1、?數學分析選講?A/B模擬練習題參考答案一、選擇題：共18題，每題3分1、以下命題中正確的選項是A B :A、假設F'(x) f(x)，那么F(x) c是f(x)的不定積分，其中c為任意常數B、假設f (x)在a, b上無界，貝U f (x)在a,b上不可積C、假設f (x)在a, b上有界，貝U f (x)在a, b上可積D假設f(x)在a,b上可積，那么f (x)在a,b上可積2、設 f(x) 3x 4x 2，那么當 x 0 時，有BA. f(x)與x是等價無窮小B. f(x)與x同階但非是等價無窮小C. f(x)是比x高階的無窮小D. f(x)是比x低階的無窮小3、假設f為連續奇

2、函數，那么f sinx為(A )A、奇函數 B、偶函數C、非負偶函數D、既不是非正的函數，也不是非負的函數.4、函數f (x)在a,b上連續是f(x)在a,b上可積的A丨條件A. 充分非必要 B.必要非充分C.充分必要條件D.非充分也非必要條件 5、假設f為連續奇函數,那么f cosx為(B )A、奇函數 B 、偶函數C、非負偶函數D、既不是非正的函數，也不是非負的函數.6 設 f(x) arCtan1 那么 x 0 是 f(x)的BxA. 連續點 B. 可去間斷點 C.跳躍間斷點D.第二類間斷點7、 設N ,當n N時，恒有anbn ,lim an A, lim bnB.那么正確的選項是(A

3、 )A、A BB、A BC、A B D A和B的大小關系不定.8、函數f(x,y) 在點(x0, y0)連續是它在該點偏導數都存在的AA.既非充分也非必要條件B充分條件C、D不存在.10、局部和數列Sn有界是正項級數 Un收斂的(C )條件n 1A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要11、極限 lim 叱 X (A)x 0 xiiA、e 3 B 、e3C 、e3 D 、不存在.12、與lim冷a的定義等價的是B DnA、0,總有 xn aB、0,至多只有禺的有限項落在(a ,a )之外C、 存在自然數N,對 0,當n N，有xn aD 0(01),存在自然數N,對n N,有xn a1x21

4、3、曲線 y 1 e 2 ( D )1 e xA、沒有漸近線B、僅有水平漸近線C、僅有垂直漸近線D、既有水平漸近線，也有垂直漸近線14、 以下命題中，錯誤的選項是A DA、假設|f(x)在點X。連續，那么f(x)在X。既是右連續，又是左連續B、假設對 0, f(x)在a ,b 上連續，那么f (x)在(a,b)上連續C、 假設f (x)是初等函數，其定義域為(a,b)， x() (a,b)，那么lim f (x) f (x°)x xD函數y f (x)在x0點連續的充要條件是f(x)在xd點的左、右極限存在且相等15、 設an為單調數列，假設存在一收斂子列anj，這時有AA、 lim

5、 anlim an.nj jB、a n不一定收斂C、an不一定有界D當且僅當預先假設了 an為有界數列時，才有A成立16、設f(x)在R上為一連續函數，那么有CA、當I為開區間時f (I )必為開區間B、當f ( I )為閉區間時I必為閉區間C、當f ( I )為開區間時I必為開區間D以上A,B,C都不一定成立 17、以下命題中錯誤的選項是 ACA、假設lim Un 1，級數 vn收斂，那么 un收斂; n vnn 1n 1B、假設Un Vn(n 1,2)，級數Vn收斂，貝UU“不一定收斂;n 1n 1C、假設un是正項級數，且 N, nn 1N,有歸1,那么 un收斂;Unn 1D假設lim

6、 Un 0，那么un發散nn 118、設un為一正項級數，這時有Dn 1A、假設 lim unn0 ,那么 un收斂n 1B、假設Un收斂,那么lim Un 11n 1nunC、假設Un收斂,那么lim n Un 1n 1nD以上A,B,C都不'定成立、填空題：共15題，每題2分1、設 x2 sin y cosy cos2y0,那么2或-21lim (1 -)n=2、nlim (1 $n1= e3、n n4、limx 0 2x5、設(Xn 10)2 收斂，那么 Hm xn = 10n 17、(x,yl)m(0,0)xy,xy 118、sin 4x.x 1139、設 F (x) cos3

