1、Mathematica 教程第第1章章 Mathematica概述概述第第2章章 Mathematica的基本量的基本量第第3章章 Mathematica的基本運算的基本運算第第4章章 Mathematica函數作圖函數作圖第第5章章 Mathematica微積分的基本操作微積分的基本操作第第6章章 Mathematica微分方程的求解微分方程的求解第第7章章 Mathematica程序設計程序設計第第1章章 Mathematica概述概述1.1.1 Mathematica的啟動和運行的啟動和運行 Mathematica是美國Wolfram研究公司生產的一種數學分析型的軟件，以符號計算見長，也

2、具有高精度的數值計算功能和強大的圖形功能。 假設在Windows環境下已安裝好Mathematica4.0，啟動Windows后，在“開始”菜單的“程序”中單擊 ，就啟動了Mathematica4.0，在屏幕上顯示如圖的Notebook窗口，系統暫時取名Untitled-1，直到用戶保存時重新命名為止。 輸入1+1，然后按下Shift+Enter鍵，這時系統開始計算并輸出計算結果，并給輸入和輸出附上次序標識In1和Out1，注意In1是計算后才出現的；再輸入第二個表達式，要求系統將一個二項式展開，按Shift+Enter輸出計算結果后，系統分別將其標識為In2和Out2。如圖 在Mathema

3、tica的Notebook界面下，可以用這種交互方式完成各種運算，如函數作圖，求極限、解方程等，也可以用它編寫像C那樣的結構化程序。 在Mathematica系統中定義了許多功能強大的函數，我們稱之為內建函數（built-in function）, 直接調用這些函數可以取到事半功倍的效果。這些函數分為兩類： (1) 一類是數學意義上的函數，如：絕對值函數Absx，正弦函數Sinx，余弦函數Cosx，以e為底的對數函數Logx，以a為底的對數函數Loga,x等； (2) 第二類是命令意義上的函數，如作函數圖形的函數Plotfx,x,xmin,xmax，解方程函數Solveeqn,x，求導函數Df

4、x,x等。 Mathematica 嚴格區分大小寫。 一般地，內建函數的首寫字母必須大寫，有時一個函數名是由幾個單詞構成，則每個單詞的首寫字母也必須大寫，如：求局部極小值函數FindMinimumfx,x,x0等。第二點要注意的是，在Mathematica中，函數名和自變量之間的分隔符是用方括號“ ”，而不是一般數學書上用的圓括號“（ ）”，初學者很容易犯這類錯誤。 必須注意的是 如果輸入了不合語法規則的表達式，系統會顯示出錯信息，并且不給出計算結果。 例如：要畫正弦函數在區間-10，10上的圖形，輸入plotSinx,x,-10,10，則系統提示“可能有拼寫錯誤， 新符號plot 很像已經存

5、在的符號Plot”，實際上，系統作圖命令“Plot”第一個字母必須大寫，一般地，系統內建函數首寫字母都要大寫。再輸入PlotSinx,x,-10,10 ，系統又提示缺少右方括號，并且將不配對的括號用藍色顯示，如圖 一個表達式只有準確無誤，方能得出正確結果。學會看系統出錯信息能幫助我們較快找出錯誤，提高工作效率。1.1.2 表達式的輸入表達式的輸入 Mathematica 提供了多種輸入數學表達式的方法。除了用鍵盤輸入外， 還可以使用工具欄或者快捷方式健入運算符、矩陣或數學表達式。 1數學表達式二維格式的輸入數學表達式二維格式的輸入 Mathematic擔提供了兩種格式的數學表達式。形如x/(2

