1、第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 1 引言引言 2 歐拉法和改進(jìn)的歐拉法歐拉法和改進(jìn)的歐拉法3 龍格庫塔法龍格庫塔法4 阿達(dá)姆斯方法阿達(dá)姆斯方法5 二階線性常微分方程邊值問題的數(shù)值解二階線性常微分方程邊值問題的數(shù)值解第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 相關(guān)定義相關(guān)定義微分方程：微分方程：包含自變量，未知函數(shù)及未知函包含自變量，未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。常微分方程：常微

2、分方程：在微分方程中，自變量的個數(shù)在微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個。只有一個。偏微分方程偏微分方程：含有多個自變量的微分方程。含有多個自變量的微分方程。第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 相關(guān)定義相關(guān)定義階數(shù)：階數(shù)：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。線性微分方程：線性微分方程：如果未知函數(shù)如果未知函數(shù)y及其各階導(dǎo)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的。數(shù)都是一次的。非線性微分方程：非線性微分方程：一階常微分方程一階常微分方程第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6

3、 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 典型方程的解法：可分離變量法，常系數(shù)齊典型方程的解法：可分離變量法，常系數(shù)齊次線性方程的解法，常系數(shù)非齊次線性方程次線性方程的解法，常系數(shù)非齊次線性方程的解法的解法 。 但能求解的常微分方程仍然是有限的，但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多數(shù)的常微分方程是不可能給出解析解的。大多數(shù)的常微分方程是不可能給出解析解的。如如 1)0(,22yyyyxy第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 從實際問題中歸納出來的微分方程，從實際問題中歸納出來的微分方程，通常主要依靠數(shù)值解法來解決。也

4、就是通常主要依靠數(shù)值解法來解決。也就是求在某些點上滿足一定精度的近似解。求在某些點上滿足一定精度的近似解。 本章主要討論本章主要討論一階常微分方程一階常微分方程初值初值問題在區(qū)間問題在區(qū)間a，b上的數(shù)值解法。上的數(shù)值解法。00( , )()dyf x ydxy xy(61) 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 存在唯一定理：存在唯一定理： 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x，y)在帶形區(qū)域在帶形區(qū)域R： axb，-y+ 上為上為x，y的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)，且對任意的，且對任意的y滿足滿足李普希茨李普希茨(Libusize)條件條件 |

5、f(x,y1)-f(x,y2)|L|y1-y2| (62) 對對R內(nèi)任意兩個內(nèi)任意兩個y1，y2都成立，都成立，則方程的解則方程的解y=y(x)在在a，b上存在且唯一。上存在且唯一。第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 對對常微分方程初值問題的數(shù)值解法就是常微分方程初值問題的數(shù)值解法就是要算出精確解要算出精確解y(x)在一系列在一系列離散結(jié)點離散結(jié)點a=x0 x1x2xn=b處的處的函數(shù)值函數(shù)值y(x0), y(x1), y(x2), , y(xn)的的近似值近似值y0,y1, y2, yn 。1 常微分方程數(shù)值解法的建立常

6、微分方程數(shù)值解法的建立 00( , )()dyf x ydxy xy(61) 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 圖 6.1第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 基本出發(fā)點就是離散化。基本出發(fā)點就是離散化。 數(shù)值解法的基本特點：采用數(shù)值解法的基本特點：采用“步進(jìn)式步進(jìn)式”，即求解過程順著結(jié)點排列的次序一步一即求解過程順著結(jié)點排列的次序一步一步地向前推進(jìn)。步地向前推進(jìn)。 描述這類算法，要求給出一個遞推描述這類算法，要求給出一個遞推式。建立這類遞推公式的基本

