1、2018年上海市青浦區(qū)高考數(shù)學一模試卷一.填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得分，否則一律得零分.1（4分）設(shè)全集U=Z，集合M=1，2，P=2，1，0，1，2，則PCUM 2（4分）已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則= 3（4分）不等式2（）3（x1）的解集為 4（4分）函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值為 5（4分）在平面直角坐標系xOy中，以直線y=±2x為漸近線，且經(jīng)過橢圓x2+=1右頂點的雙曲線的方程是 6（4分）將圓錐的側(cè)面展開后得到一個半徑為2的半圓，則此圓錐的體

2、積為 7（5分）設(shè)等差數(shù)列an的公差d不為0，a1=9d若ak是a1與a2k的等比中項，則k= 8（5分）已知（1+2x）6展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，系數(shù)的最大值為b，則= 9（5分）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩個點數(shù)之積不小于4的概率為 10（5分）已知函數(shù)f（x）=有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是 11（5分）已知Sn為數(shù)列an的前n項和，a1=a2=1，平面內(nèi)三個不共線的向量，滿足=（an1+an+1）+（1an），n2，nN*，若A，B，C在同一直線上，則S2018= 12（5分）已知函數(shù)f（x）=m（xm）（x+m+2）和g（x）=3x3同時滿足以下兩個條件：對任意實數(shù)

3、x都有f（x）0或g（x）0；總存在x0（，2），使f（x0）g（x0）0成立則m的取值范圍是 二.選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.13（5分）“ab”是“（）2ab”成立的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件14（5分）已知函數(shù)f（x）=2sin（x+），若對任意實數(shù)x，都有f（x1）f（x）f（x2），則|x2x1|的最小值是（）AB2C2D415（5分）已知和是互相垂直的單位向量，向量滿足：，nN*，設(shè)n為和的夾角，則（）An隨著n的增大

4、而增大Bn隨著n的增大而減小C隨著n的增大，n先增大后減小D隨著n的增大，n先減小后增大16（5分）在平面直角坐標系xOy中，已知兩圓C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又點A坐標為（3，1），M、N是C1上的動點，Q為C2上的動點，則四邊形AMQN能構(gòu)成矩形的個數(shù)為（）A0個B2個C4個D無數(shù)個三解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17（14分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中點（1）求三棱錐PABC的體積；（2）求異面直線EC和AD所成的角（結(jié)

5、果用反三角函數(shù)值表示）18（14分）已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1）過點（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點A，B，其中O為原點（1）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；（2）求證：A為線段BM的中點19（14分）如圖，某大型廠區(qū)有三個值班室A、B、C值班室A在值班室B的正北方向2千米處，值班室C在值班室B的正東方向2千米處（1）保安甲沿CA從值班室出發(fā)行至點P處，此時PC=1，求PB的距離；（2）保安甲沿CA從值班室C出發(fā)前往值班室A，保安乙沿AB從值班室A出發(fā)前往值班室B，甲乙同時出發(fā)，甲的速度為1千米/小時，乙的速

6、度為2千米/小時，若甲乙兩人通過對講機聯(lián)系，對講機在廠區(qū)內(nèi)的最大通話距離為3千米（含3千米），試問有多長時間兩人不能通話？20（16分）設(shè)集合A，B均為實數(shù)集R的子集，記A+B=a+b|aA，bB（1）已知A=0，1，2，B=1，3，試用列舉法表示A+B；（2）設(shè)a1=，當nN*且n2時，曲線+=的焦距為an，如果A=a1，a2，an，B=，設(shè)A+B中的所有元素之和為Sn，求Sn的值；（3）在（2）的條件下，對于滿足m+n=3k，且mn的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+SnSk0恒成立，求實數(shù)的最大值21（18分）對于定義在0，+）上的函數(shù)f（x），若函數(shù)y=f（x）（ax+b）滿足：在區(qū)間

7、0，+）上單調(diào)遞減，存在常數(shù)p，使其值域為（0，p，則稱函數(shù)g（x）=ax+b是函數(shù)f（x）的“逼進函數(shù)”（1）判斷函數(shù)g（x）=2x+5是不是函數(shù)f（x）=，x0，+）的“逼進函數(shù)”；（2）求證：函數(shù)g（x）=x不是函數(shù)f（x）=（）x，x0，+）的“逼進函數(shù)”（3）若g（x）=ax是函數(shù)f（x）=x+，x0，+）的“逼進函數(shù)”，求a的值2018年上海市青浦區(qū)高考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一.填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得分，否則一律得零分.1（4分）設(shè)全集U=Z，集合M=1，2，P=