6、+3x)+y*(x-w)的稱為一維格式，形如 的稱為二維格式。 你可以使用快捷方式輸入二維格式，也可用基本輸入工具欄 輸入二維格式。 可從FILE菜單中激活Palettes-Basic Input 工具欄，也可輸入， 并且使用工具欄可輸入更復雜的數學表達式。 如圖： 2特殊字符的輸入特殊字符的輸入 MathemMatica 還提供了用以輸入各種特殊符號的工具樣。基本輸入 工具樣包含了常用的特殊字符（上圖），只要單擊這些字符按鈕即可輸入。 若要輸入其它的 特殊字符或運算符 號，必須使用從FILE 菜單中選取Complete Characters工具欄, 如圖： 1.2 Mathematica的聯

7、機幫助系統的聯機幫助系統 用Mathematica的過程中，常常需要了解一個命令的詳細用法，或者想知系統中是否有完成某一計算的命令，聯機幫助系統永遠是最詳細、最方便的資料庫 1獲取函數和命令的幫助獲取函數和命令的幫助：在Notebook界面下, 用 ？或 ? 可向系統查詢運算符、函數和命令的定義和用法, 獲取簡單而直接的幫助信息。 例如, 向系統查詢作圖函數Plot命令的用法？Plot 系統將給出調用Plot的格式以及Plot命令的功能 (如果用兩個問號“?”，則信息會更詳細一些)。? Plot* 給出所有以Plot這四個字母開頭的命令 2 Help菜單：菜單：任何時候都可以通過按F1鍵或點擊

8、幫助菜單項Help Browser, 調出幫助菜單, 如下圖所示其中的各按鈕用途如下表所示 如果要查找Mathematica中具有某個功能的函數，可以通過幫助菜單中的Mahematica使用手冊，通過其目錄索引可以快速定位到自己要找的幫助信息。 例如：需要查找Mathematica中有關解方程的命令，單擊“The Mathematica Book”按鈕，再單擊“Contents”，在目錄中找到有關解方程的節次，點擊相應的超鏈接，有關內容的詳細說明就馬上調出來了。如果知道具體的函數名，但不知其詳細使用說明，可以在命令按鈕 Goto 右邊的文本框中鍵入函數名，按回車鍵后就顯示有關函數的定義、例題和

9、相關聯的章節。例如，要查找函數Plot的用法，只要在文本框中鍵入Plot，按回車鍵后顯示如圖的窗口， 再按回車鍵，則顯示Plot函數的詳細用法和例題。如果已經確知Mathematica 中有具有某個功能的函數，但不知具體函數名，可以點擊Built-in Functions按鈕，再按功能分類從粗到細一步一步找到具體的函數，例如，要找畫一元函數圖形的函數，點擊Built-in Functions -Graphics and Sound-2D Plots-Plot，找到Plot的幫助信息。 如果知道具體的函數名，但不知其詳細使用說明，可以在命令按鈕 Goto 右邊的文本框中鍵入函數名，按回車鍵后就顯

10、示有關函數的定義、例題和相關聯的章節。例如，要查找函數Plot的用法，只要在文本框中鍵入Plot，按回車鍵后顯示如圖1-5的窗口，再按回車鍵，則顯示Plot函數的詳細用法和例題。 如果已經確知Mathematica 中有具有某個功能的函數，但不知具體函數名，可以點擊Built-in Functions按鈕，再按功能分類從粗到細一步一步找到具體的函數，例如，要找畫一元函數圖形的函數，點擊 Built-in Functions -Graphics and Sound-2D Plots-Plot，找到Plot的幫助信息。第第2章章 Mathematica的基本量的基本量2.1 數據類型和常數數據類型

11、和常數 1數值類型數值類型 在在Mathematic中，基本的數值類型有四種：整數，中，基本的數值類型有四種：整數，有理數、實數和復數。有理數、實數和復數。 如果你的計算機的內存足夠大，如果你的計算機的內存足夠大，Mathemateic 可以可以表示任意長度的精確實數，而不受所用的計算機字長表示任意長度的精確實數，而不受所用的計算機字長的影響。整數與整數的計算結果仍是精確的整數或是的影響。整數與整數的計算結果仍是精確的整數或是有理數。有理數。 例如：例如：2的的100次方是一個次方是一個31位的整數：位的整數： ln1:=2100 Out1=12676506002282282294014967