7、方法就是式。建立這類遞推公式的基本方法就是數(shù)值微分、數(shù)值積分、泰勒展式等離散數(shù)值微分、數(shù)值積分、泰勒展式等離散化方法。化方法。第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 | 單步迭代法：單步迭代法：計算計算yi+1時只用到時只用到xi+1, xi, yi。代表：龍格代表：龍格庫塔法庫塔法|多步迭代法：計算多步迭代法：計算yi+1時除用到時除用到xi+1, xi, yi，還用到還用到xi-p, yi-p (p=1,2, k)。代表：亞當(dāng)斯法代表：亞當(dāng)斯法第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程

8、數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 2 歐拉法和改進(jìn)的歐拉法歐拉法和改進(jìn)的歐拉法 一、歐拉法基本思想一、歐拉法基本思想離散結(jié)點離散結(jié)點a=x0 x1x2xn=b， h= xi-xi-1 xi=x0+ih積分曲線上每一點積分曲線上每一點(x,y)的切線的斜率的切線的斜率y(x)等等于函數(shù)于函數(shù)f(x,y)在該點的值在該點的值00( , )()dyf x ydxy xy第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 y-y0=f(x0,y0)(x-x0) y1=y0+f(x0,y0)(x1-x0)=y0+f(x0,y0)hy-y1=f(x1,y1

9、)(x-x1) y2=y1+f(x1,y1)(x2-x1)=y1+f(x1,y1)h第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 100( ,)()0,1,2,iiiiyyhf x yyy xi歐拉公式歐拉公式（折線法）（折線法）第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 例例1 用歐拉法求初值問題用歐拉法求初值問題2(0)0yxyy的數(shù)值解的數(shù)值解(取取h=0.1)。 解解 因為因為2100.1 ()0,0,1,2,iiiiyyxyyi2( , )(0)0,0.1f

10、x yxyyh故由歐拉計算公式得故由歐拉計算公式得 (64) 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 表 61 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 圖 6.3 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 歐拉法優(yōu)點：歐拉法優(yōu)點：形式簡單，計算方便，形式簡單，計算方便， 歐拉法缺點：歐拉法缺點：比較粗糙，精度也低。特比較粗糙，精度也低。特別當(dāng)別當(dāng)y=y(x) 的曲線曲率較大時，歐拉法的曲線曲率較

11、大時，歐拉法的效果更差。的效果更差。第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 00( , )()dyf x ydxy xy,1iixxx11),(iiiixxxxdxyxfdxy兩兩邊邊積積分分，得得hyxfxxyxfdxyxfiiiixxiiii),()( ),(),(11 用左矩形求積公式，得用左矩形求積公式，得hyxfxyxyiiii),()()(1故故第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 00( , )()dyf x ydxy xy,1iixxx11)

12、,(iiiixxxxdxyxfdxy兩兩邊邊積積分分，得得）（）（用用梯梯形形求求積積公公式式，得得),(),(2h)(),(),(21),(111111 iiiiiixxiiiiyxfyxfxxyxfyxfdxyxfii）（故故),(),(2h)()(111iiiiiiyxfyxfxyxy第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 二、改進(jìn)的歐拉法二、改進(jìn)的歐拉法111 ( ,)(,)20,1,2,1iiiiiihyyf x yf xyin(65) 這樣得到的點列仍為一折線，只是用這樣得到的點列仍為一折線，只是用平均斜率來代替原

13、來一點處的斜率。平均斜率來代替原來一點處的斜率。第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 注意：歐拉公式是關(guān)于注意：歐拉公式是關(guān)于yi+1的顯式的顯式;而改進(jìn)而改進(jìn)的歐拉公式中的的歐拉公式中的yi+1以隱式給出，且以隱式給出，且yi+1含含在函數(shù)在函數(shù)f(xi+1 , yi+1)中。中。具體做法是：先用歐拉公式求出一個具體做法是：先用歐拉公式求出一個y(0)i+1作為初始近似，然后再用改進(jìn)的歐拉公式作為初始近似，然后再用改進(jìn)的歐拉公式進(jìn)行迭代，即進(jìn)行迭代，即(0)1(1)( )111( ,) ( ,)(,)20,1,2,iiii

