1、第八章第八章 統計量和抽樣分布統計量和抽樣分布 統計與統計學統計與統計學 統計量統計量 常用統計量常用統計量 抽樣分布抽樣分布第八章第八章 統計量與抽樣分布統計量與抽樣分布 前面七章講述了概率論的基本內容，隨后的五章講前面七章講述了概率論的基本內容，隨后的五章講述的是數理統計。數理統計是一門廣泛應用的數學分支，述的是數理統計。數理統計是一門廣泛應用的數學分支，它以概率論為理論基礎，根據試驗或觀察得到的數據來它以概率論為理論基礎，根據試驗或觀察得到的數據來研究隨機現象，對研究對象的客觀規律性作出種種合理研究隨機現象，對研究對象的客觀規律性作出種種合理的估計和判斷。的估計和判斷。 在概率論中，我們

2、所研究的隨機變量，它的分布都在概率論中，我們所研究的隨機變量，它的分布都是假設已知的，在這一前提下去研究它的性質、特點和是假設已知的，在這一前提下去研究它的性質、特點和規律，例如求它的數字特征，討論它的函數的分布，介規律，例如求它的數字特征，討論它的函數的分布，介紹常用的各種分布紹常用的各種分布等等。等等。引引 言言第八章第八章 統計量與抽樣分布統計量與抽樣分布 在數理統計中，我們研究的隨機量，它的分布是未在數理統計中，我們研究的隨機量，它的分布是未知的，或者是不完全知道的，人們是通過對所研究的隨知的，或者是不完全知道的，人們是通過對所研究的隨機變量進行重復獨立的觀察，得到許多觀察值，對這些機

3、變量進行重復獨立的觀察，得到許多觀察值，對這些數據進行分析，從而對所研究的隨機變量的分布作出種數據進行分析，從而對所研究的隨機變量的分布作出種種推斷。種推斷。 概率論是統計學的數學基礎，統計學從某種角度上也概率論是統計學的數學基礎，統計學從某種角度上也可看成概率論的重要應用，可看成概率論的重要應用， 本章將陳述統計學的基本概本章將陳述統計學的基本概念，統計方法的特點和主要內容。念，統計方法的特點和主要內容。第一節第一節 統計的研究對象統計的研究對象例例1 1 某廠生產大批某種型號的元件，從某天生產的元某廠生產大批某種型號的元件，從某天生產的元件中隨機抽取若干個進行壽命試驗，檢驗該廠生產的件中隨

4、機抽取若干個進行壽命試驗，檢驗該廠生產的元件是否合格。元件是否合格。例例2 2 在美國總統選舉年，從所有合法選民中隨機抽出在美國總統選舉年，從所有合法選民中隨機抽出一部分進行民意測驗，評估兩黨候選人獲勝的機會。一部分進行民意測驗，評估兩黨候選人獲勝的機會。特點：特點：1.1.涉及經濟、社會現象涉及經濟、社會現象2.2.有相應的數量特征，有相應的數量特征，統計指標統計指標統計研究的對象：統計研究的對象：1.1.必須是大量的現象必須是大量的現象2.2.現象所表現的數量特征或統計指標現象所表現的數量特征或統計指標3.3.統計指標有客觀性統計指標有客觀性統計的應用范疇涵蓋了統計的應用范疇涵蓋了 社會、

5、經濟、自然科學等領域社會、經濟、自然科學等領域第一節第一節 統計與統計學統計與統計學一、總體和個體一、總體和個體定義定義 在一個統計問題中，研究對象的全體稱為在一個統計問題中，研究對象的全體稱為總體總體. .定義定義 總體中的每一個研究對象稱為總體中的每一個研究對象稱為個體個體. .例如，我們要研究某學校的學生身高情況，則該學校的全體學生構成例如，我們要研究某學校的學生身高情況，則該學校的全體學生構成此問題的總體，而每一個學生就是一個個體。此問題的總體，而每一個學生就是一個個體。在該問題中，每個學生（個體）有許多特征：姓名、年齡、身高、體在該問題中，每個學生（個體）有許多特征：姓名、年齡、身高

