1、第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換 3.1 系統數學模型及其轉換系統數學模型及其轉換 3.2 系統模型的連接系統模型的連接 3.3 狀態空間模型實現狀態空間模型實現 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3.13.1系統數學模型及其轉換系統數學模型及其轉換 3.1.13.1.1系統的時域模型系統的時域模型常微分方程是控制系統模型的基本形式之一。般來講，利用機械學、電學、流體力學和熱力學等物理規律，便可以得到控制系統的動態方程，這些方程通常用常系數線性微分方程來描述。通過拉普拉斯變換和反變換，可以得到線性時不變方程的解

2、析解，也可以用狀態方程轉換矩陣(t)求解。這些分析方法通常只限于常系數的線性微分方程。解析解是精確的，然而通常尋找解析解是很困難的，甚至不太可能，而數值分析方法直接在時域求解微分方程，不僅適用于線性時不變方程，也適用于非線性以及時變微分方程。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換MATLAB提供了兩個求解微分方程數值解的函數，它們采用龍格庫塔法。ode23()和ode45()分別表示采用2階和4階龍格庫塔公式，后者具有更高的精度。連續時間系統用微分方程描述。對于單輸入單輸出(SISO)系統，其微分方程的一般形式為 )()()()()()(0)1(1)(0)1(1)(tubtubt

3、ubtyatyatyammmmnnnn其中，y和u分別為系統的輸出與輸入，和分別表示輸出和輸入各導數項系數。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換離散時間系統用差分方程描述。其差分方程的一般形式為 )() 1() 1()()() 1() 1()(011011kTufTkufTmkufTmkufkTygTkygTnkygTnkygmmnn其中，y和u分別為系統的輸出和輸入，和分別為輸出、輸入各項系數。若式(3-1)和式(3-2)的輸入和輸出各項系數為常數，則它們所描述的系統稱為線性時不變系統(LTI)。MATLAB控制工具箱對LTI線性時不變系統的建模分析和設計提供大量完善的工具函

4、數。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3.1.23.1.2系統的傳遞函數模型系統的傳遞函數模型傳遞函數是經典控制論描述系統數學模型的一種方法，它表達了系統輸入量和輸出量之間的關系。它只和系統本身的結構、特性和參數有關。而與輸入量的變化無關。傳遞函數是研究線性系統動態響應和性能的重要工具。線性時不變系統的傳遞函數定義為，在零初始條件下系統輸出量的拉普拉斯變換函數與輸入量的拉普拉斯變換函數之比。盡管傳遞函數只能用于線性系統，但它比微分方程提供了更為直觀的信息。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換若令傳遞函數的分母多項式等于0，便得到特征方程。特征方程的根是系統的極

5、點，而分子多項式的零解為系統零點。傳遞函數也可由常數項與系統的零、極點來確定，常數項通常記作k，是系統的增益。利用傳遞函數，便可以方便地研究系統參數的變化對響應的影響，通過拉普拉斯反變換可以得到系統的時域響應，通常需要用有理函數的部分分式展開。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換對于一個單輸入單輸出連續系統，系統相應的微分方程如式(31)所示。對此微分方程作拉普拉斯變換，則該連續系統的傳遞函數為線性定常系統的傳遞函數，傳遞函數G(s)一般表示為 mnasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm01110111)()()(（33） 其中令 0111)(bsbsbsbs

6、Bmmmm0111)(asasasasAnnnn分別為分子多項式與分母多項式。bj(j0，1，2，,m)和ai(i0，1，2，,n)均為常系數。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換由于用jb，j0，l，2， ，m，和ia，i0，1，2， ，n可以唯一地確定一個系統，因此在 MATLAB 中可以用向量 nummb，1mb， 1b，0b和 denna，1na， 1a，0a來表示傳遞函數)(sG的多項式模型。 在MATLAB中，用函數TF（TransferFunction）可以建立一個連續系統傳遞函數模型，其調用格式為sys=tf(num,den)其中，num為傳遞函數分子系數向量，

7、den為傳遞函數分母系數向量。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換對于單輸入單輸出離散時間系統，對式(32)進行Z變換，則可得到該離散系統的脈沖傳遞函數(或z傳遞函數)： 011011)()()(gzgzgfzfzfzUzYzGnnnnmmmm（34） 其中，對線性時不變離散系統來講，式（34）中fi和gi均為常數。在MATLAB中，可用函數多項式模型來建立系統函數模型，調用格式為：sys=tf(num,den,Ts)其中，num為z傳遞函數分子系數向量，den為z傳遞函數分母系數向量，Ts為采樣周期。第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3.1.33.1.3系統的