14、kkiiiiiiyyhf x yhyyf x yf xyk第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 直到滿足直到滿足 (1)( )11(1)11kkiikiiyyyy(為預(yù)給精度為預(yù)給精度)否則取否則取 再轉(zhuǎn)到下一步計算。再轉(zhuǎn)到下一步計算。 這里必須特別說明，因為初值問題滿足李普這里必須特別說明，因為初值問題滿足李普希茨條件希茨條件| ),(),(2|)1(11)(11 kiikiiyxfyxfh|L2)1(1)(1 kikiyyh|),(),(2(),(),(2|)1(11)(11)(1)1(1 kiiiiikiiiiikik

15、iyxfyxfhyyxfyxfhyyy第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 當(dāng)當(dāng)h足夠小時，可使得足夠小時，可使得 12hLq 于是有于是有(1)( )( )(1)11112(1)(2)11(1)(0)11kkkkiiiikkiikiiyyq yyqyyqyy當(dāng)當(dāng)k時，有時，有qk0，故公式，故公式(66)收斂。收斂。第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 三、三、 預(yù)估校正法預(yù)估校正法 所謂預(yù)估校正法，就是先用歐拉法算出所謂預(yù)估校正法，就是先用歐拉法算出y

16、i+1的預(yù)估值的預(yù)估值y(p)i+1，然后再用改進(jìn)歐拉法進(jìn)，然后再用改進(jìn)歐拉法進(jìn)行一次迭代便得到校正值行一次迭代便得到校正值y(c)i+1，即，即( )1( )( )111( ,) ( ,)(,2piiiicpiiiiiiyyhf x yhyyf x yf xy(67) 預(yù)估預(yù)估校正校正并取并取 ( )11ciiyy第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 雖然式雖然式(67)僅迭代一次，但因進(jìn)行了僅迭代一次，但因進(jìn)行了預(yù)先估計，故精度卻有較大的提高。預(yù)先估計，故精度卻有較大的提高。 在實際計算時，還常常將式在實際計算時，還常常

17、將式(67)寫成寫成下列形式：下列形式： 121112( ,)(,)()20,1,2,iiiiiikf x ykf xh yhkhyykki(68)第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 圖 6.4 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 例例 2求解初值問題求解初值問題 2(0)1,01,0.1xyyyyxh 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 解：現(xiàn)分別用歐拉公式和改進(jìn)的歐拉解：現(xiàn)分別

18、用歐拉公式和改進(jìn)的歐拉公式進(jìn)行計算。公式進(jìn)行計算。 這里歐拉公式的具體形式為這里歐拉公式的具體形式為121111222()()2iiiiiiiixkyyxhkyhkyhkhyykk 其解析解為其解析解為 21yx第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 表 62 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 2.4誤差估計 初值問題(61)的等價積分方程為11()()( , ( )iixiixy xy xf x y x dx(69) 若對式(69)右端的積分采用各種不

19、同的近似計算方法，就可以得到初值問題(61)的各種不同的數(shù)值解法。 例 如積分采用左矩形公式111( , ( )( ,)()()()( ,)iixiiiixiiiif x y x dxf x yxxy xy xhf x y第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 用yi、yi+1分別代替y(xi)、y(xi+1)便得到歐拉公式(63)。 若積分采用梯形公式11111( , ( ) ( ,)(,)()2iixiiiiiixf x y x dxf x yf xyxx 在進(jìn)行誤差分析時，我們假設(shè)yi=y(xi)，考慮用yi+1代替y(

20、x i+1)而產(chǎn)生歐拉公式和改進(jìn)的歐拉公式的精確度。 設(shè)初值問題(61)的準(zhǔn)確解為y=y(x)，則利用泰勒公式 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 123()()()()()2!()3!iiiiiiy xy xhhy xhy xyxhyx 1. 歐拉公式的截斷誤差 由式(63)知 1( ,)()( ,)iiiiiiiyyhf x yy xhf x y(611) (610) 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 比較式(610)和(611)得2112()(

