1、航舟教育教師輔導講義學員姓名： 輔導課目：數學 年級：七年級 學科教師：授課日期及時段 課 題三 角 形 的 初 步 認 識 重點、難點、考點1、 三角形的三邊和三個角的關系，角平分線、中線、高的應用2、 三角形的全等和證明三角形全等學習目標1、 知道并學會應用三角形三邊和三角的關系，角平分線、中線、高2、 學會并熟練應用三角形的全等和證明三角形全等教學內容第一章 三角形的初步認識1.1認識三角形由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。“三角形” 用符號“”表示，頂點是ABC的三角形記做“ABC”讀作“三角形ABC”。 由兩點之間線段最短，可以得到如下性質：三角形任何兩

2、邊的和大于第三邊。三角形三個內角的和等于180°。 三角形按角進行分類：（注意要著重搞清各類三角形的特征。）銳角三角形三個角都是銳角。 三角形 直角三角形有一個角是直角。（記作RtABC）鈍角三角形有一個角是鈍角。 由三角形一條邊的延長線和另一條相鄰的邊組成的角，叫做該三角形的外角。 三角形的一個外角等于和它不相鄰兩個內角的和。 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。1.2三角形的平分線和中線在三角形中，一個內角的角平分線與它對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的三角形的平分線。在三角形中，連結一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。1.3三角形的高從三

3、角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。銳角三角形的三條高在三角形的內部，垂足在相應頂點的對邊上。直角三角形的直角邊上的高分別與另一條直角邊重合，垂足都是直角的頂點。而在鈍角三角形中，夾鈍角兩邊上的高都在三角形的外部，它們的垂足都在相應頂點的對邊的延長線上。經典例題：A1、如下左圖，在ABC中，C=30°，若沿圖中虛線剪去C，則1+2等于 .CBPDE 2、如上中圖，在銳角ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，且CD、BE相交于一點P，若A=50°，則BPC= 。3、在中，如上右圖，平分，平分，與交于點， 若，則ABCED第20

4、題4、如下左圖16，已知1=42°，2=30°，3=38°，則4=_。5、如上右圖，ABC中，AB=AC=13cm，AB的垂直平分線交AB于D,交AC于E,若EBC的周長為21cm, 則BC= cm.6、如右圖，用火柴擺上系列圖案，按這種方式擺下去，當每邊擺10根時(即n=10)時，需要的火柴棒總數為( )根 A、165 B、65 C、110 D、55AD7、如圖，矩形ABCD中(AD>AB)，M為CD上一點，若沿著AM折疊，M點N恰落在BC上，則ANB+MNC=_； BNC8、請你找一個長方形的紙片，按以下步驟進行動手操作：步驟一：在CD上取一點P，將角D

5、和角C向上翻折，這樣將形成折痕PM和PN，如下左圖所示；步驟二：翻折后，使點D、C落在原長方形所在的平面內，即點D和C，細心調整折痕PN、PM的位置使PD，PC重合如下右圖，設折角MPD=，NPC=(1)猜想MPN的度數；(2)若重復上面的操作過程，并改變的大小，猜想：隨著的大小變化，MPN的度數怎樣變化？并說明你猜想的正確性。DMAMADPDPCBCNNCB1.4全等三角形1、能夠重合的兩個圖形稱為全等圖形。（能夠重合的兩個三角形稱為全等三角形。）2、兩個全等三角形重合時，能互相重合的頂點叫做全等三角形的對應頂點，互相重合的邊叫做全等三角形的對應邊，互相重合的角叫做全等三角形的對應角。3、“

6、全等”可用符號“”來表示。4、全等三角形的性質：全等三角形對應邊相等，對應角相等。【例1】 如例圖1，ABDCDB，且AB、CD是對應邊，下面四個結論中不正確的是（ ） AABD和CDB的面積相等 BABD和CDB的周長相等 CA+ABD=C+CBD DADBC且AD=BC 【分析】 由于兩個三角形完全重合，故面積周長相等，對應角對應邊相等，而ABD與CBD不是對應角，所以C符號題意 【解】 選C【例2】 如例圖2，已知ABCADE，試找出對應邊、對應角 【分析】 連結AO，將ABC沿AO翻折180°，即可得到ADE，對應元素易找，找對應元素常利用“運動法”來找 a翻折法：找到中心線

7、，經此翻折后能互相重合的兩個三角形，易發現其對應元素 b旋轉法：兩個三角形繞某一點旋轉一定角度能夠重合時，易于找到對應元素 c平移法：將兩個三角形沿某一直線推移重合時也可找到對應元素 【解】 對應角：A=A、B=D、ACB=AED 對應邊：AB=AD、BC=DE、AC=AE【例3】 如例圖3，已知ACFDBE，E=F，AD=9cm，BC=5cm，求AB的長 【分析】 AB不是全等三角形的對應邊，但它通過對應邊轉化為AB=CD而AB+CD=AD-BC，可利用已知的AD與BC求得 【解】 ACFDBE，E=F AC-BC=DB-BC，即AB=CD AB+CD=2AB=AD-BC=9-5=4（cm）

