1、問題的提出問題的提出離散時間信號的主要優(yōu)點：可用數(shù)字計算機表示和處理離散時間信號的主要優(yōu)點：可用數(shù)字計算機表示和處理序列的頻譜：序列的頻譜：-()( )jjnnX ex n e 頻域變量頻域變量為連續(xù)變量，說明傅里葉變換不適合用為連續(xù)變量，說明傅里葉變換不適合用數(shù)字計算機表示和處理數(shù)字計算機表示和處理 為此，通過頻域抽樣將為此，通過頻域抽樣將離散化，從而得到離散時間離散化，從而得到離散時間變量變量n與離散頻率變量與離散頻率變量 k 之間的映射之間的映射離散傅里葉變換離散傅里葉變換時域抽樣：時域抽樣：連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號xa(t) 離散時間信號（序列）離散時間信號（序列）x(n)= xa(t

2、)|t=nT時域抽樣對頻譜的影響時域抽樣對頻譜的影響 頻譜周期性延拓，序列的頻譜頻譜周期性延拓，序列的頻譜 X(e j)的周期為的周期為2時域抽樣時域抽樣 頻域信號具有隱含周期性（延拓）頻域信號具有隱含周期性（延拓） 周期周期 2頻域抽樣頻域抽樣 時域信號具有隱含周期性（延拓）時域信號具有隱含周期性（延拓） 周期周期N頻域抽樣：頻域抽樣：連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜 X(e j) 離散頻譜離散頻譜X(k)=X(e j)|=k0 ， 頻域抽樣對時域的影響頻域抽樣對時域的影響時域信號周期性延拓時域信號周期性延拓( (延拓周期為延拓周期為N) )02N時域抽樣、頻域抽樣時域抽樣、頻域抽樣 T0 xa(t)tM點

3、抽樣點抽樣(M-1)n0 x(n)主周期主周期N點抽樣點抽樣主值周期主值周期恢復恢復周期延拓周期延拓0-hh|Xa(j)|0-hh|X(e j)|2周期延拓周期延拓 (=T)恢復恢復主周期主周期(N-1)0 = 2/Ns= 2s= 2/T0|X(k)|k0k( )X k0nN-1( )x n有限長序列的傅里葉分析有限長序列的傅里葉分析dejXtxtj)(21)(一、四種信號傅里葉表示一、四種信號傅里葉表示1. 連續(xù)時間非周期信號連續(xù)時間非周期信號dtetxjXt j)()(頻譜特點： 連續(xù)非周期譜傅里葉變換傅里葉變換2. 周期為周期為T0的連續(xù)時間周期信號的連續(xù)時間周期信號ntn jenXtx

4、0)()(0dtetxTnXtn jT00)(1)(00頻譜特點：頻譜特點： 離散非周期譜離散非周期譜傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)3. .離散非周期信號離散非周期信號deeXnxnjj)(21)(nj-njenxeX)()(頻譜特點： 周期為2的連續(xù)譜序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換4.4.周期為周期為N 的離散周期信號的離散周期信號21jnk 01(n)IDFS(k)(k)NkNxXXeN21-jn0(k)DFS(n)(n)NkNnXxxe頻譜特點：周期為頻譜特點：周期為N的離散譜的離散譜離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)x(n)、X(k)均為均為N點點有限長序列有限長序列( (0n、kN-1) )DFT

5、變換對變換對(M-1)n0 x(n)(N-1)0|X(k)|k 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)和離散傅里葉級數(shù)和離散傅里葉級數(shù)(DFS)(DFS) 均為均為周期序列周期序列（周期為（周期為N）（無限長序列）（無限長序列）DFS變換對變換對0nN-1k( )x n( )X k0( )x n( )X k有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）1, 2, 1 , 0,)(1)(210NnekXNnxknNjNkIDFTDFT符號表示符號表示:)()(kXIDFTnx1, 2, 1 , 0,)()(210NkenxkXknNj-Nn)()(nxDFTkXN點有限長序列點有限長序列x(n)

6、 , n = 0, 1, 2 , N-1有限長序列的有限長序列的DFT與與DTFT關系：關系：有限長序列x(n)的離散傅里葉變換X(k)，是其序列傅里葉變換X(ej)在一個周期0,2)內(nèi)的N點等間隔取樣1, 2, 1 , 0,)()()(2NkeXnxDFTkXkNjnj-njenxnxDTFTeX)()()(1, 2, 1 , 0,)()(210NkenxkXknNj-NnDTFT ：離散時間傅里葉變換：離散時間傅里葉變換,時域離散非周期而頻域周期時域離散非周期而頻域周期連續(xù)的，且頻域是以連續(xù)的，且頻域是以 為周期為周期 2DFTDFT與與 z z 變換的關系：變換的關系：X( (k) )是