12、03205376 在Mathematica中允許使用分數，也就是用有理數表示化簡過的分數。當兩個整數相除而又不能整除時，系統就用有理數來表示，即有理數是由兩個整數的比來組成如： In2:=12345/5555 Out2=2469/1111 實數是用浮點數表示的，實數是用浮點數表示的，Mathematica實數的有實數的有效位可取任意位數，是一種具有任意精確度的近效位可取任意位數，是一種具有任意精確度的近似實數，當然在計算的時候也可以控制實數的精似實數，當然在計算的時候也可以控制實數的精度。實數有兩種表示方法：一種是小數點另外一度。實數有兩種表示方法：一種是小數點另外一種是用指數方法表示的。如：

13、種是用指數方法表示的。如： ln3:=0.239998 Out3=0.23998 ln4:=0.12*1011 Out4=0.12*1011 實數實數也可以與整數，有理數進行混合運算結果還也可以與整數，有理數進行混合運算結果還是一個實數。是一個實數。 復數復數是由實部和虛部組成。實部和虛部可以用整數，實數，有理數表示。在Mathematica中，用I表示虛數單位如： In6:=3+0.7I Out6:=3+0.7I 2.不同類型數的轉換不同類型數的轉換 在Mathematica的不同應用中，通常對數字的類型要求是不同的。例如在公式推導中的數字常用整數或有理數表示，而在數值計算中的數字常用實數表

14、示。在一般情況下在輸出行Outn中，系統根據輸入行lnn的數字類型對計算結果做出相應的處理。如果有一些特殊的要求，就要進行數據類型轉換。 在Mathematica中的提供以下幾個函數達到轉換的目的： 舉例舉例 ln1=N5/3,20 Out1=1.66666666666666666667 ln2:=N%,10 Out2=1.66666667 二行輸出是把上面計算的結果變為二行輸出是把上面計算的結果變為10位精度位精度的數字。表示上一輸出結果。的數字。表示上一輸出結果。 In3=Rationalize% Out3=5/3 3.數學常數數學常數 Mathematica 中定義了一些常見的數學常數，

15、這中定義了一些常見的數學常數，這些數學常數都是精確數，例如表示圓周率。些數學常數都是精確數，例如表示圓周率。 數學常數可用在公式推導和數值計算中。數學常數可用在公式推導和數值計算中。在數值計算中表示精確值在數值計算中表示精確值,如：如： In1:=Pi2 Out1= ln2:=Pi2/N Out2=9.8696124.數的輸出形式數的輸出形式 在數的輸出中可以使用轉換函數進行不同數據類在數的輸出中可以使用轉換函數進行不同數據類型和精度的轉換。另外對一些特殊要求的格式還型和精度的轉換。另外對一些特殊要求的格式還可以使用如下的格式函數：可以使用如下的格式函數： 例如：例如： ln1:=NPi30,

16、30 Out1= ln2:=NumberForm%,10 Out2/NumberForm= 下面的函數輸出冪值可被下面的函數輸出冪值可被3整除的實數整除的實數 In3=EngineeringForm% Out3/EngineeringForm=8.2128933040274958158650358543410148.2128933041014821.28933040274958158650358543410122.2 變量變量 1變量的命名變量的命名 Mathematica中內部函數和命令都是以大寫字母開始的標示符。為了不會與它門混淆，我們自定義的變量應該是以小寫字母開始，后跟數字和字母的組合

17、，長度不限。 例如：a12,ast,aST都是合法的，而12a，z*a是非法的。另外在Mathematica中的變量是區分大小寫的 在Mathematica中，變量不僅可以存放一個數值，還可以存放表達式或復雜的算式。 2給變量賦值給變量賦值 在Mathmatica中用等號為變量賦值。同一個變量可以表示一個數值，一個數組，一個表達式，甚至一個圖形。如：如： In1:=x=3 Out1=3 In2:=x2+2x Out2=15 In3:=x=%+1 Out3=16 對不同的變量可同時賦不同的值, 例如： In4:=u,v,w=1,2,3 Out4=1,2,3 In5:=2u+3v+w Out5=1

