1、科目：數(shù)學(xué)（理科）（試題卷）注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在答題卡和該試題卷 的封面上，并認(rèn)真核對(duì)條形碼的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和科目。2 .選擇題和非選擇題均須在答題卡上作答，在本試題卷和草稿紙上作 答無(wú)效?？忌诖痤}卡上按答題卡中注意事項(xiàng)的要求答題。3 .本試題卷共5頁(yè)。如缺頁(yè)，考生須及時(shí)報(bào)告監(jiān)考老師，否則后果自 負(fù)。4 .考試結(jié)束后，將本試題卷和答題一并交回。姓 名準(zhǔn)考證號(hào)絕密啟用前高考湘軍2019年長(zhǎng)沙市高考模擬試卷（一）數(shù)學(xué)（理科）長(zhǎng)沙市教科院組織名優(yōu)教師聯(lián)合命制滿分：150分 時(shí)量：120分鐘說(shuō)明：本卷為試題卷，要求將所有試題答案或解答做在答題卷指定位置上一、選擇

2、題（本大題共 8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1.已知z是復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，（1-i）z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 P,若P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是模等于 2的負(fù)實(shí)數(shù)，那么z =A.1iB.1+i C.1iD.i2,已知不等式 士上下。的解集為（f2）, m是二項(xiàng)式（ax?）6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，那么7 ma 7 = ax bxa -2bA . 15B. -5C. -5aD. 5223.以雙曲線匕=1的離心率為首項(xiàng)，以函數(shù)f（x）=4x-2的零點(diǎn)為公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)45的和Sn二33八 2n 12r 42nA. 3x（2n -1B. 3-C- - - D.

3、 422n33334.和體積為已知幾何體M的正視圖是C. 6兀+4 J3和生3n3A. 9900B. 10100C. 5050 D. 49506.與拋物線y2 =8x相切傾斜角為1350的直線L與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是 A和B,那么過(guò)A、B2兩點(diǎn)的最小圓截拋物線 y =8x的準(zhǔn)線所得的弦長(zhǎng)為A. 4B. 2 V2C. 27.已知直線l與平面a平行，P是直線l上的一點(diǎn)，平面久內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)B滿足：PB與直線l成600。那么b點(diǎn)軌跡是A.雙曲線B.橢圓C.拋物線8.使得函數(shù)f (x )=1 x29x7(a E x Wb )的值域?yàn)?55D.兩直線a,b （a b ）的實(shí)數(shù)對(duì)（a,b ）有（）對(duì)A. 1B

4、. 2C. 3D.無(wú)數(shù).填空題：（每大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在題中的橫線上） 選做題（從13題、14題和15題中選兩題作答，全做則按前兩題記分）,隨機(jī)取值a ,G（a）1的概率9 . G（x）表示函數(shù)y =2csx+3的導(dǎo)數(shù)，在區(qū)間4,立1上xWPCTQ 時(shí),10 .已知向量 a =(x, y ) b = (x -2,1),設(shè)集合 P=x|a_Lb , Q=x|b0, y A0,z 0,x+2y+3z =3 ,那么(x+2)2+(2y+2)2+(3z+1)2 的最小值 4y 6z 2x2216 .方程 + -=1（a,b e1 , 2, 3, 4,，2019

5、）的曲線中，所有圓面積的和等于 a b三、解答題：(前三題各 算步驟)17.函數(shù) f (x )=6cos2心率最小的橢圓方程為 12分，后三道題各13分，滿分75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演x-+3sinx -3(co 0心一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示，A為圖像的最高點(diǎn)，B.C為圖像與x軸的交點(diǎn)，且AABC為正三角 形.(1)若xw 0,1,求函數(shù)f(x )的值域；18.如圖一， ABC是正三角形， 4ABD 使得4ABD與4ABC成30o的二面角是等腰直角三角形，AB=BD=2DABC,如圖二，在二面角。將4ABD沿邊AB折起, D - AB - C 中.f(x0 +1 刈1 .求D、C

