1、對 數 函 數 及 其 性 質（1） 哈爾濱市阿城區繼電器高級中學 邢 輝一、 教材分析本小節選自普通高中課程標準數學教科書-數學必修（一）（人教版）第二章基本初等函數（1）2.2.2對數函數及其性質（第一課時），主要內容是學習對數函數的定義、圖象、性質及初步應用。對數函數是繼指數函數之后的又一個重要初等函數，無論從知識或思想方法的角度對數函數與指數函數都有許多類似之處。與指數函數相比，對數函數的應用更廣泛所涉及的知識更豐富、方法更靈活，能力要求也更高。學習對數函數是對學習指數函數知識和方法的鞏固、深化和提高，也為解決函數綜合問題及其在實際上的應用奠定良好的基礎。雖然這個內容十分熟悉，但新教材

2、做了一定的改動，如何設計能夠符合新課標理念，是人們十分關注的，正因如此，本人選擇這課題立求某些方面有所突破。二、 學生學習情況分析剛從初中升入高一的學生，仍保留著初中生許多學習特點，能力發展正處于形象思維向抽象思維轉化階段，但更注重形象思維。由于對數函數概念十分抽象，又以對數運算為基礎，同時，初中函數教學要求又降低，初中生運算能力有所下降，這雙重問題增加了對數函數教學的難度。教師必須認識到這一點，教學中要控制要求的拔高，注意學生的接受情況，關注學生的學習過程。三、設計理念本節課以建構主義基本理論為指導，以新課標基本理念為依據進行設計的，針對學生的學習背景，對數函數的教學首先要挖掘其知識背景貼近

3、學生實際，其次，激發學生的學習熱情，把學習的主動權交給學生，為他們提供自主探究、合作交流的機會，確實改變學生的學習方式。四、教學目標1知識與技能內化對數函數的概念，熟悉對數函數的圖象規律；探索研究對數函數的性質，培養學生運用函數的觀點解決實際問題；結合圖象類比指數函數，培養數形結合的思想以及分析推理的能力；2過程與方法通過具體實例，直觀感受對數函數模型所刻畫的數量關系；通過協作畫圖，靜態觀察對數函數圖形，結合動態演示，培養學生運用類比、歸納的方法探究問題，發現并歸納對數函數的性質； 通過對新知的初步應用，鞏固新知；3情感、態度與價值觀培養學生互助協作的團隊精神；滲透鍥而不舍、富有創新精神的研究

4、態度；五、教學重點與難點重點：理解對數函數的定義，掌握對數函數的圖象和性質；難點：對數函數的圖象和性質的探究及底數對對數函數值變化的影響；六、教學過程設計 教學流程：課堂小結函數性質函數圖象問題解決引出課題背景材料 教學內容：（一）設置背景、引入課題設計意圖：結合馬王堆女尸千年不腐之謎和細胞分裂實驗，既培養學生的民族自豪感和投身科學的精神，又激發學生的學習動機。師生活動：教師介紹馬王堆女尸千年不腐之謎和細胞分裂實驗，結合具體問題情境，通過問題中變量的相互影響,設置學習“觸發點”，拋出本節課課題，激發學生的探究欲望。1讓學生看材料：材料1（多媒體）：馬王堆女尸千年不腐之謎：一九七二年，馬王堆考古

5、發現震驚世界，專家發掘西漢辛追遺尸時，形體完整，全身潤澤，皮膚仍有彈性，關節還可以活動，骨質比現在六十歲的正常人還好，是世界上發現的首例歷史悠久的濕尸。大家知道，世界發現的不腐之尸都是在干燥的環境風干而成，譬如沙漠環境，這類干尸雖然肌膚未腐，是因為干燥不利細菌繁殖，但關節和一般人死后一樣，是僵硬的，而馬王堆辛追夫人卻是在濕潤的環境中保存二千多年，而且關節可以活動。人們最關注有兩個問題，第一：怎么鑒定尸體的年份？第二：是什么環境使尸體未腐？其中第一個問題與數學有關。（如圖在長沙馬王堆“沉睡”近2200年的古長沙國丞相夫人辛追，奇跡般地“復活了）那么，考古學家是怎么計算出古長沙國丞相夫人辛追“沉睡

6、”近2200年？上面已經知道考古學家是通過提取尸體的殘留物碳14的殘留量p，利用估算尸體出土的年代，不難發現：對每一個碳14的含量的取值，通過這個對應關系，生物死亡年數t都有唯一的值與之對應，從而t是P的函數； 材料2（多媒體）：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個 ，如果要求這種細胞經過多少次分裂，大約可以得到細胞1萬個，10萬個 ，不難發現：分裂次數y就是要得到的細胞個數x的函數,即； 教學內容：（二）對數函數概念引入 設計意圖：新課標強調“考慮到多數高中生的認知特點，為了有助于他們對函數概念本質的理解，不妨從學生自己的生活經歷和實際問題入手”。因此，新課引入不是按舊教材從反函