8、2，1，0，1，2，則PCUM2，1，0【解答】解：CUM=2，1，0，故PCUM=2，1，0故答案為：2，1，02（4分）已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則=【解答】解：復數(shù)=，=，=，故答案為 3（4分）不等式2（）3（x1）的解集為（，2）（3，+）【解答】解：不等式2（）3（x1）化為2233x，即x24x333x，x2x60，解得x2或x3，原不等式的解集為（，2）（3，+）故答案為：（，2）（3，+）4（4分）函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值為【解答】解：函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，當2x+=2k+，kZ，即

9、x=k+，kZ，函數(shù)取得最大值1+=，故答案為：5（4分）在平面直角坐標系xOy中，以直線y=±2x為漸近線，且經(jīng)過橢圓x2+=1右頂點的雙曲線的方程是x2=1【解答】解：設(shè)以直線y=±2x為漸近線的雙曲線的方程為x2=（0），雙曲線橢圓x2+=1右頂點（1，0），1=，雙曲線方程為：x2=1故答案為：x2=16（4分）將圓錐的側(cè)面展開后得到一個半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2r=2，r=1圓錐的高h=圓錐的體積V=故答案為：7（5分）設(shè)等差數(shù)列an的公差d不為0，a1=9d若ak是a1與a2k的等比中項，則k=4【解答】解：因為ak是

10、a1與a2k的等比中項，則ak2=a1a2k，9d+（k1）d2=9d9d+（2k1）d，又d0，則k22k8=0，k=4或k=2（舍去）故答案為：48（5分）已知（1+2x）6展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，系數(shù)的最大值為b，則=12【解答】解：由題意可得a=20，再根據(jù)，解得，即r，r=4，此時b=×24=240；=12故答案為：129（5分）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩個點數(shù)之積不小于4的概率為【解答】解：同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)n=6×6=36，兩個點數(shù)之積小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），

11、共5個，兩個點數(shù)之積不小于4的概率為p=1=故答案為：10（5分）已知函數(shù)f（x）=有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是1，+）【解答】解：由題意可知：函數(shù)圖象的左半部分為單調(diào)遞增對數(shù)函數(shù)的部分，函數(shù)圖象的右半部分為開口向上的拋物線，對稱軸為x=，最多兩個零點，如上圖，要滿足題意，必須指數(shù)函數(shù)的部分向下平移到與x軸相交，由對數(shù)函數(shù)過點（1，0），故需左移至少1個單位，故a1，還需保證拋物線與x軸由兩個交點，故最低點0，解得a0或a，綜合可得：a1，故答案為：1，+）11（5分）已知Sn為數(shù)列an的前n項和，a1=a2=1，平面內(nèi)三個不共線的向量，滿足=（an1+an+1）+（1an），n2，

12、nN*，若A，B，C在同一直線上，則S2018=2【解答】解：若A，B，C三點共線，則=x+（1x），根據(jù)條件“平面內(nèi)三個不共線的向量，滿足=（an1+an+1）+（1an），n2，nN*，A，B，C在同一直線上，”得出an1+an+1+1an=1，an1+an+1=an，Sn為數(shù)列an的前n項和，a1=a2=1，數(shù)列an為：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，即數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)列，前6項為1，1，0，1，1，0，2018=6×336+2，S2018=336×（1+1+011+0）+1+1=2故答案為：212（5分）已知函數(shù)f（x）=m（xm）（x+

13、m+2）和g（x）=3x3同時滿足以下兩個條件：對任意實數(shù)x都有f（x）0或g（x）0；總存在x0（，2），使f（x0）g（x0）0成立則m的取值范圍是（3，2）【解答】解：對于g（x）=3x3，當x1時，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0f（x）=m（xm）（x+m+2）0在x1時恒成立則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口只能向下，且二次函數(shù)與x軸交點都在（1，0）的左面，即，可得3m0又x（，2），f（x）g（x）0此時g（x）=3x30恒成立f（x）=m（xm）（x+m+2）0在x（，2）有成立的可能，則只要2比x1，x2中的較小的根大即可，（i）當1m0時，較小的根為m2，m22不成立，

14、（ii）當m=1時，兩個根同為13，不成立，（iii）當3m1時，較小的根為m，即m2成立綜上可得成立時3m2故答案為：（3，2）二.選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.13（5分）“ab”是“（）2ab”成立的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件【解答】解：由（）2ab得ab，即a2+2ab+b24ab，則a22ab+b20，即（ab）20，則ab，則“ab”是“（）2ab”成立的充分不必要條件，故選：A14（5分）已知函數(shù)f（x）=2sin（x