6、之間的距離;(2)求CD與面ABC所成的角的大小；求證：對(duì)于AD上任意點(diǎn)19.某地政府鑒于某種日常食品價(jià)格增長(zhǎng)過(guò)快，欲將這種食品價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對(duì)這種食品生產(chǎn)廠家提供政府補(bǔ)貼，設(shè)這種食品的市場(chǎng)價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)16 Ex W24時(shí)，這種食品市場(chǎng)日供應(yīng)量p萬(wàn)千克與市場(chǎng)日需量 q萬(wàn)千克近似地滿足20關(guān)系：p =2(x+4t -14 )(x至16,t至0 ), q =24+8ln ,(16 x 0(i=i,2,3,，3n),求證：a1 log 3 a1 + a2 log 3 a2 + a3 log 3 a3+ - + a3n log3 a3n 至-n2

7、019年長(zhǎng)沙市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)選擇題：（本大題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）題號(hào)123答案ADB二.填空題：（每大題共8小題，考生作答上）9.710. （-8, 1813.（2 43, 5-）14. 345CB7小題，每小題11. 7 -ln 2315.16. 2027091n .201 2 2013=122和上+=1,2013 20126C5分，共27478AB35分，把答案填在題中的橫線12. 600三、解答題：（前三題各12分，后三道題各13分，滿分75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）1

8、7.解（1）由已知得：f （x ）=3cos6x + J3sin cox =2，3sin |0x+ |3又 MBC為正三角形，且高為2J3,則 BC=4.所以函數(shù)f （x ）的最小正周期為8,即x =2 3sin x 因?yàn)閤 w 0,1 1所以312,3 f x 2 3 .函數(shù)f (x )的值域?yàn)?,2 J31 6分因?yàn)閒 (x0仁%3,有f (x0) =2j3sin(四+三)=處，即sin理十三)=4 5435435由 xoW(；,2),得(哼 W)w(K)3 3432 2所以，即cos哼+$1)2 =3 4355故 f (xo。= 2 , 3sin(x0 ) = 2.3sin(0 )443

9、434_xo 一c 一c/ xo=2、；3sin( ) cos cos( ) sin 4344344 2 32=2 3(-)5 252=迤 12分518.解：依題意，/ABD=90 ,建立如圖的坐標(biāo)系使得 4ABC在yoz平面上，: AABD與4ABC 成 30 的二面角，/DBY=30,又 AB=BD=2 ,2 A(0 , 0, 2), B(0 , 0, 0),-2 t),C(0, 33, 1), D(1, &3 , 0),(1)|CD|= (1 -0)2 ( 3 - 3)2(0 1)2(2廣x軸與面ABC垂直，故(1, 0, 0)是面設(shè)CD與面ABC成的角為日，而CD 二.一 |(1,0,

10、0) (1,0,-1)| sin =:1202 02 12 02 (-1)2.八一冗八 冗, 6 匚0,-,: 8=1；(3)設(shè) AH=tAD= t(1 , 33 , -2)= (t,聞3t,CH =CA + AH =(0, - V3 ,1) +(t, 3 t, -2 t) = (t , &t-V3, -2 t+1),若 CH，_L BA ,則(t, V3 t- v,3 , -2 t+1) - (0, 0, 2)=0 得 t=1 , 10 分2此時(shí) CH=(1,-江，0), 22而 BD=（1, 后,0）, CH bd = - 3=-1 o,CH和 BD不垂直,2 2即CH不可能同時(shí)垂直 BD

11、和BA ,即CH不與面ABD垂直。12分19.解：(1)由 P=Q 得 2(x + 4t -14 )= 24+8ln 20 (16x0)。t= 13-一萬(wàn)1: t =- 一41x+ ln4-0, x20 (16WxW24)。x二t是x的減函數(shù)。.tm上1 24+ in20=1+in鞏1+ ln 5； 2 424 224 26t max= 黑 16+ ln = _ + ln ,二 值域?yàn)? ln 2 416 2426(2)由(1) t= - x+ ln 型 (16WxW24)。2 4 x而x=20時(shí)，1=田-二父20 + ln 名 =1.5(元/千克)2 4205 + ln524丁 t是x的減函