18、1 對于已定義的變量，當你不再使用它時，為防止變量值的混淆，可以隨時用.清除它的值，如果變量本身也要清除用函數Clearx 例如例如 ln6:=u=. ln7:=2u+v Out7=2+2u3.變量的替換變量的替換 在給定一個表達式時其中的變量可能取不在給定一個表達式時其中的變量可能取不同的值，這是可用變量替換來計算表達式同的值，這是可用變量替換來計算表達式的不同值。方法為用的不同值。方法為用expr/.例如：例如： In1:=f=x/2+1 Out1= In2:=f/.x-1 Out2= In3:=f/.x-2 Out3=31x232 如果表達式中有多個變量也可以同時替換方法為例如有兩個：

19、expr/.x-xval,y-val In4:=(x+y)(x-y)2/.x-3,y-1-a Out4= (4 - a) (2 + a)22.3 函數函數 1系統函數系統函數 在Mathmatic中定義了大量的數學函數可以直接調用，這些函數其名稱一般表達了一定的意義，可以幫助我們理解。下面是幾個常用的函數： Mathematica中的函數與數學上的函數有些不同的地方，Mathematica中函數是一個具有獨立功能的程序模塊，可以直接被調用。同時每一函數也可以包括一個，或多個參數，也可以沒有參數。參數的的數據類型也比較復雜。更加詳細的可以參看系統的幫助，了解各個函數的功能和使用方法是學習Math

20、ematica軟件的基礎 2函數的定義函數的定義 （1）函數的立即定義）函數的立即定義 立即定義函數的語法如下立即定義函數的語法如下 fx_=expr 函數名為函數名為f,自變量為自變量為x，expr是表達式。在執行時是表達式。在執行時會會把把expr 中的中的x都換為都換為f的自變量的自變量x(不是不是x_)。函。函數的自變量具有局部性，只對所在的函數起作用。數的自變量具有局部性，只對所在的函數起作用。函數執行結束后也就沒有了，不會改變其它全局函數執行結束后也就沒有了，不會改變其它全局定義的同名變量的值。請看下面的例子定義的同名變量的值。請看下面的例子 定義函數定義函數 fx_=x*Sinx

21、+x2 對定義的函數我們可對定義的函數我們可以求函數值，也可繪制它的圖形。以求函數值，也可繪制它的圖形。 對于定義的函數我們可以使用命令Clearf清除掉而Removef則從系統中刪除該函數。 （2）多變量函數的定義多變量函數的定義 也可以定義多個變量的函數，格式為fx_,y_,z_,=expr 自變量為x,y,z.,相應的expr中的自變量 會被替換。 例如定義函數 f(x,y)=xy+ycosx （3）延遲定義函數）延遲定義函數 延遲定義函數從定義方法上與即時定義的區別為“=”與“：=”延遲定義的格式為fx_：=expr其他操作基本相同。那么延遲定義和即時定義的主要區別是什么？即時定義函數

22、在輸入函數后立即定義函數并存放在內存中并可直接調用。延時定義只是在調用函數時才真正定義函數。（4）使用）使用If命令定義函數命令定義函數 如果要定義如： 這樣的分段函數可以用If語句來定義。 If語句的格式為If條件，值1，值2如果條件成立取“值1”，否則取“值2”，下面用If語句的定義結果 這里使用了兩個If嵌套 2.4 表表 將一些相互關聯的元素放在一起，使它們成為一個整體。既可以對整體操作，也可以對整體中的一個元素單獨進行操作。在Mathematica中這樣的數據結構就稱作表（List）。表主要有三個用法：表a,b,c可以表示一個向量；表a,b,c,d可表示一個矩陣。 1建建 表表 在表