7、數出發，而是選擇從兩個材料引出對數函數的概念，讓學生熟悉它的知識背景，初步感受對數函數是刻畫現實世界的又一重要數學模型。這樣處理，對數函數顯得不抽象，學生容易接受，降低了新課教學的起點師生活動：教師：觀察，認同對數式中每一個p，都有唯一的 t值與之對應，符合函數的定義，引出對數函數定義。引導學生觀察這些函數的特征：含有對數符號，底數是常數，真數是變量，從而得出對數函數的定義：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是（0，+）師生：從對數式角度出發，討論對數式 中的底數a、真數x的取值范圍，注意： 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別如： ， 都不是對數函數 對數函數對

8、底數的限制：，且學生：解決例題1，根據對數函數定義填空；例1 （1）函數 y=logax2的定義域是_ (其中a>0,a1) (2) 函數y=loga(4-x) 的定義域是_ (其中a>0,a1) 說明：本例主要考察對數函數定義中底數和定義域的限制，加深對概念的理解，所以把教材中的解答題改為填空題，節省時間，點到為止，以避免挖深、拓展、引入復合函數的概念。 設計意圖：通過題目，進一步鞏固學生對對數函數概念的理解掌握教師：巡視課堂，個別輔導；學生-回答 教師-給與點評。 教學內容：（三）對數函數圖像及其性質探究 設計意圖：讓學生回顧研究指數函數性質的方法，通過對任務的合理分配和整合，

9、既節約教學時間，又符合教學要求，通過不同能力的學生相互帶動、啟發，使任務的完成成為可能，并在對問題的深層次思考中，同時突出了團隊合作的重要性，從而培養學生合作探究的能力師生活動：嘗試畫圖、形成感知 1確定探究問題教師：當我們知道對數函數的定義之后，緊接著需要探討什么問題？學生1：對數函數的圖象和性質教師：你能類比前面研究指數函數的思路，提出研究對數函數圖象和性質的方法嗎？學生2：先畫圖象，再根據圖象得出性質教師：畫對數函數的圖象是否象指數函數那樣也需要分類？學生3：按和分類討論教師：觀察圖象主要看哪幾個特征？學生4：從圖象的形狀、位置、升降、定點等角度去識圖教師：在明確了探究方向后，按以下步驟

10、共同探究對數函數的圖象：在投影屏上給出作圖所需數據、指數函數圖象性質對照表，做好組織、管理、啟發、評價工作。（數據見附表1）步驟一：（1）用描點法在學案坐標紙同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象 （2）用描點法在同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象 學生：發揚團隊協作精神，既要完成好各自的任務，又要在相互配合下，完成學案所規定的任務，展示探究成果。（學案見附表2）步驟二：觀察對數函數、與、的圖象特征 ，看看它們有那些異同點。步驟三：利用計算機，選取底數，且的若干個不同的值，在同一平面直角坐標系中作出相應對數函數的圖象。觀察圖象，它們有哪些共同特征？步驟四：教師：歸納出能體現對數函數的代表性圖象，在

11、學生總結的基礎上，給出性質簡表，規范性質描述和強化所得的結論。 步驟五：作指數函數與對數函數圖象的比較教師：利用多媒體展示部分學生的成果2學生探究成果 （1）如圖 41、42較為熟練地用描點法畫出下列對數函數 、 、的圖象圖41圖42（2）如圖43學生選取底數=1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，教師演示幾何畫板，得到相應對數函數的圖象。由于學生自己選擇，加上幾何畫板的強大作圖功能，學生非常清楚地看到了底數是如何影響函數，且圖象的變化。圖43（3）有了這種畫圖感知的過程以及學習指數函數的經驗，學生很明確y = loga x （a>1）、y = loga x (0<a

12、<1) 的圖象代表對數函數的兩種情形。（圖44）圖44y = loga x （a>1） y = loga x (0<a<1)（4）學生相互補充，自主發現了圖象的下列特征：圖象都在y軸右側，向y軸正負方向無限延伸；都過（1、0）點；當a>1時，圖象沿x軸正向逐步上升；當0<a<1時，圖象沿x軸正向逐步下降；圖象關于原點和y軸不對稱，并且能從圖象的形狀、位置、升降、定點等角度指出指數函數與圖45對數函數的圖象區別；如圖45在學生自主探究、合作交流的的基礎上填寫如下表格：函 數y = loga x （a>1）y = loga x (0<a<

13、1)圖 像定義域R+R+值 域RR單調性在（0，+ ）上是增函數在（0，+ ）上是減函數過定點（1，0）即x=1，y=0（1，0）即x=1，y=0取值范圍0<x<1時，y<0 x>1時，y>00<x<1時，y>0 x>1時，y<03教師引導拓展探究：（1）對數函數 與 、 與 的圖象有怎樣的對稱關系？（2）對數函數y = loga x （a>1），當a值增大，圖象的上升“程度”怎樣？說明：這是學生探究中容易忽略的地方，通過補充學生對對數函數圖象感性認識就比較全面。設計意圖：發現性質、弄清性質的來龍去脈，是為了更好揭示對數函數的本