8、狀態空間模型系統的狀態空間模型微分方程和傳遞函數均是描述系統性能的數學模型，它只能反映出系統輸入和輸出之間的對應關系，通常稱之為外部模型。而在系統仿真時，常常要考慮到系統中各變量的初始狀態，這樣就要用到系統的內部模型狀態變量描述。給定一個線性連續系統，其微分方程描述為 uyadtdyadtydadtydnnnnnn1111（35） 式中：u為系統的輸入量；y為輸出量。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換現引入n個狀態變量，即x1,x2,，xn,各個狀態變量的一階導數與狀態變量和式(35)原始方程中的各導數項的對應關系 nxxxx21為系統狀態變量矩陣。 第第3 3章控制系統模型

9、及轉換章控制系統模型及轉換nxxxx21為狀態變量的一階導數矩陣。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換udtydadtydadtdyayadtydxxdtydxxdtydxxdtdyxxyxnnnnnnnnnnnnn111222111112232211第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換將上述n個一階微分方程組成矩陣形式，可以表示為 uxxxaaaaxxxnnnnn100010000102112121nxxxy21001第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換12101000010aaaaAnnn為狀態變量系數矩陣。 100B為輸入變量系數矩陣。 第第3

10、 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換對一特定系統(可以是線性或非線性的、定常或時變的)，當引入n個狀態變量時，將其化為n個一階微分方程組的形式，再對其采用矩陣描述，可以得到： DuCxyByAxx（38） 式中：x為狀態向量，u為輸入向量，y為輸出向量；A為狀態變量系數矩陣，簡稱為系統矩陣；B為輸入變量系數矩陣,簡稱為輸入矩陣；C為輸出變量系數矩陣,簡稱為輸出矩陣；D為輸出變量系數矩陣，簡稱為直接傳遞矩陣。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換ByAxx系統的狀態方程 DuCxy系統的輸出方程 兩者組合后稱為系統的狀態空間描述。在MATLAB中，用函數ss可以建立一個連續

11、系統狀態空間模型，調用格式為：sys=ss(A,B,C,D)其中，A,B,C,D為系統狀態方程系數矩陣。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換對于離散時間系統而言，狀態空間模型可以寫成： ) 1() 1() 1()()() 1(kDUkCXkYkGUkFXkX（39） 在MATLAB中，用函數ss也可以建立一個離散時間系統的傳遞函數模型，其調用格式為sys=ss(F,G,C,D,Ts)其中，F,G,C,D為離散系統狀態方程系數矩陣；Ts為采樣周期。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換【例3.1】線性系統的狀態變量方程為 2121212121212001313002

12、103210uuxxyyuuxxxx其各個系數矩陣分別為 。；2001313002103210dcba第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換【例3.2】寫出下列系統的狀態變量方程在MATLAB中的矩陣表示： xyuxx220812000122426414131251197486123109611413125119748612310961A第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換01224264B22081200C)2, 2(zerosD第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3.1.43.1.4系統模型的其他形式系統模型的其他形式1 1系統的零極點增益模型系統的

13、零極點增益模型零極點模型（ZP，ZeroPole）實際上是傳遞函數模型的另一種形式，其方法是對原系統傳遞函數的分子和分母多項式進行分解，以獲得系統的零極點表達形式。對于單輸入單輸出連續系統來講，其零極點模型為 )()()()()(2121nmpspspszszszsKsG（310） 式中，zi(i1，2，m)和pj(j1，2，n)分別為系統的零點和極點，K為系統增益。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換在MATLAB中，可以用函數zpk來直接建立連續系統的零極點增益模型，其調用格式為sys=zpk(z,p,k)其中，z、p、k分別為系統的零點向量、極點向量和增益。對于離散時間系

14、統，也可以用函數zpk建立零極點增益模型，其調用格式為sys=zpk(z,p,k,Ts)其中，Ts為采樣周期。同時，MATLAB提供了多項式求根函數roots來求系統的零極點，調用格式為z=roots(num)或p=roots(den)其中，num、den分別為傳遞函數模型的分子和分母多項式系數向量。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換圖31傳遞函數的零、極點分布圖 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換 圖31中系統的傳遞函數為 )22)(3(2)()()(2sssssRsCsG可見，系統傳遞函數的零點為s=-2，傳遞函數的極點分別為s1=-3,s2,3=1j。對