15、+），若對任意實數(shù)x，都有f（x1）f（x）f（x2），則|x2x1|的最小值是（）AB2C2D4【解答】解：對于函數(shù)f（x）=2sin（x+），若對任意實數(shù)x，都有f（x1）f（x）f（x2），則|x2x1|的最小值為函數(shù)f（x）的半個周期，即=2，故選：C15（5分）已知和是互相垂直的單位向量，向量滿足：，nN*，設(shè)n為和的夾角，則（）An隨著n的增大而增大Bn隨著n的增大而減小C隨著n的增大，n先增大后減小D隨著n的增大，n先減小后增大【解答】解：分別以 和所在的直線為x軸，y軸建立坐標系，則=（1，0），=（0，1），設(shè)=（xn，yn），nN*，xn=n，yn=2n+1，nN*，=（n

16、，2n+1），nN*，n為和的夾角，tann=2+y=tann為減函數(shù)，n隨著n的增大而減小故選：B16（5分）在平面直角坐標系xOy中，已知兩圓C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又點A坐標為（3，1），M、N是C1上的動點，Q為C2上的動點，則四邊形AMQN能構(gòu)成矩形的個數(shù)為（）A0個B2個C4個D無數(shù)個【解答】解：如圖所示，任取圓C2上一點Q，以AQ為直徑畫圓，交圓C1與M、N兩點，則四邊形AMQN能構(gòu)成矩形，由作圖知，四邊形AMQN能構(gòu)成矩形的個數(shù)為無數(shù)個故選：D三解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17（1

17、4分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中點（1）求三棱錐PABC的體積；（2）求異面直線EC和AD所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【解答】解：（1）PA平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，SABC=1故VPABC=（2）BCAD，ECB或其補角為異面直線EC和AD所成的角，又PA平面ABCD，PABC，又BCAB，BC平面PAB，BCPB，于是在RtCEB中，BC=2，BE=PB=，tan=，異面直線EC和AD所成的角是arctan18（14分）已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1）過

18、點（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點A，B，其中O為原點（1）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；（2）求證：A為線段BM的中點【解答】解：（1）y2=2px過點P（1，1），1=2p，解得p=，y2=x，焦點坐標為（，0），準線為x=，（2）證明：設(shè)過點（0，）的直線方程為y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），直線OP為y=x，直線ON為：y=x，由題意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k1）x+=0，x1+x2=，x1x2=y1+=kx1+=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1k）2x1=2x

19、1，A為線段BM的中點19（14分）如圖，某大型廠區(qū)有三個值班室A、B、C值班室A在值班室B的正北方向2千米處，值班室C在值班室B的正東方向2千米處（1）保安甲沿CA從值班室出發(fā)行至點P處，此時PC=1，求PB的距離；（2）保安甲沿CA從值班室C出發(fā)前往值班室A，保安乙沿AB從值班室A出發(fā)前往值班室B，甲乙同時出發(fā)，甲的速度為1千米/小時，乙的速度為2千米/小時，若甲乙兩人通過對講機聯(lián)系，對講機在廠區(qū)內(nèi)的最大通話距離為3千米（含3千米），試問有多長時間兩人不能通話？【解答】解：（1）在RtABC中，AB=2，BC=2，所以C=30°，在PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2

20、=BC2+PC22BCPCcos30°=（2）2+12×2×1×=7，即BP=；（2）在RtABC中，BA=2，BC=2，AC=4，設(shè)甲出發(fā)后的時間為t小時，則由題意可知0t4，設(shè)甲在線段CA上的位置為點M，則AM=4t，當0t1時，設(shè)乙在線段AB上的位置為點Q，則AQ=2t，如圖所示，在AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4t）2+（2t）222t（4t）cos60°=7t216t+79，解得t或t，所以0t；當1t4時，乙在值班室B處，在ABM中，由余弦定理得MB2=（4t）2+422t（4t）cos60°=t26t+129，解得t3

21、或t3+，又1t4，不合題意舍去 綜上所述0t時，甲乙間的距離大于3千米，所以兩人不能通話的時間為小時20（16分）設(shè)集合A，B均為實數(shù)集R的子集，記A+B=a+b|aA，bB（1）已知A=0，1，2，B=1，3，試用列舉法表示A+B；（2）設(shè)a1=，當nN*且n2時，曲線+=的焦距為an，如果A=a1，a2，an，B=，設(shè)A+B中的所有元素之和為Sn，求Sn的值；（3）在（2）的條件下，對于滿足m+n=3k，且mn的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+SnSk0恒成立，求實數(shù)的最大值【解答】解：（1）A+B=a+b|aA，bB；當A=0，1，2，B=1，3時，A+B=1，0，1，3，4，5；（2）曲線+=，即=，在n2時表示雙曲線，故an=2=n，a1+a2+a3+an=B=，A+B中的所有元素之和為Sn=3（