6、、體重、籍貫、民族等等，而在該問題中，我們只關心該校學生的身高，重、籍貫、民族等等，而在該問題中，我們只關心該校學生的身高，對其他特征不考慮。這樣，每個學生（個體）所具有的指標值對其他特征不考慮。這樣，每個學生（個體）所具有的指標值身身高就是個體，而將身高全體看成總體，這樣一來，若拋開實際背景，高就是個體，而將身高全體看成總體，這樣一來，若拋開實際背景，總體就是一堆數，這堆數中有大有小，有的出現的機會多，有的出現總體就是一堆數，這堆數中有大有小，有的出現的機會多，有的出現的機會少，因此用一個概率分布去描述和歸納總體是恰當的，從這個的機會少，因此用一個概率分布去描述和歸納總體是恰當的，從這個意義

7、上說，意義上說，總體就是一個分布，而其數量指標就是服從這個分布的總體就是一個分布，而其數量指標就是服從這個分布的隨隨機變量機變量。以后說。以后說“從總體中抽樣從總體中抽樣”與與“從某分布中抽樣從某分布中抽樣”是同一個意是同一個意思。思。 換句話說，總體就是試驗的全部可能觀察值，而每一個可能的觀換句話說，總體就是試驗的全部可能觀察值，而每一個可能的觀察值就是個體。察值就是個體。第一節第一節 統計與統計學統計與統計學總體中所包含個體的個數稱為總體中所包含個體的個數稱為總體的容量總體的容量容量為有限的稱為容量為有限的稱為有限總體有限總體容量為無限的稱為容量為無限的稱為無限總體無限總體一、總體和個體一

8、、總體和個體研究某批燈泡的質量研究某批燈泡的質量總總體體再如再如第一節第一節 統計與統計學統計與統計學二、樣本二、樣本 為推斷總體分布及各種特征，按一定規則從總體中抽為推斷總體分布及各種特征，按一定規則從總體中抽取若干個體進行觀察試驗，以獲得有關總體的信息，這一取若干個體進行觀察試驗，以獲得有關總體的信息，這一抽取過程稱為抽取過程稱為“抽樣抽樣”，抽取規則稱之為抽樣方案，所抽，抽取規則稱之為抽樣方案，所抽取的部分個體稱為取的部分個體稱為樣本樣本. . 樣本中所包含的個體數目稱為樣本中所包含的個體數目稱為樣本容量樣本容量. .樣本是隨機變量樣本是隨機變量, ,容量為容量為n n的樣本可以看作的樣

9、本可以看作n n維隨機變量維隨機變量. . 但是，一旦取定一組樣本，得到的是但是，一旦取定一組樣本，得到的是n n個具體的數個具體的數 ( (x x1 1, ,x x2 2, , ,x xn n) )，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值 . . 從總體中抽取樣本時從總體中抽取樣本時, ,不僅要求每一個個體被抽到不僅要求每一個個體被抽到的機會均等的機會均等, ,同時還要求每次的抽取是獨立的同時還要求每次的抽取是獨立的, ,即每次即每次抽樣的結果不影響其他各次的抽樣結果抽樣的結果不影響其他各次的抽樣結果, ,同時也不受其同時也不受其他各次抽樣結果的影響他各次抽樣結果

10、的影響. .這種抽樣方法稱為這種抽樣方法稱為簡單隨機抽簡單隨機抽樣樣. .由簡單隨機抽樣得到的樣本叫做由簡單隨機抽樣得到的樣本叫做簡單隨機樣本簡單隨機樣本. .往往后如不作特別說明后如不作特別說明, ,提到提到“樣本樣本”總是指簡單隨機樣本總是指簡單隨機樣本. .第一節第一節 統計與統計學統計與統計學二、樣本二、樣本簡單隨機樣本簡單隨機樣本要求抽取的樣本滿足下面兩點要求抽取的樣本滿足下面兩點：2. 2. 獨立性獨立性： X X1 1, ,X X2 2, ,X,Xn n是相互獨立的隨機變量是相互獨立的隨機變量. .1. 1. 代表性代表性： X X1 1, ,X X2 2, , ,X Xn n中