21、)2!()iiihy xyyxO h(612) 2. 改進(jìn)的歐拉公式的截斷誤差 由式(65)知11111 ( ,)(,)2() ( , ()(,)2iiiiiiiiiiihyyf x yf xyhy xf x y xf xy(613)第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 對(69)式右端的積分采用梯形公式并根據(jù)梯形公式的誤差可得到1113()() ( , ()(, ()2( )12iiiiiihy xy xf x y xf xy xhf(614)其中(xi，xi+1)，比較式(613)和(614)得1111113() (,

22、()(,)2( )12iiiiiihy xyf xy xf xyhf(615) 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 因此 31111311311()()( )212(1)()( )12()()iiiiiiiihLhy xyy xyfhq y xyfy xyO h第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 所以，改進(jìn)的歐拉公式的截斷誤差為O(h3)，也即改進(jìn)的歐拉法為二階的。 可以驗證，預(yù)估校正公式(67)與改進(jìn)的歐拉公式的截斷誤差相同，均為O(h3)。這里略去

23、證明。 例 2求解初值問題 2(0)1,01,0.1xyyyyxh第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 3 龍格庫塔法龍格庫塔法 3.1 泰勒級數(shù)展開法 我們還是假設(shè)yi=y(xi)，利用泰勒級數(shù)展開求y(xi+1)。式(610)就是y(xi+1)的泰勒展開式，若取右端前有限項作為y(xi+1)的近似值，就可得到計算y(xi+1)的各種不同截斷誤差的數(shù)值公式。 例 如，取前兩項可得到第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 y(xi+1)y(xi)+hy(xi

24、) =y(xi)+hf(xi，y(xi) =yi+hf(xi，yi) 若取前三項，可得到截斷誤差為O(h3)的公式 212()()()()2()( , ()( , ()( , ()( , ()2iiiiiiixiiiiyiihy xy xhy xyxy xhf x y xhfx y xf x y xfx y x第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 這里 y(xi)=f(xi，y(xi) y(xi)=fx(xi，y(xi)+fy(xi，y(xi)y(xi) =fx(xi，y(xi)+f(xi，y(xi)fy(xi，y(xi)

25、類似地，若取前k項作為y(xi+1)的近似值，便得到截斷誤差為O(hk)的數(shù)值計算公式。這些公式的計算必須依賴于求y(xi)的k階導(dǎo)數(shù)，除非f(x，y)足夠簡單，否則直接用泰勒展開法求解較為復(fù)雜。但是泰勒級數(shù)展開法的基本思想是許多數(shù)值方法的基礎(chǔ)。 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 3.2 龍格庫塔法 前面已經(jīng)知道，初值問題(61)等價于11()()( , ( )()(, ()01iixiixiiiy xy xf x y x dxy xhf xh y xh 龍格庫塔法的基本思想是：用f(x，y)在幾個不同點的數(shù)值加權(quán)平均來

26、代替f(xi+h，y(xi+h)的值，而使截斷誤差的階盡可能高。 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 1. 二階龍格庫塔公式 將預(yù)估校正公式(68)改寫成更一般的形式11 122121()( ,)(,)iiiiiiyyhkkkf x ykf xh yhk(616) 適當(dāng)選取%、1、2%的值，使截斷誤差y(x i+1)-y i+1的階數(shù)盡可能高。這里仍假定yi=y(xi)，顯然 1()iky x第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 2. 四階龍格庫塔公式

27、二階龍格庫塔公式是由使用在兩個不同點上的函數(shù)值的線性組合而得到的。同樣，我們用四個不同點上的函數(shù)值的線性組合就可得到四階龍格庫塔公式。設(shè) yi+1=yi+h(1k1+2k2+3k3+4k4) (620) 這里k1、k2、k3、k4為四個不同點上的函數(shù)值，分別設(shè)其為 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 k1=f(xi，yi) k2=f(xi+1h，yi+11k1h) k3=f(xi+2h，yi+21k1h+22k2h) k4=f(xi+3h，yi+31k1h+32k2h+33k3h) 其中1、2、3、4、1、2、3、11、2