8、 AB=2（cm） （例1圖） （例2圖） （例3圖） 學生練習：1、如圖1，ABFCDE，則（ ） AB=ECD BA=ECD； CAF=CE DAB=CE （1） （2） （3）2、 如圖2，在ABC中，AB=BC=CA，AD=BE=CF，但D、E、F不是AB、BC、CA的中點，又AE、BF、CD分別交于M、N、P如果把找出的三個全等三角形叫做一組全等三角形，那么從圖中能找出全等三角形（ ） A2組 B3組 C4組 D5組3、如圖3，已知ABCBAD，AC=BD，這兩個三角形的對應邊是_與_，_與_，_與_；對應角是_與_，_與_，_與_4、如圖4，AOB繞O點旋轉180°，可以

9、與COD重合，這表明_，則AB=_，OB=_，OA=_；BAO=_，ABO=_，AOB=_ （4） （5） （6）5、如圖5，ABCADE，B和D是對應角，那么根據_可知AB=_，AC=_，ACB=_因為BE=AB-_，DC=AD-_，所以BE=_因為BCD=_-ACB，BED=_-AED，所以BCD=_7、如圖6，把ABC沿直線BC平行移動至DEF，則相等的邊是_=_，_=_，_=_8、如圖，ABCDEF，AB和DE是對應邊，A和D是對應角，找出圖中所有相等的線段和角9、 如圖，已知四邊形紙片ABCD中，ADBC，將ABC、DAB分別對折如果兩條折痕恰好相交于DC上一點E， C和D均落在F點

10、，你能獲得哪些結論？10、如圖，把ABC繞點C順時針旋轉35°，得到ABC，AB交AC于D，已知ADC=90°，求A的度數1.5三角形全等的條件三邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。當三角形三邊長確定是，三角形的形狀、大小完全被確定，這個性質叫做三角形的穩定性，這是三角形特有的性質。有一個角和夾這個角的兩邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。 垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線。線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。有兩個角和這兩個角的夾邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“角邊角”或

11、“ASA”）。 有兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“角角邊”或“AAS”）。 角平分線上的一點到角兩邊的距離相等。【例1】 下列判斷，其中正確的是（ ） A三個角對應相等的兩個三角形全等 B周長相等的兩個三角形全等 C周長相等的兩個等邊三角形全等 D有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等 【分析】 A不正確，如圖1，兩個三角形，三內角分別為30°，60°，90°，顯然不全等；B不正確，如兩個三角形周長都是60，一個三角形的三邊長為20、20、20，另一個三角形三邊長為15、20、25，顯然不全等；C正確，D如圖2，AB=AB、AC=A

12、D，第三邊上的高AE相同，顯然不全等，故D不正確 【解】選C （1） （2） （3）【例2】 如圖，已知AB=AC，AE=AD，BD=CE，說出1=2成立的理由 【分析】 利用全等三角形對應邊相等，對應角相等是證明線段或角相等的重要方法，要善于從組合圖形中分解出基本圖形，會用直觀的方法尋找需要說明相等的線段或角所在的一對全等三角形，然后再說出全等的理由 【解】 BD=CE（已知） BD-ED=CE-ED， BE=CD 在AEB和ADC中 AEBADC（SSS） 1=2（全等三角形對應角相等）【例3】 如圖，已知：AB=CD，AC=BD，試說明A=D 【分析】 若把A、D放在AOB與COD中，不

13、能直接證明全等，若連結BC，這樣已知的兩邊與公共邊BC構成ABC和DCB根據條件兩個三角形全等 【解】 連結BC 在ABC與DBC中 ABCDCB（SSS）A=D（全等三角形對應角相等）學生練習： （1） （2） 1、如圖1，已知AB=CD，AD=BC，說出1=2的理由 解：在_和_中 _（ ） 1=2（ ）2、如圖3，已知ABFDEC，且AC=DF，說明ABCDEF的理由 解：ABFDEC （3） AB=_ BF=_ 又BC=BF+_，EF=CE+_ BC=_ 在ABC與DEF中 ABCDEF（ ）3、如圖4，已知AB=CD，AE=CF，若再滿足_，或_，或_就可證明ABECDF4、如圖1-

14、5-9，已知AD=BC，OD=OC，O為AB中點，說出AODBOC的理由5、如圖，ABC和DBC中，AB=CD，AC=BD，AC和DB相交于O，說出1=2的理由6、如圖，AB=DB，AC=DC，DHBC于H，若ABC=65°，求BDH的度數7、如圖，已知AB=CD，AD=CB，E、F分別是AB、CD的中點，且AF=CE，找出圖中的全等三角形，并說明理由1.6全等三角形問題中常見的輔助線的作法1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換

15、中的“旋轉”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答一、倍長中線（線段）造全等例1、（

16、“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.例2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.應用：1、（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關系及數量關系（1）如圖 當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是 ，線段AM與DE的數量關系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0<<90)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個

17、結論是否發生改變？并說明理由二、截長補短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2、如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過點E，求證;ABAC+BD3、如圖，已知在內，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 5、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證;AB-ACPB-PC應用：三、平移變換例1 AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點，ABC周長記為，EBC周長記為.求證.例2 如圖，在ABC的邊上取兩

18、點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.應用：1、如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。五、旋轉例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數. 例2 D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E