1、主講教師：孫 雷宗 智B3.1 微分形式的連續性方程微分形式的連續性方程B3.2 作用在流體微元上的力作用在流體微元上的力B3.3 微分形式的動量方程微分形式的動量方程B3.4 納維納維- -斯托克斯（斯托克斯（N-SN-S）方程）方程B3.5 邊界條件和初始條件邊界條件和初始條件B3.6 壓強場壓強場B3 微分形式的基本方程B3 微分形式的基本方程微分形式的基本方程本章討論流體力學三要素中第三要素“力”。 微分形式的流體力學基本方程描述空間點鄰域內的物理量關系，求解這些方程可得到物理量在空間分布的細節p主要內容：微分形式的連續性方程和動量方程；作用在流體微元上的體積力和表面力；重力場、應力場

2、、壓強場；邊界條件和初始條件等。重點：（1）不可壓縮流體連續性方程； （2）納維-斯托克斯方程； （3）壓強的表達方式和單位； （4）靜止和運動流體中壓強分布特征。 B3.1 微分形式的連續性方程微分形式的連續性方程 B3.1.1 流體運動的連續性流體運動的連續性 17世紀初，【英】哈維（W.Harvey）運用伽利略倡導的定量研究原則，測量出人的心臟每小時泵出約540磅（245Kg）的血，相當于人體重的兩倍多。u這么多血來自何方流向何方呢這么多血來自何方流向何方呢？ 哈維通過實驗和邏輯思維否定了統治人類1400多年的陳舊觀念，大膽提出從動脈到靜脈的血液循環理論，雖然當時還不知道毛細血管的存在。

3、直至45年后從發明的顯微鏡里首次觀察到毛細血管，證實了哈維的理論。根據質量守恒定律，不可壓縮流體流進控制體的質量應等于流出控制體的質量，稱其為流體運動的連續性原理。B3.1.1 流體運動的連續性流體運動的連續性流體運動的連續性是物質質量守恒定律在流體運動中的特殊體現。血液循環理論是流體連續性原理的勝利，在科學史上有里程碑的意義。B3.1.2 微分形式的連續性方程微分形式的連續性方程如圖所示，設流體流過以M (x, y, z)為基點，以dx, dy, dz為邊長的控制體元。在t 時間內沿x方向凈流出控制體（流出質量減去流入質量）的質量為按質量守恒定律，在t時間內沿三個方向凈流出控制體的總質量應等

4、于控制體內減少的質量：B3.1.2 微分形式的連續性方程微分形式的連續性方程取極限后可得利用質點導數概念，可改寫為（1）（2）式均為微分形式的三維流動連續性方程。u 不可壓縮流動對于不可壓縮流體，由于密度恒為常數，則不可壓縮流體的連續性方程為：在直角坐標系中為：B3.1.2 微分形式的連續性方程微分形式的連續性方程在柱坐標系中為:在不同條件下連續方程有不同形式： 速度散度為零意味著在空間一點鄰域內流體的體積相對膨脹率恒為零，這是保證流體密度恒等于常數的運動學條件。u 可壓縮流體定常流動對定常流動 ，可壓縮流體定常流動的連續性方程為： 0tB3.1.2 微分形式的連續性方程微分形式的連續性方程在

5、直角坐標系中為：思考題：思考題：連續性方程 適用于（ ），連續性方程 適用于（ ）（A）不可壓縮流體；（B）不定常流體；（C）定常流體；（D）任何流體。0DDt v0uvwxyzvB3.1.2 微分形式的連續性方程微分形式的連續性方程例題B3.1.2：不可壓縮流動連續性方程（1）已知：一不可壓縮平面流動的x方向速度分量為求：y方向的速度分量 v 。解：由不可壓縮流動連續性方程：y方向的速度分量為：（c為常數）式中f(x)為任何僅包含x變量的函數。討論：本例說明對不可壓縮流動，任一點的速度分量不能是任意的，而是受到不可壓縮流動連續性方程的約束。若設f(x)=0，該流場代表位于原點的點渦流；若 f

6、(x) =v，代表位于原點的點渦流疊加y方向速度為v的均勻流等等，他們均滿足不可壓縮流動條件。例題B3.1.2A：不可壓縮流動連續性方程（2）已知：在收縮噴管流場中，設A1截面附近的a1點的軸向速度為 u=10.38m/s， 速度梯度為 ，a1點在a1點的上方 5mm處。求： a1點y方向的速度分量 v 。解：由不可壓縮流動連續性方程：在a1點 v=0，在a1點 v=va+v, 方向如圖示。1 -s86.24xu1 -s86.24xuyvyvy=5mm=0.005mm/s124. 0m005. 0s86.2486.24-1yv討論：本例說明a1點 x方向正的速度梯度引起y方向負的速度梯度，兩側