15、于多輸入多輸出系統，函數zpk也可建立其零極點增益模型，調用格式與單輸入單輸出系統相同，但z，p，k不再是一維向量，而是矩陣。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換2 2傳遞函數的部分分式展開傳遞函數的部分分式展開控制系統中常用到并聯系統,這時就要對系統函數進行分解，使其表現為一些基本控制單元的和的形式。在MATLAB中經常用到函數z,p,k=residue(num,den)對兩個多項式的比進行部分展開或把傳遞函數分解為微分單元的形式，其中b和a是按照s降冪排列的多項式的系數。部分分式展開后，余數返回到向量r，極點返回到列向量p，常數項返回到k。通過num，den=residue

16、(z,p,k)可以將部分分式轉化為多項式的比p(s)/q(s)的形式。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換【例3.3】求下列傳遞函數的MATLAB描述：(1） 22642202412)(23423sssssssG在MATLAB中，該傳遞函數可以用如下的語句來描述：num=12,24,0,20；den=24622。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換(2） )523() 1()66)(2(4)(23322sssssssssG在MATLAB中，也可以借助多項式乘法函數conv來描述傳遞函數，例如該傳遞函數可以用如下的語句來描述：num=4*conv(1,2,conv

17、(1,6,6,1,6,6)；den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5)； 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換【例3.4】求下列傳遞函數的零極點增益模型。 )50874593011)(23423ssssssssGnum=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50;z,p,k=tf2zp(num,den)z=0-6-5p=-3.0000+4.0000j-3.0000-4.0000j-2.0000-1.0000k=1 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換結果表達式為 )43)(43)(2)(1()5)(6(

18、)(jsjsssssssG第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換【例3.5】求下列傳遞函數的部分分式展開式。 44192)(233ssssssGnum=2,0,9,1;den=1,1,4,4;z ,p ,k=residue(num,den)z = 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換p = 0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000k =2結果表達式： 12225. 0225. 02)(sisiisisG第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換【例3.

19、6】已知控制系統的傳遞函數，求其部分分式展開式。(1） 611622)(232ssssssGnum=1,2,2;den=1,6,11,6;z,p,k=residue(num,den);z,p 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換ans=2.5000-3.0000-2.0000-2.00000.5000-1.0000則部分分式分解結果為 15 . 02235 . 2)(ssssG第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換(2）已知傳遞函數 )523)(1()66)(2(4)(2322sssssssssGnum=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den

20、=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);z,p,k=residue(num,den) 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換z=-0.1633-13.5023+7.6417j-13.5023-7.6417j-30.4320-8.1600-0.800057.6000p=-2.9042-0.0479+1.3112j-0.0479-1.3112j-1.0000-1.0000-1.00000k=0 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換則部分分式分解結果為 ssssisiisissG6000.570000. 18000. 00

21、000. 11600. 80000. 14320.303112. 10479. 06417. 75023.133112. 10479. 06417. 75023.139042. 21633. 0)(第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3 3頻率響應數據模型頻率響應數據模型傳遞函數模型（FRD,FrequencyResponseData）中的復變量s用復頻率j代替，就得到頻率響應數據模型： )()()()()()()(2121nmpjpjpjzjzjzjkjGjGjG（311） 式中，系統的頻率響應數據是復數，可用responseg1，g2，gk 輸入；對應的頻率用freq1，2，

22、,k輸入，兩者應有相同的列數。得到的頻率響應數據模型用：Gfrd(response，freq)表示。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3.1.5典型環節及其傳遞函數典型環節及其傳遞函數 1 1比例環節比例環節比例環節也稱為放大環節，其特點是環節的輸出量與輸入量成正比。比例環節的運動方程為 ( )( )y tkr t（312） 其傳遞函數為 ( )( )( )Y sG skR s（313） 式中，K為放大系數。第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換2 2慣性環節慣性環節慣性環節的運動方程為 ( )( )( )dy tTy tkr tdt其傳遞函數為 1)(TsksG

23、（314） （315） 式中，K為傳遞系數，T為慣性時間常數。慣性環節的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時間上的延遲，慣性越大，延遲時間越長，時間常數T也越大。例如RC電路，直流電機的激磁電路等都是慣性環節。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3 3一階微分環節一階微分環節一階微分環節的運動方程為 ( )( )( )dr ty tr tdt（316） 其傳遞函數為 1)( ssG（317） 其中,為微分時間常數。在暫態過程中，一階微分環節的輸出量是輸入量的微分。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換4 4積分環節積分環節積分環節的運動方程為 ( )( )y t

24、k r t dt其傳遞函數為 ( )1( )( )Y skG sR ssTs（318） （319） 式中，T為積分時間常數， kT1第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換從傳遞函數中可以看出，積分環節有一個極點在s平面的原點，一般用來改善系統的穩態性能。 )()()(tUtUdttdURCrcc（320） 其傳遞函數為 TsRCsRCssUsUsGrc1111)()()(（321） 式中,T為積分時間常數:T=RC。該電路相當于慣性環節，只有當T=RC1時才可以得到近似的積分環節。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換5 5振蕩環節振蕩環節振蕩環節的微分方程為 222