14、質屬性，傳統教學往往讓學生在解題中領悟。本節課的設計注重引導學生用特殊到一般的方法探究對數函數圖象的形成過程，加深感性認識。利用類比的思想，小組合作的形式通過圖象主動探索出對數函數的性質借助計算機輔助教學作用，增強學生的直觀感受。教學實踐表明：當學生對對數函數的圖象已有感性認識后，得到這些性質必然水到渠成 教學內容：（四）對數函數性質應用設計意圖：鞏固所學新知，體現探究成果的應用，滲透數形結合思想、分類討論思想；嘗試完成實際應用性問題，體現“數學是有用的、數學來源于生活”這一理念。預設任務的多元性，體現了分層教學的思想。 師生活動：問題一：（幻燈）（教材p72 例8） 比較下列各組數中兩個值的

15、大?。?1) log 23.4 , log 28.5 （2）log 0.31.8 , log 0.32.7（3）log a5.1 , log a5.9 ( a0 , 且a1 ) 獨立思考：1。構造怎樣的對數函數模型？2。運用怎樣的函數性質？學生小組交流：（1）是增函數 （2） 是減函數 （3）y = loga x，分 和分類討論變式訓練：1. 比較下列各題中兩個值的大小: log106 log108 log0.56 log0.54 log0.10.5 log0.10.6 log1.50.6 log1.50.42已知下列不等式，比較正數m，n 的大小： (1) log 3 m < log

16、3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1)學生：利用學案，模仿例題解答，完成基本應用類題組。教師：引導學生思考、交流，探討解決問題的方案，給出示范解答。問題二：（幻燈）（教材p72 例9）溶液酸堿度的測量。 溶液酸堿度是通過pH刻畫的。pH的計算公式為pH= lg ，其中 表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升。（1）根據對數函數性質及上述pH的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系；（2）已知純靜水中氫離子的

17、濃度為 = - 摩爾/升，計算純靜水的pH獨立思考：解決這個問題是選擇怎樣的對數函數模型？運用什么函數性質？小組交流：pH=-lg =lg =lg1/ , 隨著 的增大，pH 減小，即溶液中氫離子濃度越大，溶液的酸堿度就越大設計意圖：1。這個環節不做為本節課的重頭戲，設置探究問題只是從另一層面上提升學生對性質的理解和應用。問題一是比較大小，始終要緊扣對數函數模型，滲透函數的觀點（數形結合）解決問題的思想方法；2。舊教材在圖象與性質之后，通常操練類似比較大小等技巧性過大的問題，而新教材引出問題二，還是強調“數學建模”的思想，并且關注學科間的聯系，這種精神應予領會。當然要預計到，實際教學中學生理解

18、這道應用題題意會遇到一些困難，教師要注意引導 教學內容：（五）歸納小結、鞏固新知教師：1議一議：（1）怎樣的函數稱為對數函數？（2）對數函數的圖象形狀與底數有什么樣的關系？（3）對數函數有怎樣的性質？2看一看：對數函數的圖象特征和相關性質對數函數的圖象特征對數函數的相關性質函數圖象都在y軸右側函數的定義域為（0，）圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數向y軸正負方向無限延伸函數的值域為R函數圖象都過定點（1，0）自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數減函數第一象限的圖象縱坐標都大于0第一象限的圖象縱坐標都大于0第二象限的圖象縱坐標都小于0第二象限的圖象縱坐標都小于0 教學內容：（

19、六）作業布置、課后復習1 必做題：教材P74習題22（A組） 第7、8、9、12題2 思考題：教材P74習題22（B組） 第2題 教學內容：（七）教學設計反思從教七年多，函數始終是高中數學教學的主線，對數函數始終是高中數學的難點。高中新課改的春風，帶來了函數教學設計上的創新，促使我們在學生學習方法上、教學內容的組織上、教學輔助手段上率先嘗試，但這只是一個起點，目前教學條件還受到制約，如計算器未能普及、課時緊容量大，都影響函數的正常教學，設計如有不合理之處敬請專家給與批評指正。謝謝指導。附表1Xy=log2XXy=log0.5XXy=log3XXy=log1/3X0.2-2.3 0.22.3 0

20、.2-1.5 0.21.5 0.4-1.3 0.41.3 0.4-0.8 0.40.8 0.5-1.0 0.51.0 0.5-0.6 0.50.6 0.6-0.7 0.60.7 0.6-0.5 0.60.5 0.8-0.3 0.80.3 0.8-0.2 0.80.2 10.0 10.0 10.0 10.0 21.0 2-1.0 20.6 2-0.6 31.6 3-1.6 31.0 3-1.0 42.0 4-2.0 41.3 4-1.3 52.3 5-2.3 51.5 5-1.5 62.6 6-2.6 61.6 6-1.6 72.8 7-2.8 71.8 7-1.8 83.0 8-3.0 81.9 8-1.9 93.2 9-3.2 92.0 9-2.0 103.3 10-3.3 102.1 10-2.1 123