23、中元素較少時，可以采取直接列表的方式列出表中的元素，如1,2,3.請看下面的操作 In1:=1,2,3 Out1=1,2,3 下面是符號表達式的列表下面是符號表達式的列表 In2:=1+%x+x% Out2=1+2x,1+2x+x2,1+3x+x2 下面是對列表中的表達式對x求導 In3:=D%,x Out3=2,2+2x,3+3x2 In4:=%/.x-1 Out4=2,4,6 如果表中的元素較多時，可以用建表函數進行建表。 下面給出x乘i的值的表，i的變化范圍為2,6: In1:=Tablex*i,i,2,6 Out1=2x,3x,4x,5x,6x In2:=Tablex2,4 Out2=

24、x2,x2,x2,x2 用用Range函數生成一個序列數函數生成一個序列數 In3:=Range10 Out3=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 下面這個序列是以步長為下面這個序列是以步長為2，范圍從，范圍從8到到20 In4:=Range8,20,2 Out4=8,10,12,14,16,18,20 上面的參數變化都是只有一個，也可制成包括多個參數的表，下面生成一個多維表： In5:=Table2i+j,i,1,3,j,3,5 Out5=5,6,7,7,8,9,9,10,11 使用函數TableForm可以以表格的方式輸出 In6:=%/TableForm Out6/TableFor

25、m=5 6 7 7 8 9 9 10 112表的元素的操作表的元素的操作 當當t表示一個表時，表示一個表時，ti或者或者 Partt,i 表示表示t中的第中的第i個子表。如果個子表。如果t=1,2,a,b, 那么那么t3表示表示“a”。 如：如： ln1:=t=TableI+2,jI,1,3,j,3,5 Out1=7,9,11,8,10,12,9,11,13 ln2:=t2 Out2=8,10,12表的操作表的操作 1、制表函數、制表函數 2、元素操作、元素操作 3 3、表的操作、表的操作 2.5 表達式表達式 1. 表達式的含義表達式的含義 Mathematica 能處理數學公式，表以及圖能

26、處理數學公式，表以及圖形等多多種數據形式。盡管他們從形式上形等多多種數據形式。盡管他們從形式上看起來不一樣，但在看起來不一樣，但在Mathematica內部都內部都被看成同種類型，即都把他們當作表達式被看成同種類型，即都把他們當作表達式的形式。的形式。Mathematica 中的表達式是由常中的表達式是由常量、變量、函數、命令、運算符和括號等量、變量、函數、命令、運算符和括號等組成，他最典型的形式是組成，他最典型的形式是fx,y2表達式的表示形式表達式的表示形式 在顯示表達式時，由于需要的不同，有時我們在顯示表達式時，由于需要的不同，有時我們需要表達式的展開形式，有時又需要其因子乘需要表達式的

27、展開形式，有時又需要其因子乘積的形式。在我們計算過程中可能得到很復雜積的形式。在我們計算過程中可能得到很復雜的表達式，這時我們又需要對它們進行化簡。的表達式，這時我們又需要對它們進行化簡。常用的處理這種情況的函數。變換表達式表示常用的處理這種情況的函數。變換表達式表示形式函數形式函數 表達式(x+y)4 (x+y2) 展開： 還原上面的表達式為因子乘積的形式： 3關系表達式與邏輯表達式關系表達式與邏輯表達式 我們已經知道“”表示給變量賦值。現在我們來學習一些其它的邏輯與關系算子。關系表達式是最簡單的邏輯表達式，我們常用關系表達式表示一個判別條件。例如：x0, y=0。關系表達式的一般形式是：表