25、( )( )2( )( )d y tdy tTTy tkr tdtdt(322) 式中,T為時間常數，為阻尼系數，也稱為阻尼比。 傳遞函數為 22222( )( )( )212nnnY skG sR sT sTsss（323） 式中,n為無阻尼自然振蕩頻率， 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換6 6延遲環節延遲環節延遲環節的特點是具有時間上的延遲效應，當輸入量作用后，在給定一段時間之前，延遲環節的輸出量一直未變化，只有到達延遲時間以后，環節的輸出量才能無偏差地復現原信號。其微分方程為 ( )()y tr tt（324） 延遲環節的傳遞函數為 ( )( )( )nY sG seR

26、 s（325） 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換若系統中含有延遲環節，對系統的穩定性是不利的。在實際應用中，可控硅整流器可以視為一個延遲環節，整流電壓與控制角之間存在失控時間。通過上述分析，我們要明確以下幾點：(1)系統的典型環節是按照數學模型的共性來建立的，它與系統中使用的元部件不是一一對應的，一個系統可能是一個典型環節，也可能是由幾個典型環節組合而成的。(2)按照數學模型對元部件和系統進行分類可產生出若干典型環節，有助于系統動態特性的研究和分析。(3)典型環節的概念只適用于能夠用線性定常系統來描述的場合。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3.1.63.1

27、.6自動控制系統的傳遞函數自動控制系統的傳遞函數如圖32所示的閉環控制系統，采用疊加原理可分別求出在輸入信號和擾動信號作用下的系統各類傳遞函數。 圖32閉環控制系統典型結構圖 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換1 1系統開環傳遞函數系統開環傳遞函數閉環系統在開環狀態下的傳遞函數稱為系統的開環傳遞函數，是指當系統主反饋通路斷開以后，反饋信號B(s)與輸入信號及R(s)之間的傳遞函數，該函數可表示為 )()()()()()(21sHsGsGsRsYsG（326） 從上式可以看出，系統開環傳遞函數等于前向通道的傳遞函數與反饋通道的傳遞函數之積。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系

28、統模型及轉換2 2輸入信號作用下的系統閉環傳遞函數輸入信號作用下的系統閉環傳遞函數令干擾信號N(s)0，系統輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之間的傳遞函數即為輸入信號作用下的系統閉環傳遞函數，表示為 1212( )( )( )( )( )( )1( )( )( )G s G s H sY ssR sG s G s H s（327)第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3.3.干擾信號作用下的系統閉環傳遞函數干擾信號作用下的系統閉環傳遞函數令輸入信號R(s)=0,系統輸出信號C(s)與干擾信號R(s)之間的傳遞函數即為干擾信號作用下的系統閉環傳遞函數，表示為 212( )( )(

29、)( )1( )( )( )nG sY ssN sG s G s H s（328) 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換4 4閉環系統的誤差傳遞函數閉環系統的誤差傳遞函數（1）輸入信號作用下的誤差傳遞函數。令干擾信號N(s)0，以量E(s)為輸出信號，與輸入信號R(s)之間的傳遞函數即為輸入信號作用下的系統誤差傳遞函數，表示為 )()()(11)()()(21sHsGsGsRsEse（329) （2）干擾信號作用下的誤差傳遞函數。令輸入信號R(s)=0，以E(s)為輸出信號，與干擾信號N(s)之間的傳遞函數即為干擾信號作用下的系統誤差傳遞函數，表示為 )()()(1)()()()

30、()(212sHsGsGsHsGsNsEsen（330) 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換5 5系統的總輸出系統的總輸出在輸入信號和干擾信號的共同作用下，系統的總輸出可以采用疊加原理求得。由式（329）和式（330）組合可得系統的總輸出為 221212( )( )( )( )( )( )1( )( )( )1( )( )( )G s H sG sY sR sN sG s G s H sG s G s H s（331） 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3.1.73.1.7系統的模型轉換系統的模型轉換在實際工程中，由于要解決自動控制問題所需要的數學模型，而該數學

31、模型與該問題所給定的已知數學模型往往是不一致的，此時，就需要對控制系統的數學模型進行轉換,即將給定模型轉換為仿真程序能夠處理的模型形式。通常，系統的微分方程作為描述動態性能的基本形式，當作為共性的內容進行分析時，又常常將其轉換為傳遞函數形式，而在計算機中，利用系統的狀態空間描述最方便。所以，討論系統數學模型之間的轉換具有實際的指導意義。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換描述控制系統的數學模型主要有傳遞函數模型、零極點模型、部分分式模型和狀態空間模型等，而這些模型之間又有著某種內在的等效關系。在一些場合下需要用到其中的一種模型，而在另一場合下可能又需要另外的模型，例如想獲得系統