7、質點向軸心流動。B3.2 作用在流體元上的力作用在流體元上的力B3.2.1 體積力和表面力體積力和表面力p 體積力：穿越空間作用在所有流體元上的非接觸力， 如:重力、慣性力、電磁力等。u 作用在流體元上的體積力(Fb)大小一般與流體元體積成正比，故名體積力。重力和慣性力正比于流體元的質量，又稱質量力。u 體積力可表示為空間位置和時間的分布函數。作用在M(x, y, z)點鄰域內單位質量流體元上的體積力f 為bt)z,y,(x,Ff0limB3.2.1 體積力和表面力體積力和表面力u 作用在有限體積域 的流體團上的體積力合力為dbfF作用在單位體積流體元上的體積力為f 。對被考察的流體團 ，體積

8、力一般當作外力。當體積力僅為重力時，流體可稱為重力流體。p 表面力：表面力為流場中假想面一側的流體（或固體）對另一側流體的接觸力，如壓強、粘性切應力等。 u 作用在流體元上的表面力(Fs)除了與空間位置、時間有關外，還與面積元的方位有關。作用在過M(x, y, z)點，外法線單位矢量為n的面積元A上的單位面積表面力為AtzyxAsnFp0lim),(B3.2.1 體積力和表面力體積力和表面力np稱為表面應力，腳標n代表面積元的方位。 u 作用在有限表面域A上的表面力合力為AAdsnpFB3.2.1 體積力和表面力體積力和表面力思考題：思考題：表面應力Pn 的腳標n代表面積元 的方位， 指該面積

9、元的單位外法矢量。 Pn的方向為（ ） （A）垂直于面積元，方向與 一致；（B）垂直于面積元，方向與 相反；（C）不一定與面積元垂直。AnnnB3.2.1 體積力和表面力體積力和表面力B3.2.2 重力場重力場p 重力場：在Z軸垂直向上的直角坐標系中，作用在單位質量流體之上的重力構成重力場。 g為重力加速度。重力是有勢力： 設u 簡稱為重力勢，是單位質量流體元具有的重力勢能。u 重力勢梯度的負值即為單位質量流體元的重力。思考題：思考題：在重力場中設Z軸垂直向上，（1）單位體積的流體元受到的體積力大小為（ ），相應的重力勢能為（ ）；（2）單位質量的流體元受到的體積力大小為（ ），相應的重力勢能

10、為（ ）；（3）單位重量的流體元受到的體積力大小為（ ），相應的重力勢能為（ ）。回答組合：(a) -g, gz; (b) -1, z; (c) -g,gz.（A）(1)a;(2)c;(3)b； （B）(1)c;(2)a;(3)b；（C）(1)b;(2)c;(3)a。B3.2.2 重力場重力場在靜止流體中沒有切向應力 ，只有法向應力，靜止流體中的表面應力始終與作用面垂直。在靜止流體中一點的法向應力在各個方向均相等。B3.2.3 流體應力場流體應力場p 靜止流體中的應力狀態)0(yzxzxy)(pppppnnzzyyxx稱p為靜壓強，就是熱力學中的平衡壓強，負號表示流體只受壓。運動的無粘性流體中

11、也沒有切向應力，應力狀態與靜止流體相似。思考題：思考題： 如下圖，一圓柱可繞軸心轉動，左半圓浸沒于水中，右半圓暴露于空氣中。判斷下面的說法是否正確：由于左半圓受到水的浮力產生力矩使圓柱做順時針轉動。 （A）這種說法是正確的；（B）這種說法是錯誤的。B3.2.3 流體應力場流體應力場所有的表面應力均垂直于圓柱面，因此都通過軸心，無力矩。p 運動流體的應力狀態：B3.2.3 流體應力場流體應力場在運動粘性流體中,一點的表面應力與作用面不垂直，即有法向分量又有切向分量，而且這些分量的大小與作用面的方位有關，稱其為應力狀態 。一點的應力狀態可用通過該點三個互相垂直的面積之上三組表面應力分量完全確定。如

