1、2018年考研數學二真題及答案解析一、選擇題(4分)11右 但*+ ox，=1,則()1 ,A、 a 7d = 12 -Dy d = *b = l2【答案】B2 .下列函數可導的是()/(!)=忸| sE|h|(A)(B)/(x) = x sin(C)(D)A、/(x) = |.x|sin|x|B、/(x) = |x|sinjxjJ /(x) = cos|x|D* /(x) = cosjx|【答案】D3 .設出數若/(x) + g(x)在R上連續，則()A、d = 3rb = 18. a = 3(b =2Cx a =-3rb = 1D、d =-3,b =2【答案】D4設函數f(x)在0,1上二

2、階可導則()A、當, <0 時，/|-|<0B、當f(Q<0時，/ - <0u當/>。比，口<0D、當廣>0時，【答案】D5.設必=良史¥出則()-2- 1 + JTA、M > N > KB、M > K > NU K> M > ND、K > N > M【答案】C6j 去|(1 孫,沖1 (I -xy)(fy' =()A-35氏67C、8D I9【岸C7,下列矩陣中，與矩陣相似的為一 1 1 -1A. 0 110 0 1-1 0 -rB. 0 110 0 11 1 -rC. 0 1 00

3、0 1-i o -rD. 0 1 0_0 0 1【答案】A&設A,B為n階矩陣區Y)表示分塊矩陣，則A、r(A,AB) = r(A)B、 r(A,BA)-r(A)U r(4,8) =加以r(4),r(為D、【答案】A二、填空題(4分)9. lim x2arctan(,r+ 1)- arctanr =【答案】110. 曲線在其拐點處的切筋程為【答案】y = 4x - 3r+<r 1,11. I -dx-八 4工+ 3注12 .曲線在力=對應處的曲率4【答葡-3c-13 .設由數，.由方程Jnz+ /T=超?確定，則浜【筋】-414 .設z為3階矩陣則A的實特征值為【答室】2三、解答

4、題(10分)15 .求不定根分J色"arctan金，-【答室】 、?T令加工 _ = / Lx = ln(r:= -jdt,由第二換元去和分部積分公式可得原式+1)2 arctanz -下出-J2t(t2 +1)-arctan/dft_ j orc tan + )* = _ (r + ly arctan t J (廠 +1) df 2221 ? , 1 . 1=-(+1) arc tan z 廣tC2621 、； 1 I 12= -e21 arctan& -1 -(ex-l)2-(ex-l)2+C26216 .已知連續函數/(x)(I)求/G)；(H )若/(工)在區間。,1

5、1上的平均值為工,求合的值。【答案】(I )令工一，=,則由=-du，從而，"(鬣一。應- j x u)fudu£ f(u)dti -£ iif(u)du原積分方程可化為燦 - J：叭口城=兩邊關于工求導可得hi 2ax由于/(h)連續1可知也)3"可導r進而有了(工)可導因此再求導可得/&) + /(工)=2q ,且/(0) = 0.解該一階線性微分方程可得f(x) = e-Jf (2aeT +c),將/(O) = 0代入可得c = -2a故外=2批1 十)(n)由題意可知1 =1 /(工)烝=t /(x)出1 00/0在方程/(工)+f(u)

6、du = 2ax兩端令工二1可得/+ £/(“)" = 20，又 1) = 2。(1-二)eea =-217 .設平面區域D由曲線計算二重積分”(工+ 2y)dxdy【答葡根據積分區域,原積分可化為去J：0 + 2)力- /去，令 x = f-sinr? j = 1 - cosz 換元可得，±S; =f2' (r- sinr)(l-cosr)+ (1-cosr)2rf(r-sin/)J 0=Jo (r -sinr)(l- cosz)2rff+ £ (l-cosf)'rfr - 3tt +5笈18 .已知常數證明：(工_ 1)(工_卜丁工+

7、 2左1口工一1)之0，【答案】原不等式可轉為當o vxv 1 時，僅需證X ln2jr+2klnx 1M0當乂>=1 時，僅需證x lr? x+2klnx1之 0令產(x) = xk？ x 十 2斤 Inx1, Inx 2k x - 2 In x + 2k00F(x) = 1-2+ =,X XX當Ovxv 1 時，易知 F'«)>0, 從而尸(五)在(。上單調遞增.因此，當0 < x < 1時，有尸(x) < F(l) = 0，得證.當XA=1時，令g(.t) = H 21口t + 24，gx) = 1 -.X易知，當 1<1<2