32、的根軌跡圖形時往往需要已知系統的傳遞函數模型，而在二次型指標的最優設計中往往又需要知道系統的狀態方程模型，所以討論由一種模型到另外一種模型的轉換方法是很有必要的。MATLAB提供了一個對不同控制系統的模型描述進行轉換的函數集，如表3.1所示，其中一些在前面已經介紹過。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換表表3.1模型轉換函數及說明模型轉換函數及說明 函數 說明 residue 由傳遞函數形式轉化為部分分式形式 ss2tf 由狀態空間形式轉化為傳遞函數形式 ss2zp 由狀態空間形式轉化為零極點形式 tf2ss 由傳遞函數形式轉化為狀態空間形式 tf2zp 由傳遞函數形式轉化為零

33、極點形式 zp2ss 由零極點形式轉化為狀態空間形式 zp2tf 由零極點形式轉化為傳遞函數形式 c2d 將狀態空間模型由連續形式轉化為離散形式 c2dm 連續形式到離散形式的轉換（可選用不同的方法） c2dt 連續形式到離散形式的對輸入純時間延遲轉換 d2c 將狀態空間模型由離散到連續的轉換 d2cm 離散形式到連續形式的方法轉換（可選用不同的方法） 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換圖33連續與離散系統的轉換 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換如圖所示，tf、zpk和ss模型可相互轉換，它們也可以轉換成FRD模型。FRD模型不能直接轉換成tf、zpk和ss模

34、型，但是，FRD模型可由其他3種類型的模型轉換得到。連續模型和離散模型之間也可以相互轉換。與上述模型轉換相似，連續和離散模型之間的轉換如圖33所示。在MATLAB中，進行模型轉換的函數有兩類，其一就是出現在早期版本中的tf2ss、ss2tf等轉換函數，如圖34所示，這些函數在新版本中還可以繼續使用；其二是在新版本中出現的統一轉換函數，它與模型建立函數有相同的函數名。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換圖34模型轉換 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換1 1轉換成轉換成tftf模型的轉換函數模型的轉換函數tftf()()tf函數能用于建立tf模型，也能用于將ss模

35、型和zpk模型轉換成tf模型。建立tf模型的函數格式已在前面說明，當用于模型轉換時，函數格式是：m=tf(sys)式中，sys是ss模型或zpk模型，m是轉換后對應的tf模型。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換【例3.7】STHT將狀態空間模型轉換為傳遞函數模型。A=01-1;-6-116;-6-115;B=001;C=100;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D)num=0.0000-1.0000-5.0000den=1.00006.000011.00006.0000第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換從計算結果可以看出，該系統的傳遞函數模型為6

36、1165)(23sssssG第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換2 2轉換成轉換成zpkzpk模型的轉換函數模型的轉換函數zpkzpk()()zpk函數能用于建立zpk模型，也能用于將tf模型和ss模型轉換成zpk模型。轉換的函數格式為m=zpk(sys)式中，sys是tf或ss模型，m是對應的zpk模型。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換【例3.8】已知二輸入二輸出系統的狀態空間模型如下： 2002,010001,011000,51166116110DCBA求其零極點模型。A=0 1 0; -6 -11 6; -6 -11 5;B=0 0; 0 1; l 0;

37、C=1 0 0; 0 1 0D2 0; 0 2; z,P,kss2zp(A,B,C,D,1) 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換從上面的結果既可以得出四個傳遞函數，限于篇幅，這里只列出其中的一個傳遞函數，其余的請讀者自行列出。 )3)(2(6)3)(2)(1() 1(6)()()(1221sssssssusysG從計算結果可以看出，該傳遞函數的一個極點和一個零點對消，從而使傳遞函數G21（s）降為兩階。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3 3轉換成轉換成ssss模型的轉換函數模型的轉換函數ssss()()ss函數能用于建立ss模型，也能用于將tf模型和zpk模

38、型轉換成ss模型。轉換的函數格式為 ss(sys)m 式中，sys是tf或zpk模型，m是對應的ss模型。由傳遞函數模型求狀態空間模型時，應注意到這種轉換不是唯一的，傳遞函數只描述系統輸入與輸出關系，被稱為系統的外部描述形式，而狀態空間表達式描述系統輸入、輸出和狀態之間的關系，被稱為系統的內部描述形式。由傳遞函數求狀態空間表達式時，若狀態變量選擇不同，狀態空間形式也不同。由傳遞函數模型求取系統狀態空間模型的過程又稱為系統狀態空間實現，但系統實現不是唯一的。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換由于使用的狀態變量不同，轉換后的ss模型也就不同，因此，用ss函數轉換的ss模型是其中的

