1、第七章第七章 直線與圓的方程直線與圓的方程第 講（第二課時）（第二課時）1. 在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOy中，中，已知圓已知圓x2+y2-12x+32=0的圓心為的圓心為Q，過點過點P(0，2)且斜率為且斜率為k的直線與的直線與圓圓Q相交于不同的兩點相交于不同的兩點A，B.題型題型3 與圓有關的變量的取值范圍與圓有關的變量的取值范圍(1)求求k的取值范圍；的取值范圍； (2)是否存在常數是否存在常數k,使得向量使得向量 與與 共共線？如果存在線？如果存在,求求k的值；如果不存在的值；如果不存在,請說明理由請說明理由. 解：解：(1)圓的方程可寫成圓的方程可寫成(x-6)2+y2=4，

2、所以圓心為所以圓心為Q(6，0)， 過過P(0，2)且斜率為且斜率為k的直線方程為的直線方程為y=kx+2. 代入圓的方程得代入圓的方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0， 整理，得整理，得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0. 因為直線與圓交于兩個不同的點因為直線與圓交于兩個不同的點A，B，OA OB PQ 所以所以=4(k-3)2-436(1+k2)=42(-8k2-6k)0，解得解得- k0求得求得k的范圍的范圍.OAOB PQ 3434 設點設點A在直線在直線l:x+y-9=0上上,點點B、C在圓在圓M: 上上.已知已知BAC=45,圓圓心心M在線段在線段AB上上,求點求點

3、A的橫坐標的取值范圍的橫坐標的取值范圍.解：解：設點設點A(a，9-a)， 作作MNAC,垂足為垂足為N,如圖如圖. 在在RtAMN中中, 因為因為|MN|MC|， 所以所以2217( -2)( -2)2xy| |sin45MNAM2|.2AM217|,22AM 即即|AM| ，所以所以(a-2)2+(9-a)-2217，即即a2-9a+180，所以，所以a3，6.故點故點A的橫坐標的取值范圍是的橫坐標的取值范圍是3，6.172. 已知已知AOB中中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,點點P是是ABO的內切圓上一點的內切圓上一點.求以求以|PA|、|PB|、|PO|為直為直徑的三個圓面

4、積之和的最大值與最小值徑的三個圓面積之和的最大值與最小值.解法解法1：如圖所示，如圖所示， 建立直角坐標系，使建立直角坐標系，使A、B、O三點的坐標分別為三點的坐標分別為A(4,0)、B(0,3)、O(0,0).設點設點P(x，y)，內切圓的，內切圓的半徑為半徑為r，則有，則有2r+|AB|=|OA|+|OB|，所以，所以r=1. 題型題型4 以圓為背景的最值問題以圓為背景的最值問題 故內切圓的方程是故內切圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=1，化簡得化簡得x2+y2-2x-2y+1=0.又又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y

5、2-8x-6y+25.由可知，由可知，x2+y2-2y=2x-1.將其代入有將其代入有|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.因為因為x0，2，故，故|PA|2+|PB|2+|PO|2的的最大值為最大值為22，最小值為，最小值為18.所以三個圓的面積之和為所以三個圓的面積之和為 所以所求面積的最大值為所以所求面積的最大值為 最小值為最小值為 解法解法2:由解法由解法1知內切圓的方程知內切圓的方程為為(x-1)2+(y-1)2=1, 所以可設點所以可設點P(1+cos，1+sin)， 所以所以|PA|2+|PB|2+|PO|2=(1+cos)-42+(1+s

6、in)2 +(1+cos)2+(1+sin)32+(1+cos)2+(1+sin)2 =-2cos+20.222222|()()()(| ).2224PAPBPOPAPBPO11,29.2因為因為cos-1,1,得到得到|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值為的最大值為22，最小值為，最小值為18.以下同解法以下同解法1.點評：點評：與圓有關的最值問題一般是根據與圓有關的最值問題一般是根據圓的方程得出相應參數的函數式，如果函數圓的方程得出相應參數的函數式，如果函數式中含有多個變量，一般是消參，如解法式中含有多個變量，一般是消參，如解法1中中利用整體代換消去參數利用整體代換消去參數y，而解法

7、，而解法2是利用圓是利用圓的參數方程得到只含一個參數的函數式，然的參數方程得到只含一個參數的函數式，然后根據函數的最值求解方法進行求解后根據函數的最值求解方法進行求解. 已知點已知點P(x，y)是圓是圓(x+2)2+y2=1上任意一點上任意一點. (1)求點求點P到直線到直線3x+4y+12=0的距離的的距離的最大值和最小值；最大值和最小值； (2)求求x-2y的最大值和最小值；的最大值和最小值； (3)求求 的最大值和最小值的最大值和最小值. 解：解：(1)圓心圓心C(-2，0)到直線到直線3x+4y+12=0的距離為的距離為-2-1yx22|3 (-2)4 0 12|6.534 所以點所以

8、點P到直線到直線3x+4y+12=0的距離的最大的距離的最大值為值為 最小值為最小值為 (2)設設t=x-2y, 則直線則直線x-2y-t=0與圓與圓(x+2)2+y2=1有公共點有公共點,所以所以 所以所以所以所以6111,55d r 61-1.55d r 22|-2- |1,12t- 5-25-2,t maxmin5-2,-2- 5.tt(3)設設則直線則直線kx-y-k+2=0與圓與圓(x+2)2+y2=1有公共點，有公共點，所以所以 所以所以所以所以-2,-1ykx2|-32|1,1kk3- 333,44kmaxmin333- 3,.44kk 1. 在使用圓的方程時，應根據題意進行在使用圓的方程時，應根據題意進行合理選擇合理選擇.圓的標準方程，突出了圓心坐標和圓的標準方程，突出了圓心坐標和半徑，便于作圖使用半徑，便于作圖使用;圓的一般方程是二元二圓的一般方程是二元二次方程的形式，便于代數運算次方程的形式，便于代數運算;而圓的參數方而圓的參數方程在求范圍和最值時應用廣泛程在求范圍和最值時應用廣泛.因此，在選擇因此，在選擇方程形式時，應注意它們各自的特點方程形式時，應注意它們各自的特點.2. 在討論含有字母參變量的圓的方在討論含有字母參變量的圓的方程問題時，始終要把程問題時，始終要把