7、是X( (z) )在單位圓上的在單位圓上的N點等間隔采樣（采樣間隔點等間隔采樣（采樣間隔2 2/ /N）0如：如：N=8X (6)X (4)/4RezjImzX (0)X (1)X (2)X (3)X (5)X (7)1, 2, 1 , 0,)()()(2NkeXnxDFTkXkNj1, 2, 1 , 0,)()()(2NkzXnxDFTkXkNjez時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期T0非周期和離散( )離散(T)和非周期周期( )和連續(xù)離散(T)和周期T0周期( )和離散( )0離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)( (DFS) )周期序列周期序列10( )NnkNnx n W2j

8、NNWe 旋轉因子（旋轉因子（N點）點）( )x nX( )k 周期為周期為N的的周期序列周期序列2101( )X( )X( )NjnkNnx nIDFSkk eN210X( )( )( )NjnkNnkDFS x nx n e DFS變換對：變換對：101X( )NnkNkk WNDFSDFS的性質(zhì)的性質(zhì) 調(diào)制特性調(diào)制特性nx( )X()lNDFS Wnkl x( )y( )X( )Y( )DFS anbnakbk 線性線性設設 為周期為為周期為N的周期序列，對應的的周期序列，對應的DFS為為( ) ,( )x ny nX( ) , Y( )kk ( (時域、頻域均為周期為時域、頻域均為周期

9、為N的周期序列的周期序列) )2x()X( )X( )jmkmkNNDFSnmWkek 序列的移位序列的移位 周期卷積和周期卷積和 ( (前提：前提： 必須是同周期的周期序列必須是同周期的周期序列) )1100( )( ) ()() ( )NNmmy nx m h nmx nm h m( )( )( )Y kX kH k( )( ) ()() ( )mmy nx m h nmx nm h m的長度的長度=x(n)的長度的長度+h(n)的長度的長度 -1( )y n( )( )x nh n、是與是與 同周期同周期( (N) )的周期序列的周期序列( )y n( )( )x nh n、線性卷積和中

10、的線性卷積和中的x(n)、h(n)可以是任意序列可以是任意序列有限長序列與周期序列的關系有限長序列與周期序列的關系( )( )( )Nx nx n Rn ( )( )Nx nx n是截取是截取 的主值區(qū)間的主值區(qū)間 所構成的所構成的N點有限長序列點有限長序列( )x n( )x n0 1N 是是 以以N為周期的周期延拓序列（無限長）為周期的周期延拓序列（無限長）( )x n( )x nx(n)(0(0nN-1) ) N點有限長序列點有限長序列 周期為周期為N的周期序列的周期序列( )x nx(n)6n01 2 3 4x(n)0n1 2 3 4 5符號符號(n)N 是余數(shù)運算表達式，表示是余數(shù)運

11、算表達式，表示n對對N求余數(shù)求余數(shù) 例：例： 是周期為是周期為N=8=8的序列，求的序列，求 n =11=11和和 n =-2 =-2 對對N的余數(shù)的余數(shù)( )x n11 1 83n 解：解：8(11)32( 1) 86n 8( 2)6(11)(3),( 2)(6)xxxx離散傅里葉變換離散傅里葉變換( (DFT) )有限長序列有限長序列N點有限長序列點有限長序列 x( (n) )N點有限長序列點有限長序列 X( (k) )01( )( )0nNx nx nn其它01X( )( )0kNkX kk其它（隱含周期性）（隱含周期性）10( )( )(01()NnkNnDFTX kx n WknNx

12、101( )( )(01)IDFT( )NnkNkx nX k WX knNNDFT變換對變換對：DFTDFT與與DFSDFS的關系：的關系：)()()(1)(210nRnxekXNnxNknNjNk)()()()(210kRkXenxkXNnkNj-NnDFT可以看成是截取可以看成是截取DFS的主值區(qū)間構成的變換對的主值區(qū)間構成的變換對DFT的性質(zhì)的性質(zhì)線性線性序列的圓周移位序列的圓周移位共軛對稱性共軛對稱性DFT形式下的帕賽瓦定理形式下的帕賽瓦定理圓周卷積和圓周卷積和圓周相關圓周相關有限長序列的線性卷積與圓周卷積有限長序列的線性卷積與圓周卷積DFT的性質(zhì)的性質(zhì) 線性線性： 1212( )(