39、一種實現。最小實現的轉換格式是：m=ss(sys,min) 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換【例3.9】將傳遞函數模型轉換為狀態空間模型。num=0010;den=11456160;A,B,C,D=tf2ss(num,den)運行后結果如下：A=-14-56-160100010B=100C=010D=0 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換4 4轉換成轉換成frdfrd模型的轉換函數模型的轉換函數frdfrd()()frd函數能用于建立frd模型，也能用于將tf模型、zpk模型轉換成frd模型。轉換的函數格式為m=frd(sys,freq，units，units

40、)式中，sys可以是tf模型、zpk模型或ss模型，freq是frd模型所需的頻率，units是頻率的單位，可以是“rads”或“Hz”，頻率單位缺省的約定值是“rads”。需要注意的是：frd模型可由其他3類模型轉換得到，但不能將frd模型轉換成其他類型的模型。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換5 5狀態空間描述到傳遞函數形式的轉換狀態空間描述到傳遞函數形式的轉換ss2tf()ss2tf()轉換的函數格式為numden=ss2tf(A，B，C，D，iu)其中A，D，C，D為系統矩陣，iu指定第幾個輸入，返回結果den為傳遞函數的分母多項式的系數，按s的降冪排列，傳遞函數分子

41、系數則包含在矩陣num中，num的行數與輸出y的維數已知，每列對應一個輸出。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換注：在系統本身就只有一個輸入的情況下，在引用函數ss2tf()時，可以缺省而不寫參數iu。對多輸入的系統，必須具體指定iu。例如，如果系統有3個輸入（u1，u2，u3），則iu必須為1、2或3中的一個，其中1表示u1，2表示u2，3表示u3。這種用法在ss2zp（）中也適用。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換6 6狀態空間形式轉換為零極點增益形式狀態空間形式轉換為零極點增益形式ss2zp()ss2zp()轉換的函數格式為z，p，kss2zp(A，B，

42、C，D，iu)其中，A，B，C，D為系統矩陣，iu指定第幾個輸入，列向量p包含傳遞函數的極點，而零點則存儲在矩陣z的列中，z的列數等于輸出向量y的維數，每列對應一個輸出的零點，對應增益則在列向量k中。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換7 7傳遞函數形式轉換為狀態空間形式傳遞函數形式轉換為狀態空間形式tf2ss()tf2ss()轉換的函數格式為A，B，C，Dtf2ss(num，den)其中，向量den為H(s)的分母多項式的系數，按s的降冪排列。num對應為一個矩陣，每行對應一個輸出的分子系數，其行數等于輸出的個數。返回結果A，B，C，D以可控標準型的形式給出。應著重強調，任何

43、系統的狀態空間表達式都不是唯一的。對于同一系統，可有許多個（無窮多個）狀態空間表達式。上述MATLAB命令僅給出了一種可能的狀態空間表達式。第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換【例3.10】考慮由下式定義的系統： 21212121212100001001101142510uuxxyyuuxxxx該系統有兩個輸入和兩個輸出，包括 4 個傳遞函數：11( )/( )Y sU s、21( )/( )Y sU s、12( )/( )Y sUs和22( )/( )Y sUs（當考慮輸入 u1時，可設 u2為零。反之亦然），MATLAB 程序為： 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型

44、及轉換A=0 1; -25 -4;B=1 1; 01;C=1 0; 0 1;D=0 0; 0 0;num,den=ss2tf(A,B,C,D,1)num = 0 14 0 0-25den= 1 4 25 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換num,den=ss2tf(A,B,C,D,2) num = 01.0000 5.0000 01.0000 -25.000den= 1 4254個傳遞函數的表達式為： 254225)()(,2545)()(,25425)()(,2544)()(22221212211ssssUsYssssUsYsssUsYssssUsY第第3 3章控制系統模型及

45、轉換章控制系統模型及轉換在系統分析中，有時不僅需要知道建立的系統模型的參數值，而且要實現運算、賦值等操作，因此要獲取模型參數的數值。為此，MATLAB提供了專用函數TFDATA，ZPKDATA和SSDATA。對于連續時間系統，調用格式為： num，dentfdata(sys,v)； z,p,kzpkdata(sys，v) ；A,B,C,Dssdata(sys)； 對于離散時間系統，調用格式為：num，dentfdata(sys,v)；z,p,k，Tszpkdata(sys，v)；A,B,C,D，Tsssdata(sys)； 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3.1.83.1.8

