1、阿基米德折弦定理：AB和BC是O O的兩條弦（即 ABC是圓的一條折弦），BCAB ,M是弧ABC的中點，則從 M向BC所作垂線之垂足 D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD。從圓周上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。角平分線定理定理1 :角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。該命題逆定理成立：在角的部到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。定理2 :三角形一個角的平分線分其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。該 命題逆定理成立：如果三角形一邊上的某個點分這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的 兩邊對應成比例，那么該點與對角頂點的連線是三角形的一條角平

2、分線。xv=uy燕尾定理因此圖類似燕尾而得名，是五大模型之一，是一個關于三角形的定理（如圖ABC，D、E、F為BC、CA、AB上點，滿足 AD、BE、CF交于同一點 0）。SABC 中，SSOB: SmOC=S BDO: SZCDO=BD : CD ；同理，SAOC: S30C=SAFO: SBFO=AF : BF;SABOC: SABOA=S ACEO: SAEO=EC : AE。推論: 共邊比例定理：四邊形 ABCD （不一定是凸四邊形），設 AC,BD相交于E,則有BE :DE=S ABC : SADC。此定理是面積法最重要的定理 .典型例題：如圖三角形 ABC的面積是10平方厘米，AE

3、=ED，BD=2DC，則陰影部分的面積是 平方厘米.答案：4 解析：過D作DM |BF交AC于M （如圖）因為 BD=2DC，因為AE=DE，所以 ABE的面積 與ADBE的面積相等，所以陰影部分的面積為 DBE的面積+ AAEF的面積，即三角形 AFB 的面積，由 DM |BF 知道ADMC 相似 CBF 所以 CM : CF=CD : CB=1 : 3，即 FM=CF,因為EF是ADM的中位線，AF=MF，所以AF=AC，由此即可求出三角形 AFB的面 積，即陰影部分的面積.BD C解：過 D作DM |BF交AC于M （如圖）因為 BD=2DC ,因為AE=DE，所以 ABE的面積與厶DB

4、E的面積相等所以陰影部分的面積DBE的面積+ AEF的面積DM |BF所以 DMC 相似 CBF 所以 CM: CF=CD : CB=1 : 3 即 FM=CF因為EF是ADM的中位線，AF=MF ,所以AF=AC所以ABF的面積10 X=4 （平方厘米）即陰影部分的面積（即 DBE的面積加厶AEF的面積）等于4平方厘米答：陰影部分的面積是 4平方厘米， 故答案為：4 .共角定理：若兩三角形有一組對應角相等或互補，則它們的面積比等于對應兩邊乘積的比。分角定理：在ABC中，D是邊BC上異于B,C或其延長線上的一點，連結AD，則有BD/CD=（sin / BAD/sin / CAD）*（AB/AC

5、）。角定理：在厶ABC中，D是BC上的一點，連結 AD。那么sin / BAD/AC+sin / CAD/AB=sin / BAC/AD。逆定理：如果 sin /BAD/AC+sin ZCAD/AB=sin ZBAC/AD，那么 B,D,C 三點共線。角定理定理的推論：在定理的條件下，且/ BAD= /CAD，即AD平分/ BAC，貝U B D C共線的充要條件是：2cos ZBAD/AD=1/AB+1/AC中線定理（pappus定理），又稱阿波羅尼斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關系。定理容：三角形一條中線兩側所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方的和的2倍。即，對任

6、意三角形 ABC，設I是線段BC的中點，AI為高線，則有如下關系：AB2+AC2=2BI2+2AI 2或作 AB2+AC 2=BC2/2+2AI 2重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的2/3。（三角形的重心是各中線的交點，）共邊定理設直線AB與PQ交于M，則S pab/S qab=PM/QM (有一條公共邊的三角形叫做共邊三角 形)共邊定理：設直線 AB與PQ交于點 M，貝U S APAB/S QAB=PM/QM證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證證法 2 : S APAB=(S APAM-S APMB)=(S APAM/S PMB+1)X S APMB=

