭1個正方形，還多1根。師：余數和除數大小有什么關系？生1：余數不能比除數大。生2：余數要比除數小。簡析：腦中

7、搭正方形在內容上與操作相似，但體現了不同的思維水平，加深了學生對余數意義的理解。從小棒的實際操作到數學算式，學生經歷了橫向數學化的過程，通過擺“9根、10根、11根、12根20根小棒”，學生經歷了縱向數學化的學習過程。從實物小棒圖到頭腦小棒圖，不管是多1根、多2根、多3根都不夠搭正方形，學生逐步建構起“余數要比除數小”的概念。三、亮點透析心理學研究成果表明：當數學的一個概念被提及時，人們的記憶很快構成一種刺激，處于長期記憶中的某種東西迅速得到“激活”，這種“激活”的東西被看成抽象的概念的“心理對應物”。數學的概念掌握、數學問題的解決很大程度上取決于這種“心理對應物”的激活程度，“心理對照物”即

8、“心智圖像”，它是具有某種程度抽象的、模式化了的形象。本課教學體現了上述原理，下面加以具體闡述。1.深刻理解概念“余數”是一個抽象的概念，在本課教學中，藝術化地處理了這部分知識的教學。建構直觀、形象的心智圖像，使抽象問題具體化，隱性問題顯性化。許多抽象的、晦澀難懂的問題，需要運用直感，以一種簡明、形象的方式表征，以形成相應的心智圖像。教學中很好地利用學生的認知差異和思維慣性引起矛盾沖突，誘導學生探索的過程中產生一種頓悟與反思。例如，用小棒搭正方形是學生熟悉并喜歡的活動，用4根小棒可以搭成的1個正方形，5根小棒，搭完一個正方形后多了1根，6根小棒，搭完1個正方形后就多了2根，學生在操作活動中自然

9、獲得了“余數”概念的表象支撐，建立了余數的初步的模型。又如，在片斷三中“你發現了什么規律？”，提出要求，讓學生“觀察上面的商和余數，你有什么想法？”在觀察比較中，使“余數比除數小”的道理呼之欲出，有效地突破了教學的重點與難點。2.構通運算方法理解了余數的概念，以及余數比除數小的原理，還要進一步理解怎樣進行有余數除法的計算方法。這樣才能讓學生對概念的理解達到更深的層面，而不至于停留于表面。例如，在討論13根小棒搭正方形用怎樣的算式時，學生都能根據以往的經驗，用算式3412（根）、13121（根）表示，借助“乘、減”二步計算的模型，有利于學生理解有余數除法，這其實就是有余數除法中被除數、除數、商、余數四者的關系，有余數除法只要與它建立聯結，余數的意義、試商的方法甚至是除法的豎式，學生都能比較好地掌握?？傊?，本課根據數學知識的特點和兒童的年齡特點，通過直觀形象的教具展