46、復雜模型的處理方法復雜模型的處理方法1 1系統的降階實現系統的降階實現在控制系統的研究中，模型的降階技術是簡化系統分析的重要手段，其降階實質就是由相對低階的模型盡可能近似成一個高階原系統，從而使高階模型可以按照低階的仿真與設計方法加以進行。在MATLAB中，為用戶提供了實現系統降階處理的專用函數有modred。其基本格式為RSYS=modred(sys,ELIM)RSYS=modred(sys,ELIM,mdc)RSYS=modred(sys,ELIM,del)其中，ELIM為待消去的狀態；mdc表示在降階中保證增益的匹配；del所示在降階中不能保證增益的匹配。 第第3 3章控制系統模型及轉換

47、章控制系統模型及轉換【例3.11】已知系統的傳遞函數為： 34338013620180)(234sssssG應用modred函數進行降價處理，保留前兩個狀態，降為二階系統。解：解：先構造modred所需要的函數，再進行降價處理。 num = 180;den = 1 20 136 380 343;a,b,c,d = tf2ss(num,den);sys=ss(a,b,c,d); sysm=modred(sys,3:4,del) 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換執行上述語句得到系統降階后的結果為 a=x1x2x1-20.00000-136.00000 x21.000000b=u1

48、x11.00000 x20c=x1x2y100d=u1y10 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換顯然在直接利用modred函數進行系統降階處理時具有一定的盲目性，為此往往將balreal函數與modred函數相結合加以使用。由balreal函數先進行均衡變換，依據Gram陣確定對系統影響較小的狀態，再應用modred函數求出降階后的系統。在MATLAB中還給出最小實現函數minreal,它的基本格式為Am，Bm，Cm，Dmminreal(A,B,C,D)numm，denm=minreal(num,den)該函數表達式消去了不必要的狀態，從而得到系統的最小實現。有關它的具體應用可

49、參見相關幫助文件，在此不再詳述。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換2.2.隨機隨機n n階系統的模型建立階系統的模型建立MATLAB為用戶提供了建立隨機n階系統模型的函數，其基本格式為：num，denrmodel(n)num，denrmodel(n，p)num，dendrmodel(n)num，dendrmodel(n，p)AB，C，Drmodel(n)A，B，C，Drmodel(n，p，m)A，B，C，Ddrmodel(n)A，B，C，Ddrmodel(n，p，m) 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換其中，ZK(num，denrmodel(n)可以隨機生成n

50、階穩定傳遞函數模型。num，denrmodel(n，p)可以隨機生成單輸入p輸出的n階穩定傳遞函數模型。A，B，C,Drmodel(n)可以隨機生成n階穩定單輸入單輸出狀態方程模型。A，B，C,Drmodel(n,p,m)可以隨機生成n階穩定p輸出m輸入狀態空間模型。drmodel(n)函數將生成相應的離散模型。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3.2系統模型的連接系統模型的連接 在一般情況下，控制系統常常是由許多環節或子系統按一定方式連接起來組合而成的，它們之間連接方式有串聯、并聯、反饋、附加等。要對各種連接模式下的系統進行分析，就需要對系統的模型進行適當的處理。MATLA

51、B控制系統工具箱中提供有大量的對控制系統的簡單模型進行連接的函數，如表3.2所示。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換表表3.2模型連接函數模型連接函數 函數名 功能 series() 系統的串聯連接 parallel() 系統的并聯連接 feedback() 系統地反饋連接 cloop() 單位反饋連接 augstate() 將狀態增廣到狀態空間系統的輸出中 append() 兩個狀態空間系統的組合 connect() 對分塊對角的狀態空間形式按指定方式進行連接 blkbuild() 把用方塊圖表示的系統轉化為分塊對角的狀態空間形式 ssselect() 從狀態空間系統中選擇

52、一個子系統 ssdelete() 從狀態空間系統中刪除輸入或輸出狀態 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3.2.13.2.1模型串聯模型串聯函數series用于兩個線性模型串聯，調用格式為sys=series(sys1,sys2)其中，sys1，sys2和sys如圖35所示。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換圖35單輸入單輸出模型 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換1 1兩個單輸入單輸出系統的級兩個單輸入單輸出系統的級( (串串) )聯聯利用series()函數將兩個狀態空間形式表示的系統進行級(串)聯；其用法為A，B，C，Dseries(A1