7、(AM/BM+1)X S APMB(等高底共線，面積比 =底長比)同理，S AQAB=(AM/BM+t) S AQMB所以，SAPAB/S AQAB=S APMB/S AQMB=PM/QM(等高底共線，面積比 =底長比)定理得證！特殊情況：當 PB / AQ時，易知 APAB 與 AQAB的高相等，從而 SAPAB=S AQAB ,反之，SAPAB= AQAB，貝U PB / AQP射影定理，又稱 歐幾里得定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊 射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。是數 學圖形計算的重要定理。概述圖中，在 Rt A ABC中，

8、/ABC=90 BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下:BD2=AD -DCAB2=AC ADBC2=CD AC由古希臘著名數學家、幾何原本作者歐幾里得提出。射影定理的推廣證明歐幾里得提出的面積射影定理規定平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦。（即COSO =S射影/S原）。”設二面角M AB N的度數為a,在平面M上有一條射線 AC ,它和棱AB所成角為3, 和平面N所成的角為y,貝U sin y=sin a sin 3 （如圖）若已知二面角其中一個半平面某直線與二面角的棱所成的角，以及該直線與另一半平面所 成的角，則可以求該二面角的正弦值。折疊角公式（

9、又名：三余弦定理）：設A為面上一點，過A的斜線AO在面上的射影為AB , AC為面上的一條直線，那么/ OAC, Z BAC, Z OAB三角的余弦關系為：cos Z OAC=cos Z BACX cos Z OAB （ Z BAC 和 Z OAB 只能是銳角）通俗點說就是，平面 a的一條斜線I與a所成角為O 1, a的直線m與I在a上的射影 I夾角為O2 I與m所成角為O,貝y cos O =cos O 1*cos O又叫最小角定理 或爪子定理，可以 用于求平面斜線與平面直線成的最小角.蝴蝶定理(Butterfly Theorem):設M為圓弦PQ的中點，過 M作弦AB和CD。設AD和BC各

10、相交PQ于點X和Y,貝y M是XY的中點。去掉中點的條件，結論變為一個一般關于有向線段的比例式，稱為坎迪定理”，不為中點時滿足：1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP , 這對 2, 3 均成立。該定理實際上是射影幾何中一個定理的特殊情況，有多種推廣：M,作為圓弦是不必要的，可以移到圓外。1 )在橢圓中幗!如圖一，橢圓的長軸 A1、A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上,中心為 M(o, r) (br0 )。(I)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率(II )直線y=k1x交橢圓于兩點 C (x1,y1 ) ,D(x2 , y2) (y20 );直線y=k2x交橢圓于I 兩點 G (x3 ,

11、 y3), H ( x4, y4)( y40 )。求證：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)(III )對于(H)中的 C, D, G, H，設CH交X軸于點P, GD交X軸于點Q。求證：| OP | = | OQ |。(證明過程不考慮 CH或GD垂直于X軸的情形)從x向AM和DM作垂線，設垂足分別為 X和X”。類似地，從Y向BM和CM作垂線，設垂足分別為丫和Y設：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+證明過程圖片jW.USF：；常器.h底匕烏町-iXDJTjf.W.VW1fArjrp 滬”尸(inp j? mwF址騎罰 IfX .Ij PR事厲 V 藍十

12、ifr* Hx4)為式，兩邊同取倒數，得為1/k1x2+1/k1x仁1/k2x4+1/k2x3設：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3) 為 式，兩邊同取倒數，得 k1/x4- k2/x仁k2/x2-k1/x3，移項得 k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4將兩邊同乘以k1 k2，即得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4它與 完全一樣。這里利用兩式同時變形的方法可以較容易實現目的，有分析、有綜合, 有思維，有運算。思路的選擇有賴于對式子特征的觀察聯想。縱觀這道題的題目特征及解答過程，我們看到了用代數方程方法處理幾何問題的作用與威 力。2) 在圓錐