28、1、22、31、32、33均為待定系數(shù)。 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 類似于前面的討論，把k2、k3、k4分別在xi點展成h的冪級數(shù)，代入線性組合式(620)中，將得到的公式與y(xi+1)在xi點上的泰勒展開式比較，使其兩式右端直到h4的系數(shù)相等，經(jīng)過較復(fù)雜的運算便可得到關(guān)于i，i，ij的一組特解 1=2=11=22=1/2 21=31=32=0 3=33=1 1=4=1/6 2=3=1/3 (622) 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 從

29、而得到常用的標(biāo)準(zhǔn)四階龍格庫塔公式：121334311234( ,)(,)22(,)22(,)(22)6iiiiiiiiiikf x yhhkf xykhhkf xykkf xh yhkhyykkkk(623)第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 圖 6.5 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 表 63第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 4 阿達(dá)姆斯方法阿達(dá)姆斯方法 我們已經(jīng)知道，初值

30、問題(61)等價于積分方程(69)，即11()()( , ( )nnxnnxy xy xf x y x dx第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 對積分式分別采用矩形公式和梯形公式可得到歐拉公式和改進(jìn)的歐拉公式，截斷誤差分別為O(h2)和O(h3)。為此，我們自然可以想到，若用更高次的插值多項式來代替f(x，y)，則所得公式的精度會更高。這就是線性多步法的起源思想。 本章前面介紹的方法稱為單步法，因為在計算yi+1時，只用到前面yi的值。而對于線性多步法是要利用前面已經(jīng)算出的若干個值yi-k，yi-1，yi來求yi+1。 現(xiàn)

31、用k次多項式Pk(x)來代替f(x，y(x) 111()( )( )( )iiiixxiikkxxy xy xP x dxR x dx(624) 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 舍去余項 并設(shè)yi=y(xi)，而yi+1為y(xi+1)的近似值，于是可得到線性多步法的計算公式1( )iixkkxRR x dx11( )iixiikxyyP k dx第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 4.1 阿達(dá)姆斯(Adams)顯式 取q+1個基點xi，xi-1，

32、xi-q，并作牛頓后差插值多項式見式(438)，則0( )( 1)qmmqimtPxfm其中ixxth將式(627)代入式(626)得1100( 1)iiqxmmiiixmqmimimtyydxfmyhf (628) 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 這里 10( 1),0,1,2,mmtdtmqm(629) 式(628)稱為阿達(dá)姆斯顯式。 對于余項 1112(2)10( )( 1)()( )iixqqxqqtqqRR x dxhydt 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值

33、解法常微分方程數(shù)值解法 112(2)10( 1)( )()(,)qqqtqqi qiRhydtxx 亦即 2(2)15(5)3( )251( )720qqqqRhyRh y 顯然當(dāng)q=3時 (630) 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 m是多項式積分，易算出結(jié)果如下： m01234m11/25/123/8251/270例如 130432101(1)(2)613()6 48t ttdtttt第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 為了易于在電子計算機(jī)上實現(xiàn)

34、，常將式(628)中的 用各點的已知函數(shù)值表示。特別，當(dāng)q=2時，有1121123(23165)12(5559379)24iiiiiiiiiiihyyfffhyyffff當(dāng)q=3時，有 (631) (632) 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 4.2 阿達(dá)姆斯隱式 類似于4.1，取q+1個基點xi+1，xi，xi-q+1，并作牛頓后差插值多項式，則10( )( 1)qmmqimtP xfm(633) 其中 1ixxth第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解

