1、基金使用規劃選自2001年全國大學生數學建模競賽一、問題描述某校基金會有一筆數額為 M元的基金，打算將其存入銀行或購置國庫券。 當前銀行存款及各期國庫券的利率見表 1。假設國庫券每年至少發行一次，發行 時間不定。取款政策參考銀行的現行政策。校基金會方案在n年內每年用局部本息獎勵優秀師生，要求每年的獎金額大 致相同，且在n年末仍保存原基金數額。校基金會希望獲得最正確的基金使用計 劃，以提高每年的獎金額。請你幫助校基金會在如下情況下設計基金使用方案， 并對M=5000萬元，n=10年給出具體結果：1. 只存款不購國庫券。2. 可存款也可購國庫券。3學校在基金到位后的第 3年要舉行百年校慶，基金會希

2、望這一年的獎金 比其它年度多20%。表1銀行存款稅后年利率%國庫券年利率活期半年期一年期二年期三年期五年期二、問題分析 基金應滾動使用，即一筆錢存銀行或購置國庫券，到期除去當年所用獎金之 后，剩余局部繼續存銀行或購置國庫券。 基金到位當年不設獎金， 所有資金用于 存款或買國庫券； 最后一年留出基金本金外， 剩余資金全部用于獎金。 在設計基 金使用方案時，須考慮以下兩個因素：1. 由于從基金到位后的下一年開始每年都要使用獎金，因此方案要保證每 年都有存款或國庫券到期；2. 由于銀行存款或國庫券的檔期越長，年平均收益越高，因此，假設一筆 資金k年后要用如k=3，一定是將該筆資金直接存k年期銀行定期

3、存 款，或購置相應年限的國庫券。如是，基金使用方案應遵循如下框架： 每一年所有可供調用的資金都被分割 成分別存 1， 2， 3， 5 年期銀行存款或購置 2， 3， 5 年期國庫券的金額和當 年使用的獎金額； 基金到位年不設獎金， 基金使用最后一年只分割成基金本金和 獎金。因此， 決策的內容就是各年的可供調用資金的分割方案， 決策目標是使獎 金總額極大化。決策的結果還應使得每年的獎金額大致相等。三、建模模型 1只存銀行不買國庫券由題設，基金使用年限為 10年，設基金到位年為第 0年，可令 xij (i =0, 1, 2, 9；j=1, 2, 3, 5)表示第 i 年可供調用總資金中用于存 j

4、年期銀行存款的資金， 其中， x65、x75、x83、x85、x92、x93、x95 恒為 0。由于要求每年用于獎金的資金額大致相 等，可令t表示從第1年至第10年每年供獎金使用的資金額。實際決策變量共 34 個。優化目標為 10 年使用的獎金總額最大，即 max z 10t約束條件除所有變量的非負約束外，就是反映各年資金分割情況的等式約 束：x01x02x03x05M第0年x11x12x13x15t(1r1) x01第1年x21x22x23x25t(1r1)x11(12r2) x02第2年x31x32x33x35t(1r1)x21(12r2 ) x12(13r3) x03第3年x41x42x

5、43x45t(1r1)x31(12r2) x22(13r3 ) x13第4年x51x52x53x55t(1r1)x41(12r2) x32(13r3) x23(15r5) x05第5年x61x62x63t(1r1) x51(12r2)x42(13r3 ) x33(15r5) x15第6年x71x72x73t(1r1)x61(12r2 ) x52(13r3 ) x43(15r5 ) x25第7年x81x82t(1r1)x71(12r2) x62(13r3 ) x53(15r5) x35第8年x91t(1r1)x81(12r2 ) x72(13r3 ) x63(15r5 ) x45第9年Mt(1r

6、1)x91(12r2 ) x82(13r3 ) x73(15r5) x55第10年式中，r1、r2、r及r5 分別表示銀行1 年期、2年期、3年期及 5 年期存款的年利率， M 為基金總額。 為求解時方便準備數據， 可將模型按變量 x01, x02, x03, x05, x11, x12, x13, x15, x21, x22, x23, x25, x31, x32, x33, x35, x41, x42, x43, x45, x51, x52, x53, x55, x61, x62, x63, x71, x72, x73, x81, x82, x91, t 順序展開限于篇幅不再列舉 。模型