12、外法矢沿x軸正向的面積元 dAx 上一組應力分量為pxx (x法向) xy (y切向) xz (x切向)上式中表面應力分量的第一個腳標代表面積元的方位（即外法矢的指向），第二個腳標代表表面應力作用方向，稱為應力表示約定。B3.2.3 流體應力場流體應力場同另外兩個正交面積元上的兩組應力分量共九個分量構成應力矩陣（張量）可以證明九個分量中只有六個是獨立的 通常約定，當法向應力與外法矢n方向一致時為正（被作用的流體元受拉伸），方向相反時為負（被作用的流體元受壓縮）。p 應力矩陣的常用表達式： 運動的可壓縮粘性流體各方面的法向壓應力可以不相等，引入平均壓強 ，并認為它也等于熱力學中的平衡壓強，簡稱為

13、壓強 p 。pB3.2.3 流體應力場流體應力場xxxyyyzzzpppppp 把壓強從法向應力中分離出來 式中x，y，z 是運動粘性流體偏離平均壓強的附加法向應力，與流體元線應變率有關。B3.2.3 流體應力場流體應力場000000 xxyxzyxyyzzxzyzpppp應力矩陣可寫成：上式右邊第一項稱為靜壓強項；第二項稱為“偏應力”項，由流體運動產生（靜止時為零）。B3.3 微分形式的動量方程微分形式的動量方程p 微分形式的動量方程（流體運動微分方程） 用牛頓第二定律描述流體運動，可得在直角坐標系中微分形式的動量方程如下：()()()xyxxxzxyxyyyzyzyzxzzzpuuuuuv

14、wftxyzxyzpvvvvuvwftxyzxyzpwwwwuvwftxyzxyz上式表明：單位體積流體元上的體積力及三個方向的表面應力梯度造成了單位體積流體元的加速度。如下圖所示，在正方體微元三組平面上x方向的表面應力梯度構成表面應力合力。()xyxxxzxpuuuuuvwftxyzxyzB3.3 微分形式的動量方程微分形式的動量方程流體運動微分方程適用于任何流體，對不同類型的流體將具有不同的形式。 B3.4 納維納維- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程 p 不可壓縮牛頓流體本構關系 對于不可壓縮牛頓粘性流體，將牛頓粘性定律從一維推廣到三維，法向應力和切向應力分別與線應變率和角變形率成線

15、性關系（Stokes假設）。222xxyyzzuppxvppywppz ()()()xyyxxzzxyzzyvuxyuwzxwvyzp N-S方程將不可壓縮牛頓流體的本構關系代入直角坐標系中微分形式的動量方程可得：B3.4 納維納維- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程222222222222222222()()()()()()xyzuuuupuuuuvwftxyzxxyzvvvvpvvvuvwftxyzyxyzwwwwpwwwuvwftxyzzxyz上式稱為均質不可壓縮牛頓流體的納維-斯托克斯方程，習慣上簡稱為N-S方程。 B3.4 納維納維- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程N-S方

16、程是本課程中占主導地位的控制方程，在不同條件下，對不同流體模型可化為不同形式。N-S方程加上連續性方程構成封閉的方程組，可在適當的邊界條件和初始條件下求解。2DvfpvDt 矢量形式思考題：思考題：（A）體積力壓強粘性應力； （B）體積力壓強梯度粘性應力；（C）體積力壓強梯度粘性應力散度。B3.4 納維納維- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程N-S方程是牛頓第二定律應用于牛頓粘性流體流動中的表達式。由N-S方程可看到，引起單位體積流體元加速度的作用力是：壓強和粘性應力是表面力，當它們作用在流體元某一方向上處于平衡狀態時不引起該方向的加速度。只有存在梯度（粘性應力在各個方向上的作用合力是粘性

17、應力的散度）時才引起加速度。u 內流問題：出入口的速度和壓強分布已知 （一般由實驗測得）u 外流問題：無窮遠處的速度和壓強分布已知。u 兩種流體交界面：界面上的速度、壓強和粘性切應力應連續。p 邊界條件u 固體邊界粘性流體：必須滿足固壁面不滑移條件（或速度連續條件）無粘流體：無需滿足不滑移條件，但法向速度仍應連續。B3.5 邊界條件與初始條件邊界條件與初始條件兩種流體交界面應滿足的邊界條件為：212121，ppvvp 初始條件 對定常流動，無初始條件； 對于非定常流動應知道初始時刻的速度和壓強分布。B3.5 邊界條件與初始條件邊界條件與初始條件思考題：思考題：（A）u=常數； （B）p=常數；