7、 x，那么 F (x)sinx 空 2 12lim 2=& x 12x x 13 C10、設 yex，那么 y(2022)11、幕級數3xn1加1的收斂半徑為12、積分3.2x sin x2x2-dx的值為113、曲線y x22x 8與x軸所圍成局部的面積為36xxlim14、 x 1 x15、x,yimo,o三、計算題：共15題，每題8分1、求xsin . xdx .解：、.x t,xs in xdx2t2si n tdt2 t2d cost 2t2 cost 4 t costdt2 22t cost 4 td si nt2t cost 4t si nt 4 sin tdt2xcos

8、、x 4 xsin x 4cos x C2、將 f(x)xx 2x2展開成x的幕級數,并指出其收斂域解:f(x) 1亠=丄xn3 1 x 1 2x 3 n 0n1n 1 n n(2x) =1( 1)2 x03 n 1且由2x 13、求 lim(nn 1 n35sin n!)解：原式=0有界量乘以無窮小量4、求COS、X解：令X t，原式=2cos tdt 2sin t C 2sin、x C5、求 lim ln(1X 0X2 X5)cosx25解：原式=lim x 2x2x 0 X6、求極限limX 0Xxeln(1-2 xX)解:lim竺ln(12XX)xe2x2exX xe1(1 x)2x

9、sin-7、設 yx011解：當 x 0 時，y 2xsin- cos;xxx2si n- 0x(sin 1)8、設 f(x)2x sin , x 0xAx 0 ，其中A,a,b為何值時,f (x)在x=0處可導，為什么,并求f'(0)2ax b, x 0解:limx 0f(x) f(o)xlimx 02x sinAxxlim (xsin x 0)lim xsin 0，故要使f' (0)存在，必須A 0x 0x又limf(x)f(0). ax2 b i/b、limlim (ax )x 0xx 0xx 0x要使有導數存在，必須b=0.綜上可知，當A=b=0,a為任意常數時，f (

10、x)在x=0處可導，且f'(0) 09、計算以下第一型曲面積分:(x2 y2 z)ds,其中 S為 z 1, x2 y2 1.S解：S由平面構成：S2：z 1,x2 y2 1.(x2 y2 z)dsS2(x2 y2 1)dxdyDo(r2 1) rdr11、o cos2 tdt 嘰七n10、xx(1 x)解：x11x(1 x)x1 xxdv1 1()dx lnx 1 xx ln1 xCx(1 x)UA解：由洛必達L' Hospital法那么得limx 02cos tdt 0sin x2cos x limx 0 cosxlim cosx 1x 012、02/-sin2xdxo s

11、in x-cosxdx2 2 2o J-sin2xdxo 2nx-cosx) dx；(cosx sin x)dx2(sin x cosx)dx4cos x)2"4(si nx cosx)04 (si nx2 2 213、sin xcosx dx' 2 2 cos x sin x解：sin xcosx,1sin2x ,1 d cos2x1<cos2x Cdxdx2 2 cos x sin x2cos2x4. cos2x21cosx ,14、dxxsin x解：1cosx ,d xsin xdxlnx sin xCxsin xx sin x15、In In x , dxx解

12、：ln ln xln ln x d ln x ln x ln ln xdxln x ln ln x 1 C xdxx四、證明題共17題，共156分1、6分設函數f (x)在a,b上連續，在(a,b)內可導，且f '(x)0。試證：如果f(a) f(b) 0,貝昉程f (x)0在(a,b)內僅有一個實根。證明：因為f (x)在a, b上連續，在(a,b)內可導，f(a) f (b)0 ,于是由零點存在定理知，至少存在一點a,b使得f( ) 0，又f'(x) 0 ,因此知f x在a,b上為嚴格格單調增加的，故方程f (x) 0在(a, b)內僅有一個實根。2、 10分指出函數f(x

13、)x2 2xx|(x24)的不連續點,并判定不連續點的類型解：f (x)的不連續點為x 0, x 2又 lim f (x) lim2)x 0 0x 0 0 x (x4)limx 0 0f(x)lim x(x2 2)x 0 0 x(x2 4)呢 f (x)lim x(x 2)1x 2 x(x 2)(x 2)4他 f(x)!im2x(x 2)x(x 2)( x 2)而f (x)在x 2點沒有定義，于是知x 0為f (x)的第一類不連續點;x 2為f (x)的第二類不連續點；x 2為f (x)的第三類不連續點。xf(t)dt 3、 10分設f (x)在a,b上連續，在(a,b)內可導，f'(

14、x) 0,又F(x) 亠x a證明在(a,b)內有F'(x) 0.證明：由于F(x)xaf(t)dtx(x a) f (x) a f (t)dt(x a)2xa(f(X)(xf(t)dta)2使得 f(x) f(t) f ( )(x t) 0，從而在(a,b)內有 F'(x)04、 12 分設 f (x, y)2 2x yxy 2x y02 x2 x2y2y1證明f (x, y)在0，0點連續2求 fx(x,y), fy(x, y)3證明f (x,y)在0, 0點可微解：1令xcossin(x,yim(0,0)f(x, y)lim002 sincos (cos2sin2 )(丁