11、每一個與所考察的總體有中每一個與所考察的總體有相同的分布相同的分布. .第一節第一節 統計與統計學統計與統計學二、樣本二、樣本 niinxFxxxF121)(),.,( niinnxpxXxXxXp12211)(),.,(設總體設總體X X的分布函數為的分布函數為F(x),F(x),若若(X(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) )為為X X的一個樣的一個樣本本, ,則則(X(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) )的聯合分布函數為的聯合分布函數為若總體若總體X X是離散型隨機變量是離散型隨機變量, ,其概率分布律為其概率分布律為P(X=xP(X=xi i) )(i=1,2,.),

12、(i=1,2,.),則樣本則樣本(X(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n ) )的聯合概率分布律為的聯合概率分布律為若總體若總體X X是連續型隨機變量是連續型隨機變量, ,其概率密度函數為其概率密度函數為f(x),f(x),則樣則樣本本(X(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n ) )的聯合概率概率密度為的聯合概率概率密度為 niinxfxxxf121)(),.,(第二節第二節 總體和樣本總體和樣本二、樣本二、樣本 niinxfxxxf121)(),.,(例例 設總體設總體X X E(E(), X), X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n 是來自是來自X X的一個樣本的一個樣本.

13、 .求樣本求樣本X X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n 的聯合概率密度函數的聯合概率密度函數解解 因為因為X X E(E(), ), 所以所以 0, 00,)(xxexfx 從而從而 0, 0,.,2 , 1, 0,1xnixeixnnii 第二節第二節 總體和樣本總體和樣本二、樣本二、樣本 ),.,(2211nnxXxXxXP例例 設總體設總體X X P(P(), X), X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n 是來自是來自X X的一個樣本的一個樣本. .求樣本求樣本X X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n 的聯合概率分布律的聯合概率分布律解解 因為因為X X P(P(), ),

14、 所以所以 ,.2 , 1 , 0,!)( xexxXPx 從而從而 niixexi1! niixnxei1!第二節第二節 總體和樣本總體和樣本二、樣本二、樣本例例 設總體設總體x x服從兩點分布服從兩點分布B B（1 1，p p），其中），其中0p10p1，（ ），是來自總體的樣本，求樣本（），是來自總體的樣本，求樣本（ ）的分布律）的分布律解：總體解：總體x x的分布律為的分布律為 （i=1,0i=1,0） 因為因為 相互獨立，且與相互獨立，且與x x有相同的分布。有相同的分布。其中其中 在集合在集合1,01,0中取值中取值xxxn21,xxxn21,pippixp1)1 (xxxn21,

15、niiniixpxppppnnnxxxxxxxxxxxx11)1 (p,2211nn1211，xxxn21,第二節第二節 總體和樣本總體和樣本,.,n iiiXi1,0, 1 次次取取得得正正品品第第次次取取得得次次品品第第二、樣本二、樣本例例( (抽樣檢查抽樣檢查) ) 設批量為設批量為N N的產品的產品, ,其中次品數為其中次品數為N N, ,0011未知未知, ,今分別按有放回和無放回今分別按有放回和無放回, ,兩種方法從中兩種方法從中隨機抽取隨機抽取n(n(N)N)件件. .定義定義則則X X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n即是樣本即是樣本(1)(1)有放回抽樣有放回抽樣 ),.