18、（C） 。河水在重力作用下沿斜坡向下流動，水深為 h，液面上是大氣，在用N-S方程求解速度分布 u(y)時，液面上的運動學邊界條件可取為：B3.5 邊界條件與初始條件邊界條件與初始條件0yu212121，ppvv已知：牛頓流體（ ）在重力作用下沿斜坡（傾角為 ）做定常層流流動。液面上方為大氣壓（ ）。流層深h，設圖中坐標系中速度、體積力、壓強分別為：解：平面流動的N-S方程為：/0gp)2()()() 1 ()()(22222222yvxvypfyvvxvutvyuxuxpfyuvxuutuyx例題B3.5.1：沿斜坡的定常層流：N-S方程與邊界條件求：驗證是否滿足N-S方程及邊界條件。222

19、2110 ,sin() ,sinuuuuughygtxyxy 0 ,0 ,sinppvgxy 1sin0sinsin -sin0gggg （）-coscos00gg例題B3.5.1：沿斜坡的定常層流：N-S方程與邊界條件本例中(1)式左邊0 右邊(2)式左邊0 右邊滿足N-S方程。在斜坡上，y=0, u=0 在液面上，y=h,壓強0yu滿足不滑移條件。滿足切應力為零。cos)(yhgp|y=h=0 為大氣壓強，滿足邊界條件。B3.6 壓強場壓強場 壓強在流體運動、流體與固體相互作用中扮演重要角色，如機翼升力、高爾夫球及汽車的尾流阻力都與壓強有關，龍卷風產生強大的負壓強作用，液壓泵和壓縮機推動流

20、體做功是正壓強作用的結果。 B3.6.1 靜止重力流體中的壓強分布靜止重力流體中的壓強分布p 均質流體壓強一般表達式 靜止流體中無慣性力和粘性力，體積力為重力，由N-S方程可得前兩式表明p與x y無關，對均質流體（ =常數），由第三式積分可得：上式表明靜止流體中的壓強沿垂直坐標為線性分布，常數c由邊界條件決定。公式 常用來表示具有自由液面的液體內的壓強分布。p 均質液體壓強公式 靜止液體中的壓強分布示意圖B3.6.1 靜止重力流體中的壓強分布靜止重力流體中的壓強分布pgzc 設自由液面的坐標為z0 ，壓強為p0，可得：在工程上通常用自由液面下的深度（稱為淹深）h=z0-z, 表示一點的垂直位置

21、(右圖)，則上式可改寫為上式稱為勻質靜止液體中的壓強公式，它表明在垂直方向，壓強與淹深成線性關系；在水平方向（h=常數），壓強為常數，水平面是等壓強面，簡稱等壓面。思考題：思考題： 如下圖所示的一U形管，管內有兩種液體處于平衡狀態，試指出圖中所畫斷面中的等壓面（ ）（A）1-1面；（B）2-2面；（C）3-3面。B3.6.1 靜止重力流體中的壓強分布靜止重力流體中的壓強分布判斷等壓面的條件是：連通的同種流體。例題B3.6.1： 靜壓強分布圖已知：靜止液體的自由表面上方為大氣壓強。求：定性的畫出液體中斜面和曲面上的壓強分布。解：B3.6.2 壓強計示方式與單位壓強計示方式與單位p 壓強計示方式

22、壓強公式 可作為壓強計算的基礎，其中 為基準壓強。 ghpp00p 兩個基準：絕對真空（ ）和當地大氣壓（ ） 三種計示方式：u絕對壓強（ ）：相對于絕對真空計量之值（ ），標注為（ab）u表壓強（ ）：相對于當地大氣壓計量之值（當低于 時為負），標注為（g）u真空度（ ）：當表壓強為負時，取其絕對值（ ），標注為（v）0papabp0abpgpapvp0vp約定：除特別說明外，壓強均以表壓強計算。 思考題：思考題： pab, pg, pv分別表示絕對壓強、表壓強和真空度， pa表示大氣壓強。試判斷下列表達式哪個是對的：（A） ；（B） ；（C） 。B3.6.2 壓強計示方式與單位壓強計示方式

23、與單位vaabpppaabgpppgavpppp 壓強單位 B3.6.2 壓強計示方式與單位壓強計示方式與單位u 國際單位制（SI）：帕斯卡（Pa）， 1 Pa = 1 N/m2 , 1 kPa = 103 N/m2 , 1 MPa = 106 N/m2 u 物理單位制（cgs）：毫米汞柱（mmHg）單位制例題B3.6.2： 單管與U形管測壓計已知：一封閉容器中充滿密度為的液體。求： 用單管和U形管測壓計測量內壁面上任一點A的壓強 。 解：在A點處壁面上開一小孔，接液柱式測壓計。(1) 若 pA 0，接單管測壓計，如圖。液體在壓力作用下上升至h高度，液面上為大氣，按下式pA = pa +gh（