28、達式關系算子表達式。其中表達式可為數字表達式、字符表達式或意義更廣泛的表達式，如一個圖形表達式等。在我們實際運用中，這兒的表達式常常是數字表達式或字符表達式。 下面出Mathematica中的各種關系算子。 給變量x,y賦值，輸出后以變量的值，如： In1:=x=2;y=9 Out1=9; In2:=xy Out2=False 下面是比較兩個表達式的大小 In3:=32y+1 Out3=True 用一個關系式只能表示一個判定條件，要表示幾個判定條件胡組合，必須用邏輯運算符將關系表達式組織在一起，我們稱表示判定條件的表達式為邏輯表達式。 下面是常用的邏輯運算和它們的意義 ！：非、 &：并

29、、|：或、 Xor：異或、If：條件 例如下面的例子說明它們的應用 In4:=3x2value 在指定區間上按選項定義值畫出函數在直角坐標系中的圖形. Plotf1,f2,f3, x,xmin,xmax,option-value 在指定區間上在指定區間上按選項定義值同時畫按選項定義值同時畫出多個函數在直角坐標系中的圖形出多個函數在直角坐標系中的圖形 Mathematica繪圖時允許用戶設置選項值對繪制圖形的細節提出各種要求。例如：要設置圖形的高寬比，給圖形加標題等。每個選項都有一個確定的名字，以“選項名-選項值”的形式放在Plot中的最右邊位置，一次可設置多個選項，選項依次排列，用逗號隔開，也

30、可以不設置選項，采用系統的默認值。 1.舉例 (1)例如繪制 的圖形。 (2)如果要取消刻度可以使用Ticks選項 (3)如果要標注坐標名稱x 軸為“Time”,y軸為 “Height” (4)將坐標交點(3，0)，并標注圖形名稱。 (5)修改x方向的刻度，y軸方向的刻度則用默認值。 (6)定義y軸的繪圖范圍 (7) 另外我們也可以將圖形結果定義給變量， 但不顯示圖形，后用Show命令顯示。 2.數據集合的圖形數據集合的圖形 Mathematica用于繪數字集合的圖形的命令與前而介紹的繪函數圖形的命令是相似的。如下:(1)下面舉例說明下面是一個離散數據的集合的圖形 3.二維參數作圖二維參數作圖

31、 前面我們使用Plot命令可以繪出直角坐標系下的函數圖形，使用ParametrecPlot可以繪制參數曲線下面給出ParametricPlot的常用形式(1).繪制參數方程 的圖形 (2)下面將一個圓與上面參數繪在同一個坐標下，并保證圖形的形狀正確。 4.3 圖形的樣式 下面給出選項用于設置圖形樣式。 1.圖形顏色的設置 在Mathematicaa提供各種圖形指令中，對圖形元素顏色的設置是一個很重要的設置。 下面給出三條不同顏色的正弦曲線. 下面用不同的色調對三個菱形進行著色。 2.圖形大小圖形大小 下面是一些點，注意點大小的控制。 下面的點的控制是用絕對單位 3.線段的控制線段的控制 下面的

32、例子是控制線段的寬度，使用的是絕對控制。4.4 圖形的重繪和組合圖形的重繪和組合 每次繪制圖形后，Mathematica保存了圖形的所有信息，所以用戶可以重繪 這些圖形。下面是常用重繪圖形的函數。 1.使用Show顯示圖形 下面繪制函數Sinx2 的圖形。 重繪圖形時，可以改變命令的設置，下面改變y的比例同時給 圖邊框 2.使用使用Show命令進行組合命令進行組合 也可使用Show進行圖形組合。圖形組合與圖形是否有相同的比例無關，這時Mathematica會自動選擇新的比例來繪制圖形。下面繪制函數-xsin(2x+Pi)的圖形和xcos(2x) 然后繪制在一張圖時。3將多個圖形組合為一個圖形將