16、,(2211nnxXxXxXP(2)(2)無放回抽樣無放回抽樣 niiniixnx11)1 (),.,1, 10(niorxi ),.,(2211nnxXxXxXPnNtnNtNCCC )1 ( niixt1),.,1, 10(niorxi 總體、樣本、樣本觀察值的關系總體、樣本、樣本觀察值的關系總體總體 樣本樣本 樣本觀察值樣本觀察值 理論分布理論分布 統計是從手中已有的資料統計是從手中已有的資料樣本觀察值，去推斷總樣本觀察值，去推斷總體的情況體的情況總體分布。樣本是聯系兩者的橋梁。總體總體分布。樣本是聯系兩者的橋梁。總體分布決定了樣本取值的概率規律，也就是樣本取到樣本分布決定了樣本取值的概

17、率規律，也就是樣本取到樣本觀察值的規律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體觀察值的規律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體.第二節第二節 總體和樣本總體和樣本第三節第三節 什么是統計學什么是統計學數理統計的任務是從抽樣數據出發數理統計的任務是從抽樣數據出發, ,估計各種概率數字特估計各種概率數字特征和對研究對象的某個命題作出判斷征和對研究對象的某個命題作出判斷, ,其應用十分廣泛其應用十分廣泛. .統計統計描述性統計描述性統計: :推斷統計推斷統計: :對數據的收集和整理對數據的收集和整理遵循一定的統計規律對數據資料進行遵循一定的統計規律對數據資料進行分析推斷分析推斷, ,并作出結論并作出結論統計學統

18、計學就是使用有效的方法收集數據、分析數據，并基就是使用有效的方法收集數據、分析數據，并基于數據作出結論的一門方法論科學于數據作出結論的一門方法論科學. .第三節第三節 什么是統計學什么是統計學第四節第四節 統計方法的特點統計方法的特點 一切由數據說話一切由數據說話 統計分析的結果往往會出錯統計分析的結果往往會出錯, ,且這種錯誤并非是由方且這種錯誤并非是由方 法的誤用所引起錯誤的機會不會超過一個較小的界限法的誤用所引起錯誤的機會不會超過一個較小的界限 統計方法研究和揭示現象之間在數量表現參面上的相統計方法研究和揭示現象之間在數量表現參面上的相 互關系互關系, ,但不肯定有因果關系但不肯定有因果

19、關系 使用歸納推理使用歸納推理第五節第五節 統計思想統計思想“十九世紀以來統計學面臨種種問題十九世紀以來統計學面臨種種問題, ,要回答這種類型要回答這種類型的問題的主要障礙的問題的主要障礙, ,是隨機性是隨機性- -缺乏原因與結果之間的缺乏原因與結果之間的一一對應關系。基于隨機性的基礎，人們如何行動呢？一一對應關系。基于隨機性的基礎，人們如何行動呢？這是個長時間困擾人類的問題，直到本世紀初，我們這是個長時間困擾人類的問題，直到本世紀初，我們才學會了掌握隨機性，發展成能做出聰明決策的科學才學會了掌握隨機性，發展成能做出聰明決策的科學- -統計學統計學”-C.R.Rao -C.R.Rao Stat

20、istics and TruthStatistics and Truth對隨機性的把握對隨機性的把握對差異的把握對差異的把握第二節第二節 統計量統計量 樣本是進行統計推斷的依據，在應用時，往往不是樣本是進行統計推斷的依據，在應用時，往往不是直接使用樣本本身，而是針對不同的問題構造樣本的適直接使用樣本本身，而是針對不同的問題構造樣本的適當函數，利用這些樣本的函數進行統計推斷。當函數，利用這些樣本的函數進行統計推斷。 樣本來自總體，樣本的觀測值中含有總體各方面的樣本來自總體，樣本的觀測值中含有總體各方面的信息，但這些信息較為分散，有時顯得雜亂無章。為了信息，但這些信息較為分散，有時顯得雜亂無章。為

21、了將這些分散在樣本中的有關總體的信息集中起來以反映將這些分散在樣本中的有關總體的信息集中起來以反映總體的總體的各種特征，需要對樣本進行加工，表和圖是一類各種特征，需要對樣本進行加工，表和圖是一類加工形式，它使人們從中獲得對總體的初步認識。當人加工形式，它使人們從中獲得對總體的初步認識。當人們需要從樣本獲得對總體各種參數的認識時，最常用的們需要從樣本獲得對總體各種參數的認識時，最常用的加工方法是構造樣本函數，不同函數總體的不同特征。加工方法是構造樣本函數，不同函數總體的不同特征。第二節第二節 統計量統計量例例1 1以下是某廠生產機器某些零件的質量（以下是某廠生產機器某些零件的質量（KgKg）21