13、 )( )( )DFT ax nbx naX kbXk 若若N1 N2，則應取，則應取 Nmax(N1，N2)，先將短序列，先將短序列 補補0得到兩個得到兩個N點序列點序列 后，再分別作后，再分別作N點點 DFT變換變換 ，最后求，最后求N點點DFT )(),(21nxnx)()(21kbXkaX)(),(21kXkX若若 的長度分別為的長度分別為N1、N2，則，則 當當N1=N2=N時時 ， 均為均為N點點DFT，都是，都是N點序列點序列12( ),( )x n x n12,( )( )aX kbXk)(),(21kXkX序列的圓周移位序列的圓周移位序列的圓周移位序列的圓周移位 共軛對稱性共

14、軛對稱性Re( )( )epDFTx nXkIm( )( )opDFTjx nXk 應用應用 用一次用一次N點復序列的點復序列的DFT運算來計算兩個運算來計算兩個N點實點實 序列的序列的DFT 設：設：兩個兩個N點點實實序列序列 構成一個構成一個N點復序列：點復序列：)()(11kXnxDFT)()(22kXnxDFT)()()(21njxnxnw2( )x n1( )x n1( )( )epX kWk2( )( )opXkWk DFTDFT形式的帕塞瓦定理形式的帕塞瓦定理 時域、頻域的能量計算相同時域、頻域的能量計算相同deXnxEjn22)(21)(2211001( )( )NNnkEx

15、nX kN 圓周卷積和圓周卷積和 限定在限定在(0N-1)區(qū)間區(qū)間 兩個兩個N點有限長序列（點有限長序列（0N-1） 、( )x n( )h n其其N點點DFT分別為分別為 、( )X k( )H k( )( )( )Y kX kH k10( )( )( ) ()( )NNNmy nIDFT Y kx m h nmRn10()( )( )NNNmx nmh mRn( )( )y nx n( )h nN( )h n( )x nN記為記為:y(n)也是也是N點有限長序列（點有限長序列（0 0nN-1）設有限長序列設有限長序列 、 的長度分別為的長度分別為 N 和和 M圓周卷積和與線性卷積和的關系圓

16、周卷積和與線性卷積和的關系( )( )y nx n( )h nLL點圓周卷積和點圓周卷積和( )x n( )h n線性卷積和線性卷積和( )( )( )Lynx nh n( (L 點點) )( (N+ +M -1)-1)點點圓周卷積和與線性卷積和相等的條件：圓周卷積和與線性卷積和相等的條件：LN+M-1可以用圓周卷積和代替線性卷積和可以用圓周卷積和代替線性卷積和 圓周相關圓周相關 N點有限長序列點有限長序列 x(n)（0nN-1）的）的N點圓周相關定義為：點圓周相關定義為： 10( )( )()( )NxyNNnRmx n ynmRm 圓周相關與圓周卷積和的關系類似于線性相關與線性圓周相關與圓

17、周卷積和的關系類似于線性相關與線性卷積和的關系。卷積和的關系。 時域圓周卷積和時域圓周卷積和離散頻域乘積離散頻域乘積( )( )( )Y kX kH k( )( )y nx n( )h nN( )h n( )x nN( )( )( )y nx nh n1( )( )Y kX kN( )H kN1( )H kN( )X kNv 時域乘積時域乘積離散頻域圓周卷積和離散頻域圓周卷積和DFT的性質(zhì)的性質(zhì) 圓周相關圓周相關線性相關：線性相關：( )( )()( )* ()xyrx t yt dtxy( )( )()xynrmx n y nm圓周相關：圓周相關：10( )( )()( )NxyNNnrmx

18、 n ynmRm( )( )( )xyRkX k Yk線性卷積線性卷積圓周卷積圓周卷積周期卷積周期卷積1111( )( )*( )( ) ()Lmyn =x nh nx m h nm10( )( ) ()Nmy n =x m h nm( )( )y nx n( )h nN10( ) ()NNmx m h nm關關 系：系：對非周期連續(xù)時間信號的傅里葉變換的對非周期連續(xù)時間信號的傅里葉變換的DFT逼近逼近()( )jtX jx t edt1( )()2jtx tX jed傅里葉變換對：傅里葉變換對：用用DFT計算這一變換對的步驟：計算這一變換對的步驟：1. 對對x(t )等間隔采樣等間隔采樣 (

