1、1.1.2余弦定理余弦定理正弦定理可以解決三角形中的問題：正弦定理可以解決三角形中的問題： 已知已知兩角和一邊兩角和一邊，求其他角和邊，求其他角和邊 已知已知兩邊和其中一邊的對角兩邊和其中一邊的對角，求另一邊，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角的對角，進而可求其他的邊和角RCcBbAa2sinsinsin 正正弦弦定定理理：復習回顧：歸納：歸納：1. 如果已知的如果已知的A是直角或鈍角，是直角或鈍角，ab， 只有一解；只有一解；2. 如果已知的如果已知的A是銳角，是銳角，ab，或，或a=b， 只有一解；只有一解；3. 如果已知的如果已知的A是銳角，是銳角，ab，(1) absinA，有二解有

2、二解；(2) absinA，只有一解只有一解；(3) absinA，無解無解. 即：如圖，在即：如圖，在ABC中，中，設設BC=a, AC=b, AB=c.已知已知a, b和和C，求邊，求邊c？ 問題：問題： 如何從已知兩邊和它們的夾角求如何從已知兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊？三角形的另一邊？BCAbac 0 02 22 22 2 A AB B= = A AC C+ +2 2 A AC C C CB B c co os s( (1 18 80 0 - - C C) )+ + C CB B證明：證明：222222c = a +b -2abcosCc = a +b -2abcosC向量法向量法

3、)()(CBACCBACABABCBACABCBCBCBACACAC2若若 ABC為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求證：求證：bcABCaCabbaccos2222余弦定理：余弦定理： 三角形中任何一邊的平方等于其他三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍角的余弦的積的兩倍.即：即：Abccbacos2222Baccabcos2222 Cabbaccos2222思考：思考： 這個式子中有幾個量？從方程的角這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個度看已知其中三個量，

4、可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？量，能否由三邊求出一角？Abccbacos2222Baccabcos2222 Cabbaccos2222 推論：推論：bcacbA2cos222acbcaB2cos222 abcbaC2cos222 222090cbaA 222090cbaA 222090cbaA （1）已知三邊求三個）已知三邊求三個角；角；2 22 22 2b b+ + c ca ac c o o s s A A = =- -2 2 b b c c2 22 22 2a a+ + c cb bc c o o s s B B = =- -2 2 a a c c2 22 22 2a a+ +

5、b bc cc c o o s s C C = =- -2 2 a a b b問題：問題：余弦定理在解三角形中的作用是余弦定理在解三角形中的作用是什么？什么？（2）已知兩邊和它）已知兩邊和它們的夾角，求第三們的夾角，求第三邊和其他兩個角邊和其他兩個角.2 22 22 2- -c c = =a a + +b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2- -a a = =b b + +c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2- -b b = =a a + +c c2 2a ac cc co os sB B剖剖 析析 定定 理理 勾股定理指出了直角三角形

6、中三邊勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？看這兩個定理之間的關系？思考：思考：余弦定理是勾股定理的推廣，余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例勾股定理是余弦定理的特例.講解范例：講解范例：例例1. 在在ABC中，已知中，已知,32a,60,26o Bc求求b及及A.Bacacbcos2222 解：解：022260cos8287cc31021362121 BacSBacSABCABCsinsin或或練習練習CA201練習練習課堂小結課堂小結1. 余弦定理是任何三角形邊角之間存在余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，勾股定理是