22、5215，227227，216216，192192，207207，207207，214214，218218，205205，200 200 187187，185185，202202，218218，195195，215215，206206，202202，208208，210 210 算術平均值為：算術平均值為：206.45206.45樣本標準差為：樣本標準差為：9.979.97第二節第二節 統計量統計量定義：定義：設設(X(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) )是來自總體是來自總體X X的一個樣本的一個樣本,f(X,f(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) ) 是關于是關于X X1

23、1,X,X2 2, ,X,Xn n的一個連續函數且的一個連續函數且f(Xf(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) )中不中不 含有何未知參數含有何未知參數, ,則稱則稱f(Xf(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) )是樣本是樣本(X(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) ) 的一個的一個統計量統計量. .統計量統計量 完全由樣本確定的量完全由樣本確定的量從數學觀點來看，統計量是樣本的函數從數學觀點來看，統計量是樣本的函數設設(x(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n ) )是相應于樣本是相應于樣本(X(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n ) )的樣本值的樣本值,

24、,則則f(xf(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n) )稱是稱是f(Xf(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) )的的觀察值觀察值. .例例 若若 是一個樣本，則是一個樣本，則 （1 1） 以及以及 都是統計量；都是統計量； （2 2） 若若, ,2 2未知時，未知時，X X1 1- - ,X,X1 1/ /都不是統計量都不是統計量. .12,nXXX1niiX21,niiX( )nF x第二節第二節 常用統計量常用統計量常常用用統統計計量量描述數據的中心位置描述數據的中心位置描述數據的分散程度描述數據的分散程度樣本均值樣本均值樣本中位數樣本中位數樣本標準差樣本標準差極差或四分位間

25、距極差或四分位間距第二節第二節 常用統計量常用統計量 niiXnX11樣本均值樣本均值 niiXXnS1221樣本方差樣本方差 niiXXnS121樣本標準差樣本標準差),(21nXXX設設是來自總體是來自總體 X 的容量的容量為為 n 的樣本的樣本, ,稱統計量稱統計量返回返回設設),(21nXXX為樣本為樣本, ,),(21nxxx由小到大的重排由小到大的重排, ,則中位數可如下計算則中位數可如下計算)()2()1(nxxx 當其取值為當其取值為),(21nxxx時時, , 為偶數當為奇數當nxxnxmednnn )(21,)12()2()21(第二節第二節 常用統計量常用統計量樣本中位數

26、樣本中位數: :若將數據從小到大排列若將數據從小到大排列, ,中位數就是中位數就是居于中間位置的數居于中間位置的數計算計算: :是數據是數據返回返回其中其中, ,max,min1)(1)1(inininiXXXX )1()(XXRn 極差極差: :第二節第二節 常用統計量常用統計量直觀意義直觀意義: : R R即數據振幅即數據振幅, ,振幅越大說明數據越分散振幅越大說明數據越分散返回返回四分位間距四分位間距: :LUQQH 此處此處,Q,QL LQ00時時 稱數據為正相關；稱數據為正相關； 當當r rxyxy0 x 0 0時收斂，稱為時收斂，稱為 函數，具有性質函數，具有性質)(!)1()2/

27、1 (, 1)1 (),()1(Nnnnxxx)(2n的密度函數的密度函數為為自由度為自由度為 n n 的的2分布分布x( )f x010n1n4n2分布的概率密度函數第三節第三節 抽樣分布抽樣分布22分布的可加性性質 稱為，可推廣到有限個的情形：2.2.性質性質 nUDnUE2,1 )(,),(),(22122121222121nnXXXXnXnX則相互獨立，若 )(,),(121212 miimiimiinUUUUnU相互獨立，則且設證明證明2分布分布nXXX,21相互獨立相互獨立, ,證證 1 1 設設niiiniNXXn122, 2 , 1) 1 , 0()(則則1)(, 1)(, 0