19、 )( )()t nTx nx tn 2. 對對x(n )截取有限長截取有限長 ( ) (0-1)x nnN3. 對對 離散化離散化 ()X j( ) (0-1)X kkN1. 對對x(t )等間隔采樣等間隔采樣 ( )( )()t nTx nx tn tnTdtT()( )jnTnX jx n eT()( )jtX jx t edt頻譜的變化：頻譜的變化：2. 對對x(n )截取有限長截取有限長 ( ) (0-1)x nnN相當于相當于x(t )截取截取0T0區(qū)間，區(qū)間，T0稱為紀錄長度，滿足稱為紀錄長度，滿足0TNT則則10()( )NjnTnX jx n eT10()( )NjnTnX

20、jx n eT3. 對對 離散化離散化 ()X j( ) (0-1)X kkN即每個周期即每個周期( ( fs 或或s ) )采樣采樣N個點：個點：000001,2sfNFFFT0k0d則頻譜則頻譜0100()( )NjknTnX jkTx n e0022TTTN2100()( )NjknNnX jkTx n e00()()DFT( )( )kX jkX jTx nTX k1( )()2jtx tX jed01()()2sjnTx nTX jed010001()2NjknTkX jke21000()NjknNkFX jke 21000()1NjknNkNFX jNke01( )( )()t n

21、Tx nx tIDFT X jkT)(tx抽樣抽樣離散化離散化)(nx周期化周期化)(nxDFT 實現(xiàn)實現(xiàn))( jXhhA)(jeX22TAhh)(kXk利用利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜分析連續(xù)非周期信號的頻譜 （1） 無限長，其頻帶有限無限長，其頻帶有限)(tx)(kX)(nx加窗加窗)(tx抽樣抽樣)(nxNDFT)(kXk（2） 有限長，其頻帶無限有限長，其頻帶無限)(tx抽樣抽樣)(nx)(kXDFT)(tx)(kXk（3） 無限長，其頻帶無限無限長，其頻帶無限)(tx)(nxN加窗加窗)(nx)(tx抽樣抽樣)(kXDFT)( jX)(kXk利用利用DFT計算連續(xù)時間信號時計算

22、連續(xù)時間信號時可能出現(xiàn)的幾個問題可能出現(xiàn)的幾個問題 頻率響應的混疊失真頻率響應的混疊失真 頻譜泄漏頻譜泄漏 柵欄效應柵欄效應 頻率分辨力頻率分辨力頻率響應的混疊失真及參數(shù)的選擇頻率響應的混疊失真及參數(shù)的選擇抽樣頻率必須滿足抽樣定理：抽樣頻率必須滿足抽樣定理：2shff（抽樣前加前置預濾波器，濾除信號中高于（抽樣前加前置預濾波器，濾除信號中高于 fh的頻率分量）的頻率分量）112shTff 即時域抽樣間隔滿足：即時域抽樣間隔滿足：對于對于DFT來說，頻域抽樣間隔為：來說，頻域抽樣間隔為：001sfFTN其中，其中，T0為信號的紀錄長度為信號的紀錄長度0TNTN一定時，信號最高頻率一定時，信號最高

23、頻率 fh與頻率分辨率與頻率分辨率F0之間相互矛盾之間相互矛盾解決方法：增加紀錄長度的點數(shù)解決方法：增加紀錄長度的點數(shù)N，即滿足，即滿足002shffNFF頻譜泄露頻譜泄露)()()(jNjjNeWeXeX)()()()(nwnxnxnxNN 加窗加窗)(kXDFT其中：窗函數(shù)其中：窗函數(shù))(nwN矩形窗矩形窗漢寧窗漢寧窗哈明窗哈明窗布拉克曼窗布拉克曼窗凱塞窗凱塞窗 截取有限數(shù)據(jù)，時域相乘頻域周期卷積，卷積的結截取有限數(shù)據(jù)，時域相乘頻域周期卷積，卷積的結果使所得的頻譜與原來的頻譜有失真，頻譜擴散（拖尾、果使所得的頻譜與原來的頻譜有失真，頻譜擴散（拖尾、變寬），這就是頻譜泄漏變寬），這就是頻譜泄漏矩形窗矩形窗其它 NknRnwN0