12、數(shù)。欲使 x 012分對(duì)于 x(0, +s)成立 u a-b+50。q真u方程x2-ax+b-2=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根 ua 0p八q是真命題u p真且q真u a -b 5 0a2 -4b 8 0a : 04b 2 0實(shí)數(shù)對(duì)（a, b）為坐標(biāo)的點(diǎn)的軌跡圖形如圖a-b +5=0解：2得 a1= - 2, a2= 6,、a -4b+8 = 0二（a, b）為坐標(biāo)的點(diǎn)的軌跡圖形的面積：（陰影部分，不包括邊界。）8分ab+5=0 口解，得a= - 3;9=20 a2Ta11分20 a2-2S= (a 5 -2)da+ (a 2 -2)da= (a 3)da + -3-2 4 -321.解：(1)設(shè)

13、 B(0, t),設(shè) Q(m, 0), t2=-|m|, mf( 1sb )=(1 -b) log23 1 + blog3b,記 g(b)= (1-b) log31zib + blog 3b, 221 -b得：g (b)= log 3b-log3-2當(dāng) be (0,1)時(shí) g(b) 0,.二g(b)在(0 , )遞減，在(1 , 1)上遞增；, g(b)g(- )=-1 o33alog3a+blog3b+clog 3c -11一1一當(dāng)a=b=c=一時(shí)等3成乂。3152)y -a(a -4)4若a為常數(shù)，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)v, L為定值的條件是a- 15 =0,即a=15時(shí)，L= J15，存在定直線

14、x=,以PM為直徑的圓與直線x=15的相交弦長(zhǎng)為定值 4彳5。13分 4422.解：(1)證明：: a+b+c=1 , a、b、cC (0 , +0), alog3a+blog3b+clog 3c= alog3a+blog3b+(1 - a- b) log 3(1 - a- b)=f(a)那么 f (a)= log 3a- log 3(1- a- b),當(dāng) a C (0 ,1b)時(shí) f(a)0,(2)證明：n=1 時(shí)，a + a2+a3=1, ai0(i=1,2,3),由(1)知a1 l o g a1 + a2 log 3 a2+ a3 log 3 a3 -1 成立，即 n=1 時(shí)，結(jié)論成立。

15、k 一 .設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即 a1 + a2+ a3k =1, ai0(i=1,2,3,3 )時(shí)ai log3 ai+a2 log3 a?+a3 log3 a3+ - +a3k log3 a3k - k.k+1. ,那么，n=k+1 時(shí)，右 a1 + a2+ -+a3k + a3k+ + + a3k+=1 , ai0(i=1,2,3，,3 )時(shí),.一.a a9a3k. 一令a3k +- + a3k+=t,則，+ . + =1,由歸納假設(shè)：3 131 -t 1 -t 1 -ta11 -t. aa2logK百l0g3a23k+ + log 3a3k1 -ta log 3 a + a2 log

16、3 a?+ a3 log 3 a3+ + a3k log 3 a3k-(1-t) log 3(1-t) -k(1-t).嗎+申=1, t -s t -s t -s,二 a1 log3 a1 + a2 log3 a2+ a3 log 3 a3+ - + a3k log 3 a3k)-k(1-t)+ (1 -t) log3(1-t)-(1)設(shè)4；13T+ .Ta3k+=S，則4、+.一+4才工2由歸納假設(shè)：5 log3阻士 +10g 3 +吆10g 3 2型)-k.t-st-s t-s t-s t-s t-s, a3k 由 10g 3 a3k 書 + a3k 電 10g 3 a3k 攵 + + a

17、23k 10g3 a22k )-k(t-s)+(t-s)10g 3(t-s)(2) 10分a2 3k :：1+ + a3k +=s,a2 3k 1 a2 3k 2a3k 1 (+ + + =1s ss由歸納假設(shè)同理可得:a2 冷k 噂 1 0 g a23k+ a2x3k42 log 3 a2X3k 電 + % + 10g 3 辦+ ) *s+ s 10g 3s 將(1)、(2)、(3)兩邊分別相加得：a lo g a + a2 log3 a2+ . +a3k log3 a3k+ - +a22k log3 a22k+ +a3k+ log3 a3k中-k(1-t)+(t- s)+s+ (1-t) log 3(1-t)+ (t-s) 10g 3(t-s) + slo