8、時, gx)<0 ；當工>2 時，gx)>0, 從而g。)在Q+8)上的最小值在丁 = 2處取到,而g(2注0. 可知，當工七(1,+00)時r從而尸(工)=題D之0 ，且僅在點工=2處可能有F'(x)=0。 X從而，當工曰(L)時,有F(x)>F(l)=0也即，一In1+ 24111才一1之0。綜上所述，對任意的工e (0, +QO)均有(工一1)(1In，x + 21nx-l)>019,將長為2m的法絲分成三段若存在，求出最小值.【答案】設分成的三I殳分別為兒弘£ , 則有x+y+w=2及凡立2>。f 圓的面積為£= X1 t

9、正方形的面積為S、- -y" .1 4?r- 16.正三角形的面積為S = "一，總面積§ = J-V2 + J-v2 + 1/25 364笈1636HJ問題轉化;為在條件乂+y+z=Z x,y.z>OT , 求可數二的最小值 4乃 16'36今1 =x2 + V2 + A(x + y+ z - 2)4開36-生=2+九=0Sz 18=x+v+z-2=0._2抬笈"岳+ 41+ 9解得歸條件&值點為，y = L 8史“5+4十 + 9_18- 6r + 4 下 + 9在該點的函數值即為最小值r最小值為37-12+9出(色冗-4耶+9

10、)-20,已知曲線一點0(0 , 0)，點A(。, 1)0設P是L上的動點.求此時S關于時間t的變化 率.【答案】設在t時刻，p點坐標為(4 ,、xS).工“力x2(u)du1 (4則5«)二;1 + Z.工 占I y1Q4+ X-x(/)V(?) - - x2 (Z)x'(Z)299由題可知當二3 ， x(t) = 4從而S'(r) = 10-2L設數列4滿足證明4收斂，并求,【答案】*一由題意可知x的1 = In：,首先證明工九的有界性：證明% >0 :當門=1時，再：>0 ,設77 =兀時r > 0 reXt -1則與+i = In,其中e &

11、#39; -1 >f4可知4+1 > In 1 = 0 ,因此對于任意的n ,有鶯，> 0 。 再證明的單調性：T 工 c" -1工 c" -1 1 .丫心“又因為c n - e = =e。= 令于 9= e-l-x !，則 fx)= 一修工， fr(x) - -re2Z設實二次型其中日是參數求了(再/2，/)=0：的解；(2)求/(甬,x” x3)的規范形.【答案】玉-x; + x3 =0(1)由/(陽，工/)=0可知，%+三=0一X. +華=0L山j -1 r該齊次線性方程組的系數矩陣為/= 011.1 0 a將其經初等行變換化為階梯形矩陣，即 <

12、; 0(x > 0), 故當工 >0時，/(x)</(0)=0 , 從而，銷* < 0 , 三<o ,可知4單調遞減.練上r 吃為單調遞減有下界的數列r可知與收斂.設lim/ = a 在/= * -1兩邊同時令打f oo, 再TW得。/ = ea-l r解得盤=0，故lim%=0. 見f工1 -10 10 011(7-2當。=2 ：時1/f.其通解為左(一2,1,1/，左eR-(2 )當口 ± 2時.直接仰徘退化的線性變換yx 二%一三+ £二0一三1必=一+可將原二型化為規范形/ = X + yl + £ , ji =玉 _三-+X

13、.當日=2 I時，做非退化的線性變回心二三十三，J產三可將原二次型化為規范形/ - y12 + + (Ji + 31 )： =- 2 + 2 jvt2,該二次型正慣性指數為2 .負慣性指數為0 , 故其合同規葩形為三十.1J.2工已知日是常數，目矩陣求 ；求滿足AP=B的可逆矩陣P.【答案】(1)由即意可知：延陣A與B是等價的，故”=世玲. 對矩陣A和B分別進行初等行變換，即-4 =112- 101-a211100一 1001”10212-a-1 11 11 a-1當時，巧/型丐)=0有唯一蟀(0.0.0)、顯然,r(A) = 2 ,故a = 2令，=（第&QB=（人斗& 由二笈可知：再二力二LZ3：，苫力小二月的解.因為122j 12(A B)=130! 0127-2i -11L4-122；12y01-21-1-1-1000：000I1 T1一 001000102 2 : 11 2 13