1、均均 值值 不不 等等 式式基本不等式基本不等式abba2均值定理：均值定理：當且僅當當且僅當a=b時，式中等號成立。時，式中等號成立。兩個正實數的兩個正實數的算術平均值大于算術平均值大于或等于它或等于它的幾何平均值的幾何平均值(0,0)2a babab稱為它們的稱為它們的幾何平均數幾何平均數ab2ab稱為正數稱為正數a、b的的算術平均數算術平均數2212( ,)abab a bR定理 （重要不等式）,aabb令22abab定 理均 值 不 等 式上述推導體現了數學中由一般到特殊的思想上述推導體現了數學中由一般到特殊的思想2abab* 均值不等式給出了兩個正實數的算術平均數與幾何平均數的關系，

2、這個不等式能否推廣呢？例如，對于3個正數，會有怎樣的不等式成立呢？(前述稱為基本均值不等式也稱二元均值不等式)33abca b c?如何證明這個猜想呢類比思想應用類比思想應用定理定理3 三元均值不等式：三元均值不等式：a、b、cN*當且僅當當且僅當a=b=c時，式中等號成立。時，式中等號成立。語言表述：語言表述：三個正實數的算術平均值大于或等三個正實數的算術平均值大于或等于它的幾何平均值于它的幾何平均值2220abcabbcca3322xyxyxx yy3322333xyxx yxyy.,等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當那那么么已已知知cbaabccbaRcba 3333同理三元均值不等式

3、也可由同理三元均值不等式也可由 換元得換元得到，到， 只要證明以下不等式成立：只要證明以下不等式成立： cabcabcbacba 222 abccabbabaabccba33333223333 因為證明 abcabbacba3332233 cbaabccbabacba 322 . 021222 accbbacba abcbcacbabacba32222 1212nnnaaaa aanbaababbaba222221、四個均值不等式鏈平方平均數平方平均數 算數平均數算數平均數 幾何平均數幾何平均數 調和平均數調和平均數2、正數a1,a2, ,an(多元均值不等式)0,(22bababa如常見變式

4、：)0,(222baabba如常見變式：2:,01baabab求證、已知例當兩項之積為一個常數直接用均值不等式，用當兩項之積為一個常數直接用均值不等式，用a、b代換兩數（有積定直接用均值不等式）代換兩數（有積定直接用均值不等式）當一個兩項之積與另一個兩項之積的積是個常數直接用均值不當一個兩項之積與另一個兩項之積的積是個常數直接用均值不等式等式a、b代換每項內兩數，再用不等式兩邊相乘的基本定理來代換每項內兩數，再用不等式兩邊相乘的基本定理來解（積積定值直接用）解（積積定值直接用）直接用三元均值不等直接用三元均值不等式來解式來解練習練習4：已知已知:a,b,c均為正數均為正數,求證求證:3bcac

5、ababcabc 21:, 0. 2xxx求證已知例246aa24求證0,已知a:練習二項之積為一個常數直接用二項之積為一個常數直接用均值不等式均值不等式a、b代換即可代換即可.baabbaba22,. 3為正數，求證：已知例abba22baab22技巧技巧（構造法），當不等式左邊含有元數時，我們采用構構造法），當不等式左邊含有元數時，我們采用構造不等式來證明，再不等式兩邊相乘或相加原理求解。造不等式來證明，再不等式兩邊相乘或相加原理求解。由基本不等式推出的幾個常用構造不等式：由基本不等式推出的幾個常用構造不等式：帶常數不等式帶常數不等式兩邊乘上兩邊乘上a或或b都可以構造帶都可以構造帶元數的不

6、等式元數的不等式cbaaccbbacba222,求證：為正數，練習：已知證明證明：因為因為所以：兩邊相加所以：兩邊相加利用帶元數的構造不等式，利用帶元數的構造不等式，構造出不等式左邊各項所構造出不等式左邊各項所帶元數，再利用不等式兩帶元數，再利用不等式兩邊相乘或相加求解。邊相乘或相加求解。abccbaaccbbaRcba222222:,:.4求證已知例不等式分母和右不等式分母和右邊交換，構造不邊交換，構造不等式相加等式相加用求差法證明例用求差法證明例4：求差法常用來證明不等式，一般需配求差法常用來證明不等式，一般需配項化為平方差的連加形式，因為項化為平方差的連加形式，因為abc都大于都大于0

7、，這種式子最終都大于，這種式子最終都大于0的的。兩個兩個正數正數的積為的積為常數常數時，它們的和有最小值；時，它們的和有最小值；兩個兩個正數正數的和為的和為常數常數時，它們的積有最大值。時，它們的積有最大值。)0, 0(2baabba均值不等式均值不等式 即：積定和最小，和定積最大，可用于即：積定和最小，和定積最大，可用于最值求解。最值求解。在求最值時必須強調的三個條件：一正，二定，三相等，缺一不可注意：注意：”一正二定三相等一正二定三相等”是指利用均值不等式是指利用均值不等式 證明或求最值必證明或求最值必 須強調的三個特殊要求：須強調的三個特殊要求：)0, 0(2baabba（1）一正）一正