35、法 將式(633)代入式(626)得 1110011001( 1)( 1)( 1),0,1,2,iiqxmmiiixmqmmiimmmtyydtfmtyhdtfmtdt mqm (634)其中 (635) 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 式(634)稱為阿達(dá)姆斯隱式。 類似于阿達(dá)姆斯顯式余項的求法，可得到阿達(dá)姆斯隱式的余項為2(2)111( ),qqqqi qiRhyxx (636) 例當(dāng)q=3時 5(5)319( )720Rh y m的計算結(jié)果如下： m01234m1-1/2-1/12-1/24-19/720第第6

36、6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 若將式(634)中各階差分mfi+1用各點的已知函數(shù)值表示，則可得到便于在電子計算機(jī)上實現(xiàn)的數(shù)值公式。 例如，當(dāng)q=2時1111112(58)12(9195)24iiiiiiiiiiihyyfffhyyffff(637) (638) 當(dāng)q=3時 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 4.3 阿達(dá)姆斯預(yù)估校正公式 我們常把阿達(dá)姆斯顯式及隱式聯(lián)立使用，即構(gòu)造所謂阿達(dá)姆斯預(yù)估校正公式。現(xiàn)以q=2為例構(gòu)造預(yù)估校正公式()111( )1

37、11(23165)12(58)12piiiiiciiiiihyyfffhyyfff(639) 并取 ( )11ciiyy第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 與同階的龍格庫塔方法相比較，阿達(dá)姆斯方法計算量小，公式簡單，程序易于實現(xiàn)。但它的主要缺點是不能自動開始，開始的前幾個值要依賴于其它方法獲得。這里介紹兩種計算開始值的方法。 (1) 用單步法中的數(shù)值方法求出開始值。 (2) 使用y(x)的泰勒展開式 200000()( )()()()()2!yxy xy xy xxxxx第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法

38、 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 例4 用阿達(dá)姆斯方法求初值問題2(0)0,01,0.1yxyyxh(640) 的數(shù)值解。 解 首先用泰勒展式求其三個點的值，因為 220( )( )( )12 ( )( )( )2( )( )( )0y xxyxyxy x y xyxyxy x yxx 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 表 64 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 設(shè)常微分方程組的初值問題為0( )( , )()y xf x y

39、y xs(641) 這里 21212( ),( ),( )( , )( , ),( , ),( , )( ,)TikTkTkyy xyxyxf x yf x yfx yfx yss ss第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 初值問題(641)與(61)式形式上完全相似。因此，對于(61)適用的數(shù)值計算公式，只要將其中的y0，y，f，都改寫成相應(yīng)的向量形式 s，y，f ，就能寫出求解(641)的數(shù)值公式。 例如，初值問題(641)的標(biāo)準(zhǔn)四階龍格庫塔公式為112341213243(22)6( ,)(,)22(,)22(,)iii

40、iiiiiiihkykkkkkf x yhhkf xykhhkf xykkf xh yhk第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 5二階線性常微分方程邊值問題的數(shù)值解二階線性常微分方程邊值問題的數(shù)值解 設(shè)二階線性常微分方程的邊值問題為 y+p(x)y+q(x)y=f(x) y(a)=，y(b)=，axb (642) 其中p(x)，q(x)，f(x)為區(qū)間崐a，b上足夠光滑的已知函數(shù)，且q(x)0，、為已知常數(shù)。第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 在上述條件

41、下，邊值問題(642)式存在連續(xù)可微的解，且是唯一的。若采用差分方法來解邊值問題，其基本步驟是： (1)將區(qū)間a，b“離散化”，即給a，b一個分劃，此分劃常考慮等距; (2)對每一個基點，將各階導(dǎo)數(shù)用差商來近似表示，將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組; (3)解線性代數(shù)方程組，求得各基點上的近似解。第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 現(xiàn)具體給出求解邊值問題(642)的方法步驟。 首先將區(qū)間a，b進(jìn)行等距分劃，即令 xi=a+ih，i=0，1，2，n 其中bahn一般稱 0nxaxb為邊界點，稱x1，x2，xn-1為內(nèi) 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 第第6 6章章 常微分方程數(shù)