7、2可存銀行也可買國庫券由于國庫券年利率都高于同期銀行存款利率， 顯然，只要能買國庫券就不會 存同期銀行存款。所以，在模型 1 中將用于表示銀行存款額的變量 xij 以購置同 檔期國庫券金額的變量 yij (j= 2, 3, 5)替代，相應銀行存款年利率 r2、r3 及 r5 分別由 R2、R3 及 R5 同期國庫券年利率替換后即得模型2maxz 10tx01y02y03y05Mx11y12y13y15t(1r1 )x01x21y22y23y25t(1r1)x11(12R2) y02x31y32y33y35t(1r1)x21(12R 2 ) y12(13R 3)y03.x41y42y43y45t

8、(1r1)x31(12R 2 ) y22(13R 3 ) y13x51y52y53y55t(1r1)x41(12R 2)y32(13R 3) y23(15R 5 ) y05x61y62y63t(1r1)x51(12R2)y42(13R 3 ) y33(15R5 )y15x71y72y73t(1r1)x61(12R 2 ) y52(13R 3) y43(15R5 )y25x81y82t(1r1 )y71(12R 2)y62(13R 3 ) y53(15R5 ) y35x91t(1r1)x81(12R 2 )y72(13R 3 ) y63(15R5 ) y45Mt(1r1 ) x91(12R2 )

9、y82(13R 3 ) y73(15R 5 ) y55且決策變量均取非負值。模型 3基金到位后第 3 年的獎金比其它年度多 20%在模型2上稍作修改即得：第4個約束方程中獎金額由tt;目標函數由max z 10t 改為 max z 10.2t 。模型為： max z 10.2tx01y02y03y05Mx11y12y13y15t(1r1) x01x21y22y23y25t(1r1) x11(12R2 )y02x31y32y33y351.2t(1r1)x21(12R2 )y12(13R 3 ) y03x41y42y43y45t(1r1)x31(12R2 )y22(13R 3 ) y13x51y5

10、2y53y55t(1r1)x41(12R 2)y32(13R3 )y23(15R5 )y05x61y62y63t(1r1) x51(12R2 )y42(13R3 )y33(15R5 )y15x71y72y73t(1r1)x61(12R2 )y52(13R3 )y43(15R 5 ) y25x81y82t(1r1) y71(12R 2)y62(13R 3 ) y53(15R5 )y35x91t(1r1)x81(12R2 ) y72(13R3 )y63(15R5 )y45Mt(1r1)x91(12R 2)y82(13R3 )y73(15R5 )y55且決策變量均取非負值。四、在 Matlab 中求

11、解僅列舉模型 1 的求解過程，模型 2、 3 可仿照處理Matlab 代碼r1=0.018; r2=0.01944; r3=0.0216; r5=0.02304; M=5000;f=zeros(34,1); f(34, 1)= -10;Aeq=1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,

12、1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,

13、1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,1,1,1,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,-(

14、1+r1),0,0,1,1,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,-(1+2*r2),0,-(1+r1),0,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,-(1+2*r2),-(1+r1),1; beq = zeros(11,1); beq(1,1) = M; beq(11,1) = -M;lb=zeros(34,1);x, fval = linprog(f, ,

15、 , Aeq, beq, lb);求得三種情況下的基金最優使用方案及收益，見表2表4。表2基金最優使用方案各年度銀行存款方案及收益年序存款期01234567891年期294.77427.2622年期134.783年期44432.26一5年期0266.0701一一每年獎金額約為 109.82萬元；10年共計1098.2萬元。如果不加運籌，每年把基金本金存一年定期供下年度使用，那么每年僅有90萬元獎金可用，10年少產生資金共計198.2萬元。運籌使每年的獎金額增加了 22.02%。表3基金最優使用方案1年期存銀行，2、3、5年期買國庫券及收益'、年序 存款期、0123456789金1年期352.252年期23年期100一5年期0072.37一一一每年獎金額約為 146.86萬元；10年共計1468.6萬元。在考慮購置國庫券后，運作方案有明顯的變化：由于購置國庫券收益率更高， 資金分配自然向購置國庫券流動。與模型 1比擬，2年期以上款項全部為購置 國庫券在平衡之余整體增加，而1年期款項為銀行存款額無一例外全都降 低。有效的運作使每年的獎金額比不運作更是大幅提升了63.18%表4基金最優使用方案考慮購置國庫券，第 3年獎金多20%及收益年序 存款期、0123456