53、，B1，C1，D1，A2，B2，C2，D2)即將第一個子系統的輸出連接到第二個子系統的輸入。第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換【例3.12】兩個系統如下所示： 111111212111112212112222212222030311132231140242xxuxxxyuxxxuxxxyux 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換將這兩個系統級聯，求其狀態方程。a1=03;-3-1;b1=01;c1=13;d1=2;a2=23;-14;b2=10;c2=24;d2=1;a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) 第第3 3章控制系

54、統模型及轉換章控制系統模型及轉換得到整體狀態方程模型為a=2313-1 4000 0030 0 -3-1b=2 0 0 1c=2413d=2該函數的執行結果等價于模型算術運算式：sys3=sys1sys2 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換 2 2兩個多輸入多輸出系統的級兩個多輸入多輸出系統的級( (串串) )聯聯對于多輸入多輸出系統，函數series的調用格式為sys=series(sys1,sys2,out1,in2)該函數在執行系統sys1和系統sys2串聯時，將系統sys1的輸出端1和系統sys2的輸入端2連接，如圖36所示。系統端口名稱可用函數SET設置。 圖36是一

55、般情況下模型串聯連接的結構圖。圖中，模型G1的部分輸出y1與模型G2的部分輸入u2組成串聯連接。G1和G2是線性時不變系統模型。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換圖36多輸入多輸出模型串聯 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換 串聯連接后的系統有兩個輸入u1和u2，和兩個輸出z1和y2。而連接關系應滿足G1輸出yl和G2輸入u2有相同的個數。串聯連接時采用：G=G2（:,u2）*G1（y1,:）狀態空間模型GlA1，Bl，Cl，D1和G2A2，B2，C2，D2串聯連接時，得到G： 1121221212210;ABABCD CCDD DB CAB D第第3 3章控

56、制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換在串聯連接時，應注意下列事項： （1）SISO系統的串聯連接次序不同時，所得到狀態空間模型系數不同，但這兩個系統的輸出響應是相同的，可以通過將G和GG轉換為zpk模型或tf模型來驗證； （2）串聯連接后，合成的模型是LTI的某類模型； （3）MIMO系統的串聯連接時，可采用部分信號串聯連接，采用函數是series；可以用simulink建立模型，然后用模型分析操作命令得到合成的系統模型。 （4）串聯連接的結果也可以用其他方法得到。例如采用多項式卷積，用conv、conv2等函數來得到兩個多項式相乘后的多項式系數。此外，也可以用符號函數進行計算。 第第3 3章

57、控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換已知： 2132( )234sG ssss21.2( )(1)(3)G sss求其串聯連接所組成的系統。 ，G1=tf(12,1,2,3,4);G2=zpk(,-1,-3,1.2);den=conv(conv(1234,11),13);num=1.212;G=tf(num,den)symssnum1=sym2poly(collect(1.2(s+2);den1=sym2poly(collect(s3+2s2+3s+4)(s+1)(s+3);GS=tf(num1,den1)GG=tf(G1*G2) 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換3.2.2

58、3.2.2模型并聯模型并聯函數parallel用于兩個模型并聯，調用格式為：sys=parallel(sys1,sys2)其中，sys1，sys2和sys如圖37所示。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換圖37單輸入單輸出模型并聯 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換該函數執行結果等價于模型算術運算式：sys=sys1+sys2對于多輸入多輸出系統，函數parallel的調用格式為sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)函數執行sys1和sys2并聯時，將sys1的輸入端in1和sys2的輸入端in2連接，sys1的輸出端

59、outl和sys2的輸出端out2連接，如圖38所示。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換圖38多輸入多輸出模型并聯 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換parallel()函數按并聯連接兩個狀態空間系統，它既適合于連續時間系統，也適合于離散時間系統。parallel()的用法如下：A，B，C，D=parallel(A1，B1，C1，D1,A2，B2，C2，D2)；A，B，C，D=parallel(A1，B1，C1,D1，A2,B2，C2，D2，in1，in2,out1，out2)num,den=parallel(num1，den1，num2，den2)A，B，C

60、，D=parallel(A1，B1，C1，D1，A2，B2，C2，D2)，可得到由系統1和系統2并聯連接的狀態空間表示的系統，其輸出為yy1+y2，其輸入連接在一起作為系統輸入。 第第3 3章控制系統模型及轉換章控制系統模型及轉換num，den=parallel(num1，den1，num2，den2)，可得到并聯連接的傳遞函數表示系統，其結果為 12( )1( )2( )2( )1( )( )( )( )1( )2( )num snum s densnums den sg sgsden sden s densA，B，C，Dparallel(A1，B1，C1，D1，A2，B2，C2，D2，in