33、多個圖形組合為一個圖形 我們也可把圖形組合為一個圖形，我們還 可以用GraphicsArray把多個圖形繪制在一個圖形矩陣中如下圖。4.5 基本三維圖形基本三維圖形 繪制函數繪制函數f(x，y)在平面區域上的三維立體圖形的在平面區域上的三維立體圖形的基本命令是基本命令是Plot3D，Plot3D和和Plot的工作方式和的工作方式和選項基本相同。選項基本相同。ListPlot3D可以用來繪制三維數可以用來繪制三維數字集合的三維圖形，其用法也類似于字集合的三維圖形，其用法也類似于ListPlot，下面給出這兩個函數的常用形式。下面給出這兩個函數的常用形式。 Plot3Df ,(x,xmin,xma

34、x)，(y,ymin,ymax) 繪制繪制以以x和和y為變量的三維函數為變量的三維函數f的圖形的圖形 ListPlot3DZ11,Z12,，Z21,Z22,. 繪繪出高度為出高度為Zvx數組的三維圖形數組的三維圖形1.三維繪圖舉例三維繪圖舉例 (1)函數Sin(x+y)Cos(x+y)的立體圖 用PlotRange設定曲線的表面的變化范圍 (3)圖形軸上加上標記，且在每個平面上畫上網格。 (4)視圖的改變 2. 用數據來進行繪圖用數據來進行繪圖 三維圖形也可用數據來進行繪圖。下面給出數據矩陣，因其較大未表示其結果。3. 三維空間的參數方程繪圖 三維空間中的參數繪圖函數ParametricPlo

35、t3Dfx,fv,fz,t,tmin,tmax和二維空間中的ParametricPlot很相仿。在這種情況下，Mathematica實際上都是根據參數t來產生系列胡點，然后再連接起來。 三維參數作圖的基本形式為：三維參數作圖的基本形式為： ParametricPlot3Dfx,fv,fz,t,tmin,tmax，u,umin,umax 產生一個空間曲面而不是一條曲線，曲面是由四邊形組成。 5.1 極限極限 Mathematica計算極限的命令是Limit它的使用方法主要有趨向的點可以是常數，也可以是趨向的點可以是常數，也可以是+，- 例如例如 1求求 2求求 5.2 微分微分 1.函數的微分函

36、數的微分 在Mathematica 中，計算函數的微分或是非常方便的，命令為Df,x,表示對x求函數f的導數或偏導數。該函數的常用格式有以下幾種例如 1.求函數Sinx的導數2.2.求函數求函數e ex xSinxSinx的的2 2階導數階導數 3.3.假設假設a a是常數可以對是常數可以對SinaxSinax求導求導 4.如果對二元函數如果對二元函數f(x,y)=x2*y+y2求對求對x,y 求一階和二階偏導求一階和二階偏導 Mathematica可以求函數式未知的函數微分，通常結果使用數學上的表示法例如： 對鏈導法則同樣可用對鏈導法則同樣可用 如果要得到函數在某一點的導數值可以把這點代入導

37、數如如果要得到函數在某一點的導數值可以把這點代入導數如： 2.全微分 在Mathematica中，Df,x給出f的偏導數，其中假定f中的其他變量與x無關。當f為單變量時，Df,x計算f對x的導數。函數Dtf,x給出f的全微分形式，并假定f中所有變量依賴于x.下面是Dt命令的常用形及意義 下面我們求x2+y2的偏微分和全微分 可以看出第一種情況y與x沒有關系，第二種情況y是x的函數。再看下列求多項式 x2+xy3+yz 的全微分并假定z保持不變是常數 如果y是x的函數，y被看成是常數 5.3 計算積分計算積分 1.不定積分不定積分 在在MathematicaMathematica中計算不定積分命

38、令為中計算不定積分命令為 Integeratef,xIntegeratef,x。當然并不是所有的不定積分都能。當然并不是所有的不定積分都能求出來。例如若求求出來。例如若求 MathematicaMathematica就無能為就無能為力。力。 但對于一些手工計算相當復雜的不定積分，但對于一些手工計算相當復雜的不定積分，MatheMatica還是能輕易求得，例如求還是能輕易求得，例如求 2.定積分定積分 定積分的求解主要命令也是用Integrate只是要在命令中加入積分限Integratef,x,min,max例如求 顯然這條命令也可以求廣義積分例如：顯然這條命令也可以求廣義積分例如：求求 求無窮