24、絕）=gh（表）h=pA /g（m）(a)稱h為A點的測壓管高度。還可以表示為能量形式：gh=pA /gh表示重力勢能，pA /稱為壓強勢能。(b)例題B3.6.2： 單管與U形管測壓計 (2) 若 pA 0，接U型管測壓計，如圖。U形管內有一段重液體（如汞）密度為，設其液面差為h，A點離左支管液面距離為h1 。pA +gh1+mg h= 0U形管測壓計也適用于測量氣體壓強。1 1由等壓面1-1列壓強平衡方程：pA =-gh1-mg h 0用被測液體的測壓管高度表示hhgphAm1U形管液面差折合成測壓管高度例題B3.6.2A： U形管壓差計已知：二個封閉容器A,B中分別充滿密度為的流體（氣體

25、或液體）。求：用U形管測量A,B兩點的壓強差p=pA-pA解：將U形管兩支接到A,B兩點，U形管內有一段重液體，密度為 m，液體差為h。取0-0線為基準面，A,B的位置為zA, zB。p A+ g(zA + h )= pB + gzB + mg hp = pA-pB = g ( zB- zA) + ( m- )g h用被測流體的測壓管高度表示：由等壓面1-1列壓強平衡方程：hzzgpgpgphmABBA) 1()(U形管液面壓強差位置差 例題B3.6.2B： 壓強計示與單位已知：設水泵吸水管的絕對壓強為p = 8 N/cm2，大氣壓強為pa=1.013105 Pa 。試用：國際單位制表示其絕對

26、壓強、表壓強、真空壓強和真空度。 解：pv = - pg = 2.1310 4 Pa = 21.3 kPa pab = 810 4 N/m 2 (Pa) = 80 kPa或表示為p = 80 kPa (ab)p = pg = pab-pa = (810 4-1.01310 5 ) Pa = -2.1310 4 Pa = -21.3 kPa或p =2.1310 4 Pa/1.01310 5 Pa = 21% (v)絕對壓強表壓強真空壓強真空度p =21.3 kPa (v)B3.6.3 運動流體中的壓強分布運動流體中的壓強分布運動流體中，影響壓強分布的因素除體積力外，還有慣性力和粘性力等。p 例一

27、：圓柱繞流 慣性力和粘性力的影響 設流體對圓柱作定常平面繞流，圓柱表面的壓強分布在無粘性流體和粘性流體中有不同的概念，設壓強系數為020/2pppCv式中p為圓柱面上壓強，p0，v0 為無窮遠處壓強和速度。圖b為粘性流體繞流時（Re=105），由于邊界層分離在圓柱后部形成尾流區（見動畫），前后壓強分布不對稱，作用在圓柱上的壓強合力不為零，形成壓差阻力。 圖a為無粘性流體繞流的壓強系數分布圖，為前后對稱分布；B、D點是最大正壓強點（駐點），C、E點是最大負壓強點，作用在圓柱上的壓強合力為零（達朗貝爾佯謬）。B3.6.3 運動流體中的壓強分布運動流體中的壓強分布機翼上下表面壓強分布示意圖，下表面以

28、正壓強為主，上表面以負壓強為主，壓強合力形成升力。 NACA標準翼型（2412）在攻角分別為7.4度和2.8度時的壓強系數分布圖，可見主要以上表面負壓強為主。 p 例二：機翼繞流 B3.6.3 運動流體中的壓強分布運動流體中的壓強分布在風洞里沿轎車中剖面測量的壓強系數分布圖，可見除迎風面為正壓強外，其他部位大多是負壓強。p 例三：汽車繞流 B3.6.3 運動流體中的壓強分布運動流體中的壓強分布普通型轎車在車速很高時將產生升力，使輪胎與地面咬合力減小，造成驅動效率降低，穩定性差。為了克服這些缺點，可采取如下改進措施： （A）增加輪胎的表面粗糙度；（B）改變車身形線，使高速時升力減少；（C）在轎車車身上安裝產生負升力的輔助裝置。B3.6.3 運動流體中的壓強分布運動流體中的壓強分布思考題：思考題： 答案：b,c。目前流行的楔形車身在高速運動時不僅不產生升力