13、曲線中通過射影幾何，我們可以非常容易的將蝴蝶定理推廣到普通的任意圓錐曲線(包括橢圓, 雙曲線，拋物線，甚至退化到兩條相交直線的情況)。圓錐曲線C上弦PQ的中點為M,過點M任作兩弦AB, CD,弦AD與BC分別交PQ于X, Y,則M為XY之中點。而通過投影變換可以非常容易證明這個定理。射影幾何里面關于投影變換有一個重要結論，對于平面上任意兩個圓錐曲線C1,C2.任意指定C1部一個點A1和C1上面一個點B1,另外任意指定 C2部一個點A2和C2上面一個點 B2,存在一個唯一投影變換將曲線C1變換到C2而且A1變換到A2,B1變換到B2.由此對于本題，我們可以通過投影變換將C1變換成一個圓M，而將弦

14、PQ的中點M變換成這個圓的圓心。在此變換以后，弦 AB和CD都是圓M的直徑而且四邊形 ACBD是圓M接矩形，PQ也是一 條直徑，有對稱性顯然得出投影變換后M為X,Y的中點。又因為變換前后M都是線段PQ的中點，我們可以得出在直線 PQ上這個變換是仿射變換，所以變換前M也是XY的中點。3）在平行四邊形中在平行四邊形中， M為對角線AB與CD點。4）坎迪定理去掉中點的條件，結論變為一個一般關于向量的比例式，成為坎迪定理，這對2，3均成立。圓幕定理是平面幾何中的一個定理，是相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）的統一，例如如果交點為P的兩條相交直線與圓 0相交于A、B與C、D，則PA-PB

15、=PC- PD。圖I :相交弦定理。如圖，AB、CD為圓0的兩條任意弦。相交于點 P,連接AD、BC,由于/B與/ D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：/ B= / D，同理/ A= / C,所以 PAD AFC B。FX x PB = PC x PD圖n：割線定理。如圖，連接 AD、BC。可知/ B= ZD，又因為/ P為公共角，所以有4PAD*，同上證得PA x PB = PC x PD圖川：切割線定理。如圖，連接AC、AD。/PAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有ZPBC= ZD，又因為/ P為公共角，所以有r.C，易證 7 八心;圖W:PA、PC均為切線，則Z PAO=

16、 ZPCO=直角，在直角三角形中：OC=OA=R , PO 為公共邊，因此APAOAPCO。所以PA=PC，所以PA2 -PC7綜上可知，X壯學=汽 X .?是普遍成立的。塞瓦定理指在ABC任取一點0,延長AO、BO、CO分別交對邊于 D、E、F，貝V(BD/DC) X(CE/EA) X(AF/FB)=1。即是 BD*CE*AF=DC*EA*FB梅涅勞斯定理：AF BD CE .a x 話1當直線交A ABC三邊所在直線BCr AC, AB于點D E 時，FB DC EA 一推論 在AABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取 L、M、N三點，又分比是入=BLLC、卩=CM/MA、v =A

17、N/NB。于是 AL、BM、CN三線交于一點的 充要條件是入yv =1。(注意與塞瓦定理相區分，那里是入yv )=1切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，連心線平分兩條切線的夾角。如圖中，切線長 AB=AC , OA平分/ BAC。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。一條直線，在下列 5條中只要具備其中任意兩條作為條件，就可以推出其他三條結論。稱為知二推三：平分弦所對的優弧；平分弦所對的劣弧（前兩條合起來就是：平分弦所對的兩條弧）；平分弦（不是直徑）；垂直于弦；經過圓心。托勒密定理：圓接四邊形中，兩條對角線的乘積 （兩對角線所包矩形的面積）等于兩組

18、對邊 乘積之和（一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和）已知：圓接四邊形 ABCD，求證：AC BD=AB CD+AD -BC 證明：如圖1，過C作CP交BD于P,使/仁Z2，又/3= Z4, :.ACD s/BCP .得AC :BC=AD :BP , ACBP=AD BC 。又/ ACB= ZDCP ,/5= /6, aCB ZDCP .得 AC :CD=AB :DP , AC-DP=AB- CD 。 + 得 AC(BP+DP)=AB CD+AD BC .即AC-BD=AB- CD+AD BC .廣義托勒密定理：設四邊形ABCD四邊長分別為a,b,c,d,兩條對角線長分別為m、n,則有：m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos（A+C）1. 任意凸四邊形 ABCD，必有AC- BDC AB- CD+AD BQ當且僅當 ABCD四點共圓時取等號。2. 托勒密定理的 逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對