28、)(2iiiXEXDXE nXEUEnii 123d21)(2244xexXExi2)()()(2242iiiXEXEXD nXDUDnii212 返回返回第三節第三節 抽樣分布抽樣分布 3 3. .分位點分位點 設設X X 2 2(n)(n)，若對于若對于 ：00 11，存在存在0)(2 n 滿足滿足2P X (n),則稱則稱)(2n 為為)(2n 分布的上分布的上 分位點。分位點。21PU (n), 2n02分布的分位數x( )f x1-2分布分布第三節第三節 抽樣分布抽樣分布10n 313x( )f x1n 4n 2021t分布的密度函數1.1.定義定義的分布為自由度的分布為自由度 n

29、n 的的T T 分布分布，記為，記為T T t(n)t(n)nYXT tntnnntfn2121221)(),(,) 1 , 0(2nYNXX X , ,Y Y相互獨立相互獨立, ,則稱則稱設設t t- -分布分布其其密度函數密度函數為為密度函數圖象密度函數圖象為為第三節第三節 抽樣分布抽樣分布1- tn fxx0t分布的分位數2.2.性質性質: : (1) (1) f(t)f(t)關于關于t=0t=0( (縱軸縱軸) )對稱。對稱。 (2) (2) f(t)f(t)的極限為的極限為N(0N(0，1)1)的密度函數，即的密度函數，即 3.3.分位點分位點 設設T Tt(n)t(n)，若對，若對

30、 :0:0 1,0(n)0， 滿足滿足 PTtPTt (n)=(n)= ，則稱則稱t t (n)(n)為為t(n)t(n)的上側分位點的上側分位點 x,e21) t () t ( flim2tn2t t- -分布分布第三節第三節 抽樣分布抽樣分布0 x12 fxF分布的密度函數 n=20,m= n=20,m= n=20,m=25 n=20,m=25 n=20,m=10 n=20,m=101.1.定義定義 若若 U U 2 2(n),V(n),V 2 2(m)(m)，U,VU,V獨立，則稱獨立，則稱).,(/mnFmVnUF 的分布的分布為自由度為自由度( (n,m)n,m) 的的F F分布分布

31、, ,記為記為F F F(n,m).F(n,m). 0y, 00y,)ynn1)(2n()(y)n/n)(2nn()y(h2/ )nn(2122n12n2/n212121111其概率密度為其概率密度為概率密度概率密度函數圖象函數圖象為為F F- - 分布分布第三節第三節 抽樣分布抽樣分布0 x( )f xF分 布 的 分 位 數F F(n,m)(n,m)2. 2. 分位點分位點對于對于 ：00 10m)0，滿足滿足PFFPFF (n(n, , m)=m)= ， 則稱則稱F F (n(n, , m)m)為為F(nF(n, , m)m)的的上側上側 分位點；分位點；F F- - 分布分布第三節第三

32、節 抽樣分布抽樣分布我們有從是獨立同分布的，皆服即它們的樣本是來自正態總體設).,(,),(,.,2221NNXXXn正態總體的抽樣分布正態總體的抽樣分布定理定理);,(2nNX) 1()(221222 nXXnSnii;)(1122相互獨立與 niiXXnSX（1 1）（2 2）（3 3）證明證明證明（證明（1 1）niiniiXEnXnEXE11)(1)1()(21211)(1)1()(nXDnXnDXDniinii).,(2nNX 故有返回返回) 1(1/2 ntn-SXT）（) 1 , 0()(/, ),(2NXnnXnNX 即因為 ) 1()(221222 nXXnSnii又且它們表示的隨機變量是相互獨立的且它們表示的隨機變量是相互獨立的, ,故故則本方差分別為其樣本均值與樣與的樣本是來自總體設例,),(,.,:2221SXNXXXXn證明證明) 1() 1(22 ntnnSnXT)2(11)()(21 nmtnmSYXTw222212 nmnSmSSw則隨機變量;,),(,.,;,),(,.,:2222122121本方差分別為其樣本均值與樣與的一個樣本是來自總體方差別為其樣本均值與樣本分與的一個樣本是來自總體設例YnXmS