8、：各項都為正數（：各項都為正數（a、b0，由，由ab做成的兩項也需做成的兩項也需0）（2）二定：）二定：兩項積兩項積為定值，和有最小值為定值，和有最小值 兩項和兩項和為定值，積有最大值為定值，積有最大值（3）三相等：求最值時一定要考慮不等式）三相等：求最值時一定要考慮不等式是是 否否能取能取“”，取的值是否在已知的區間內，取的值是否在已知的區間內，否則否則會出現錯誤會出現錯誤注：用不等式證明和求最值是必須每步驗證是注：用不等式證明和求最值是必須每步驗證是否符合否符合的取值范圍則，為正數，且，、已知例abbaabba35的取值范圍則，為正數，且，練習：已知babaabba3ab9a+b6解：解：

9、例例6、（、（1）一個矩形的面積為）一個矩形的面積為100m2，問，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長為）已知矩形的周長為36m，問這個矩，問這個矩形的長寬各是多少時，它的面積最大？最形的長寬各是多少時，它的面積最大？最大面積是多少？大面積是多少？解：設矩形長為解：設矩形長為a,寬為寬為b 則則S=ab=100，L=2（a+b） 因為因為a+b =20 當且僅當當且僅當a=b=10,a+b=20 所以所以L 40，當，當a=10,b=10時時L最短，為最短，為40.解：設矩形長為解：設矩

10、形長為a,寬為寬為b 則則S=ab，L=2（a+b）=36 因為因為a+b =18 當且僅當當且僅當a=b=9,axb=81 所以所以S 81，當，當a=9,b=9時時S最大，為最大，為81.例例6解：解：利用均值不等式求函數最值的步驟利用均值不等式求函數最值的步驟:練習練習1)1)若若x0,f(x)= x0,f(x)= 的最小值為的最小值為_;_;此時此時x=_.x=_.xx31212f(x)3xx 解解: :因為因為x0 x0, , 若若x x 0)的單調性的單調性.1ytt 5/2(x=0)三不等，改用三不等，改用“單調性單調性”變形變形: :上的值域。，在）求函數（的最小值；）求函數（

11、的最小值；）求函數練習：（321131sin5sin21512222xxyxxyxxy例例 1 1:解解:, 01xmax2422 ,.327xx xy當時31224()2327xxx21(1)(22 )2yxxxxx 構造三構造三個數相個數相 加等于加等于定值定值.用三元均值不等式用三元均值不等式求最值求最值42(2)(02)yxxx2 函數的最大值？422yxx解：2221422xxx3222142322327xxx22max2342,33227xxxy當且僅當即A、6B、C、9D、1266 （）C232233112333123922222yxxxxxxxx解析：21223xx當且僅當時上

12、式取等號即3x9miny例例13 求函數 的最小值)3(31xxxy調的作用。解題時不能忽視函數單、三相等”原則嚴格遵循“一正、二定求函數最值時，提醒：在用基本不等式小結：小結：利用均值不等式利用均值不等式求最值時注意：求最值時注意：2、不能直接利用定理時、不能直接利用定理時，注意拆項、配注意拆項、配項湊定值的技巧項湊定值的技巧1、一正、二定、三相等；、一正、二定、三相等；缺一不可缺一不可（拆項時常拆成兩個相同項）（拆項時常拆成兩個相同項）。 閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯，閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯， 指出有錯誤的地方。指出有錯誤的地方。1121.abRabab1.已知 ，且，求

13、的最小值. 2411,1222)11)(2(11,12的最小值為、及解法二：由baababbababaRbaba五、錯五、錯題辨析題辨析223當且僅當當且僅當baab2即即:ba2時取時取“=”號號122baba而222221abbbaaba22baab23正解正解即此時即此時223minz 2 、求函數 的最小值下面甲、 乙、丙三為同學解法誰對？試說明理由) 0(322 xxxy甲：由 知 ，則 0 x03,022 xxxxxxxy623223222 2333min3332,2 62 1822xxyx當且僅當即時2231222yxxxxx乙：332432123yxxx(錯解原因錯解原因是是1/x=2/x無法無法解等號解等號取不到取不到)(錯解原因是錯解原因是不滿足積定不滿足積定)丙：, 023, 022xxxxxxxy232323222時，上式取等號即當且僅當3243232xxx33min3623293y332293232323yxxx構造三個構造三個數相數相 乘乘等于定值等于定值.注：拆項注：拆項時一般拆時一般拆成二個相成二個相同的項同的項一正一正二定二定三相等三相等2.若若x0,當當x= 時時,函數函數 有最有最 值值 .xxy943.若若x4,函