39、積也可以求無窮積也可以例如例如 3. 數值積分數值積分 數值積分是解決求定積分的另一種有效的方法，它可以給出一個近似解。特別是對于用Integrate命令無法求出的定積分，數值積分更是可以發揮巨大作用。 它的命令格式為它的命令格式為 下面我們求下面我們求SinsinxSinsinx在在0,Pi0,Pi上的積分值，由于上的積分值，由于這個函數的不定積分求不出，因此使用這個函數的不定積分求不出，因此使用IntegrateIntegrate命令無法得到具體結果，但可以用數命令無法得到具體結果，但可以用數值積分求值積分求如果積分函數存在不連續點，或存在奇點我們可對如果積分函數存在不連續點，或存在奇點我

40、們可對積分進行分段求解。例如函數積分進行分段求解。例如函數 在在-1，11上，上，顯然顯然x=0 x=0點是一個無窮間斷點。因此若要求其數值點是一個無窮間斷點。因此若要求其數值積分，必須在其中插入點積分，必須在其中插入點0 0 5.4 多變量函數的微分多變量函數的微分 下面是計算多變量函數的偏導數及全微分的命令與單變量基本相同 ( I ) Df,x1,x2,.,xn 計算偏導數 下面是實際的例子: 6.1 微分方程解微分方程解 在Mathematica中使用Dsolove 可以求解線性和非線性微分方程，以及聯立的微分分方程組。在沒有給定方程的初值條件下，我們所得到的解包括C1,C2是待定系數。

41、求解微分方程就是尋找未知的函數的表達式，在Mathematica中，未穩中有降函數用yx表示，其微分用yx,yx等表示。 下面給 出微分方程(組)的求解函數。 1用用Dsolve求解微分方程求解微分方程yx 解yx僅適合其本身，并不適合于yx的其它形式，如yx，y0等，也就是說yx不是函數，例如我們如果有如下操作，yx,y0并沒有發生變化. 2解的純函數形式解的純函數形式 使用Dsolve命令可以給出解的純函數形式，即y,請分析下面的例子 這里y適合y的所有情況下面的例子可以說明這一點 3求微分方程組求微分方程組例子4帶初始條件的微分方程的解 當給定一個微分方程的初始條件可以確定一個待定系數。

42、例子6.2 微分方程的數值解微分方程的數值解 在Mathematica中用函數DSolve得到微分方程的準確解，用函數NDSolve得到微分方程的數值解，當然在此處要給出求解區間(x,xmin,xmax)。 NDSolve也是既能計算單個的微分方程，也能計算聯立微分方程組。它能對大多數的常微分方程和部分偏微分方程求解。在常微分可能有一些未知函數yi，但這些未知函數都依賴于一個單變量x。 NDSolveeqn1,eqn2,y,x,xmin,xmax求函數y的數值解，x屬于xmin,xmax NDSolveeqnl,eqn2,，y1,y2,x,xmin,xmax求多個函數yi的數值解 使用Mathematica頁可以很容易的得到解的圖形。這兒給出如何觀察微商的逆函數的近似值圖形。我們使用命令Evaluate代替InterpolatingFunction能夠節省時間。 例如： 7.1 模塊模塊 下面定義有初值的變量t, Mathematica默認它為全局變量: ln1:=t=10 Out1=10 模塊中的模塊中的t為局部變量為局部變量,因此它獨立于全局變因此它獨立于全局變量量t ln2:=Modulet, t=8; Printt 全局變量t的值仍為10: ln3=t=10 Out3=10 全局變量t的值仍為10: ln6:=t=10 Out6=10 Mathematica 中的模塊