1、第8講映射與函數的概念一【學習目標】1. 了解映射的概念及表示方法；2. 理解函數的概念，了解簡單的分段函數及應用，明確函數的三種表示方法；3. 會求一些簡單函數的定義域和值域 二【知識梳理】1. 映射引入：復習初中常見的對應關系1對于任何一個實數 a，數軸上都有唯一的點 p和它對應；2對于坐標平面內任何一個點A,都有唯一的有序實數對x,y丨和它對應；3對于任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應；4某影院的某場電影的每一張電影票有唯一確定的座位與它對應；定義：一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法那么f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素 y與

2、之對應，那么 就稱對應f : AtB為從集合A到集合B的一個映射.記作“ f : At B .點撥：1這兩個集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的，其中f表示具體的對應法那么，可以用多種形式表述.2“都有唯一什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說 有且只有一個的意思.3設f : At B為從集合A到集合B的一個映射，假設 f : aT b，那么b叫做a的象；a 叫做b的原象.2. 函數1函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合 A中的任意一個數X,在集合B中都有唯一確定的數 f(x)和它對應，那么就稱f : At B為從集

3、合A到集合B 的一個函數.記作： y=f(x) , x A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與 x的值相對應的y值叫做 函數值，函數值的集合f(x)| x A 叫做函數的值域.點撥：“y=f(x) 是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x) ； 函數符號“ y=f(x) 中的f(x)表示與x對應的函數值，是一個數，而不是f乘x. 函數是特殊的映射.2函數的三要素：定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的， 所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全 一致，那么稱這兩個函數相等或為同一函數.即:兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表

4、示自變量和函數值的字母無關3函數的表示方法：解析法、列表法、圖象法三種三【典例精析】例1.以下哪些對應是從集合 A到集合B的映射？1A=P | P是數軸上的點 , B=R對應關系f :數軸上的點與它所代表的實數對應；2A= P | P是平面直角坐標系中的點, B (x,y)|x R,y R ,對應關系f :平面 直角坐標系中的點與它的坐標對應；3A=三角形 , B=x | x是圓,對應關系f :每一個三角形都對應它的內切圓；4A= x | x是新華中學的班級, Bx|x是新華中學的學生,對應關系f :每一個班級都對應班里的學生.思考：將3中的對應關系 f改為：每一個圓都對應它的內接三角形；4中

5、的對應關系f改為：每一個學生都對應他的班級，那么對應f : Bt A是從集合B到集合A的映射嗎？例2.在以下列圖中，圖1， 2， 3 對應法那么，是不是映射？是不是函數關系？4用箭頭所標明的 A中元素與B中元素的2A45°A 求正弦B21230600A 求平方乘以2:1A 1,2,3,4,B 2,4,6,8 ，對應法那么是“乘以2；2A=x|x > ° , B=R對應法那么是“求算術平方根；3Ax| x 0 , BR，對應法那么是“求倒數；4A|0° v90° , B x|x 1 ,對應法那么是“求余弦.例4.在以下列圖中的映射中，A中元素60的象

6、是什么？ B中元素上 的原象是什么?例3.畫圖表示集合 A到集合B的對應集合A, B各取4個元素2點撥：判定是否是映射主要看兩條：一條是A集合中的元素都要有象， 但B中元素未必要有原象；二條是A中元素與B中元素只能出現“一對一或“多對一的對應形式.例5.函數f(x)= x 3 +一 x 21求函數的定義域；22求 f一 3，f(-)的值；33當 a> 0 時，求 f a，f(a 1)的值.例6.設一個矩形周長為 80，其中一邊長為x，求它的面積關于 x的函數的解析式，并寫出 定義域.解：由題意知，另一邊長為 80 2x，且邊長為正數，所以0v xv 40.280 2x所以 S=x=40

7、xx0vxv402點撥：1如果f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R .2如果f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合3如果f(x)是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數 的集合4如果f(x)是由幾個局部的數學式子構成的，那么函數定義域是使各局部式子都有 意義的實數集合即求各集合的交集5滿足實際問題有意義.例7.以下函數中哪個與函數y=x相等？1y=( . x )2 ; 2y=( 3 x3 )； 23y= x2 ; 4y= x例&某種筆記本的單價是5元，買x(x 1,2,3,4,5 )個筆記本需要y元，試用三種表示法表示函數y f (x)

8、.點撥： 函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等; 解析法：必須注明函數的定義域； 圖象法：是否連線； 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.例9某市郊空調公共汽車的票價按以下規那么制定：1乘坐汽車5公里以內，票價2元；25公里以上，每增加 5公里，票價增加1元缺乏5公里按5公里計算，兩個 相鄰的公共汽車站間相距約為 1公里，如果沿途包括起點站和終點站設 20個汽車站, 請根據題意，寫出票價與里程之間的函數解析式，并畫出函數的圖象.分析：本例是一個實際問題，有具體的實際意義，根據實際情況公共汽車到站才能停 車，所以行車里程只能取整數值.點撥：分段函數的解析

9、式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式 并用一個左大括號括起來，并分別注明各局部的自變量的取值情況.四【過關精練】一、選擇題1.集合 M 1,2,3, m , N 4,7, M到N的一個函數，貝U m n的值為A. 2B 342*n ,n 3n , m, n N ,映射 f : y .43x 1是從2. M x|0 x 2, N y |0N的函數關系的有3給出以下四個圖形，其中能表示從集合M到集合3.設函數f (x)2,A.他16x27161,1,的值為184.假設函數yA. 0,1f(x)的定義域是0,2，那么函數B . 0,1) C .g(x)上2刃 的定義域是x 10,1

10、)U(1,4 D . (0,1)5. 設函數 f(x)對任意 x、y 滿足 f(x+ y)=f(x) + f(y)，且 f(2)=4，那么 f( 1)的值為C. ±16. 函數f( x + 1)=x+ 1，那么函數f(x)的解析式為A . f(x)=x2B.C. f(x)=x2 2x(x> 1)D.7.f(x)=x2 + 1(x> 1)f(x)=x2 2x+ 2(x> 1)A . f(x)=x, g(x)=( x )2B. f(x)=1 , g(x)=x0C. f(x)=|x|, g(x)=x2、填空題D. f(x)=|x|, g(x)= x，>< (0

11、(，x,x (),0)8.函數f (x)2x bx c(x 0)且 f ( 4) f (0) , f( 2)2 那么2 (x 0)方程f xx解的個數為2x 4x 6 x 09. 設函數f(x)'那么不等式f(x) f (1)的解集是x 6,x010. 函數x f x g x ,其中f (x)是x的正比例函數,g (x)是x的反比1例函數，且 16,1&那么 x.3三、解答題111. 1假設函數y f (x)的定義域為 丄,2，求f (x 1)的定義域；22假設函數f(x21)的定義域為2,1)，求函數f(x)的定義域.212.函數 f (x) x 4ax 2a 6(x R).1假設函數f (x)的值域為0, +s)時的a的值；2假設函數f(x)的值均為非負值，求函數 g(a) 2 a a 3的值域.以下各組中，函數f(x)和g(x)的圖象相同的是第8講參考答案一. 選擇題I. B； 2 . C； 3 . A； 4 . B； 5 . A； 6 . D； 7 . C.二. 填空題58. 3；9.3,1