15、 sincosf(0,0)(cos2 sin22)故f (x, y)在0，0點連續。2fx(x,y)4224y(x 4x y y )/ 22、2(x y )lim f(x,0)f(0,0)x 0fy (x, y)42 24、x(x 4x y y )2?(x y)limf(0,y)f(0,0)y 02 2、2x23由于u du x y( x2y2)| x y|x2_y20 x 02y 0即f(x, y)在0, 0點可微.5、 6 分設 f (x)在a,b嚴格單調遞減,f (x)存在,f(b),f(a) ,2 2b2且 f (x) m 0,試證明 cosf(x)dx amf(a)costf(b)1

16、 f (a)證明：令f(x) t，那么由題意有bf (b)1cosf (x)dxcostdtaf f (x) costdt m f (b)1 f (a)1costdt(sin f (a) sin f (b)m f(b)m2m6 (10 分)設 y y(x) y'(0)，其中 yyex 2eysinx 7x 1解：將等式兩邊對x求導得y'y'ex yex 2ey y'sinx 2eycosx 7 2將x=0代入式解得y(0)0，再將x=0代入2得y'(0)y'(0) 2 7,y'(0)7、(10 分)(x)0打)dt在-1<x<

17、1有意義，證明(x)( x) 2 & )證明：令F(x)1(x)( x)(x )，貝U2dF(x)d (x)d (x) 1d (x2)dxdxdx2dxln(1x)ln(1x)(1) 1ln(12x2) 2xxx2x0F(x)C,即(x)(x)2 (x2)C 1將 x=0 代弋入：1C(0)(0)12(0)但(0)0.C0.(x)(x)1(x2)28、(10分)求幕級數 區¥ 的收斂域n 1 n 2解：由于lim n n 2n £ ,貝U R=2即當2 x 1 2時其絕對收斂又當x+仁2,即x=1時，原級數為丄發散n 1 n當X 12，即x3時，原級數為1收斂n 1

18、 n故原級數的收斂域為3,1)10、 10分設f(x)在0,1上可微，且滿足f(1)(0,1)內至少存在一點，使f'()f()9、7 分證明：當 x 0 時，(1 x)ln(1 x) arctanx .證明：設f(x) (1x)l n(1x) arctanx (x 0)，那么f(x)在0,)連續當x 0時,f(x) ln(1xx) 120,那么 f(x)在0,x)單調增加。那么對任意x0有 f(x)f (0)0，即(1 x)ln(1x) arctan x 0(x 0)1證明：由(1)式及積分中值定理知，存在10,丄，使,210f(1)2 1f( 1) -,f(1)1f( 1)(2)2令

19、F(x) xf(x),那么由(2)式及假設可知F(x)在1,1上滿足羅爾定理的條件，故存在(1,1)(0,1)使 f'()f()11、(10 分)求 n2xn1的收斂域，并求其和函數.n 1解:設ann2，那么由limnan 1an1)n1 n2都發散,可知n2n 1xn1的收斂域為(1,-1).x再由于0n 2tn 1dt1nnx1x2,x ( 1,1)xf(x)2 n 1 n xn 11 x(1 x)s,x(0 f(t)dt)'(1x)(1,1)12、(10 分)設 f (x)1ex ,x0,x00,試證明:f'(x)在x=0處連續.moH XmoH X_xe mo

20、H X2xex2x412 r r ex x3 一 X1_2xmoH XmoH X2-3X/V flim X0x 012e，1 r 那么 f'(x)茫e x，x 00,x0,2lim f'(x) limx 0x 0ex13、 6分證明由積分確定的連續函數零點定理：設f x在a,b上連續，假設bf x dx 0，貝U x0 a,b，使得 f x00.a證明：用反證法.假設對 x a,b , f x 0,由連續函數的零點定理可知，fxb在a,b a,b上f x 0,由定積分的性質可得f x dx 0,此與條件矛盾,于是,a必 x0a,b，使得 f x°0.a14、 10分設f x在0,a上連續，且滿足 f xdx 0.試證：0,a ,使得0.15、 12分設f在0,1上連續,在0,1內可導，且x dx 0 ,記XF x xf t dt,(1)求 F x ;(2)求證:00,1 ,使得 f x dx0解：(1) F xxf t dt xf x ;00f xdxf a t