1、中考數學培優（含解析）之圓的綜合含詳細答案一、圓的綜合1.如圖，四邊形ABCD是。的內接四邊形，AB=CD.（1）如圖（1）,求證:AD/BC;（2）如圖（2），點F是AC的中點，弦DG/AB,交BC于點E,交AC于點M,求證:AE=2DF;在（2）的條件下，若DG平分/ADC,GE=5/3,tan/ADF=4j3，求。O的半徑。凰【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）JT29【解析】試題分析：（1）連接AC.由弦相等得到弧相等，進一步得到圓周角相等，即可得出結論.（2）延長AD到N,使DN=AD,連接NC.得到四邊形ABED是平行四邊形，從而有AD=BE,DN=BE.由圓內接四邊

2、形的性質得到ZNDC=ZB,即可證明MBEACND,得到AE=CN,再由三角形中位線的性質即可得出結論.（3）連接BG,過點A作AHLBC,由（2）知/AEB=/ANC,四邊形ABED是平行四邊形，得到AB=DE.再證明ACDE是等邊三角形，ABGE是等邊三角形，通過解三角形ABE,得到AB,HB,AH,HE的長，由EC=DE=AB,得到HC的長.在RtAHC中，由勾股定理求出AC的長.作直徑AP,連接CP,通過解4APC即可得出結論.試題解析：解：（1）連接AC.AB=CD,弧AB視CD,z.ZDAC=ZACB,.AD/BC.(2)延長AD至ijN,使DN=AD,連接NC.AD/BC,DG/

3、AB,一.四邊形ABED是平行四邊形，AD=BE,.1.DN=BE,ABCD是圓內接四邊形，/NDC=/B./AB=CD,1.MBE0小ND,AE=CN./DN=AD,AF=FC,，DF=CN,，AE=2DF.MIN(3)連接BG,過點A作AHBC,由(2)知/AEB=/ANC,四邊形ABED是平行四邊形，AB=DE.DF/CN,，/ADF=/ANC,./AEB=/ADF,，tan/AEB=tanZADF=4>/3,DG平分/ADC,./ADG=/CDG.AD/BC,/ADG=/CED,ZNDC=ZDCE./ABO/NDC,./ABC=/DCE.AB/DG,./ABC=/DEC,/DEC

4、=ZECD=ZEDC,工DE是等邊三角形，.AB=DE=CE-/GBC=ZGDC=60;/G=/DCB=60；.ABGE是等邊三角形，BE=GE=573.tanZAEB=tan/ADF=4J3,設HE=x，貝UAH=473x.ZABE=ZDEC=60°,，/BAH=30°,.BH=4x,AB=8x,-4x+x=5>/3,解得：x=73.AB=8T3,HB=4T3,AH=12,EC=DE=AB=8V3,.HC=HE+EC=>/3873=973.在RtAAHC中,ac=Jah2hc2"122(9拘2=3而.作直徑AP,連接CP,/ACF=90°,

5、/P=ZABC=60°,sin/P=-AC,APA。上廿2.謝sin60,3oo的半徑是VT29.2.如圖，已知AB是。O的直徑，點C,D在。O上，BC=6cm,AC=8cm,ZBAD=45°.點E在。0外，做直線AE,且/EAC=ZD.(1)求證：直線AE是。的切線.(2)求圖中陰影部分的面積.B【答案】見解析；(2).4【解析】分析：(1)根據圓周角定理及推論證得ZBAE=90,即可得到AE是。的切線;(2)連接0D,用扇形ODA的面積減去AAOD的面積即可.詳解：證明：(1);AB是的直徑，ZACB=90,即ZBAC+ZABC=90,ZEAC土ADC,ZADC=ZAB

6、C,ZEAC之ABCZBAC+ZEAC=90,°即ZBAE=90直線AE是。O的切線；(2)連接ODBC=6AC=8ABVe28210.OA=5又;OD=OAZADO=ZBAD=45ZAOD=90°'''與影=S扇形ODASAOD90-1=55-55360225502（cm）4B點睛：此題主要考查了圓周角定理和圓的切線的判定與性質，關鍵是利用圓周角定理和切線的判定與性質，結合勾股定理的和弓形的面積的求法求解，注意數形結合思想的應用3.在平面直角坐標系xOy中，點M的坐標為(xi,yi),點N的坐標為(X2,y2),且xiW2,yiW2,以MN為邊構造

7、菱形，若該菱形的兩條對角線分別平行于x軸，y軸，則稱該菱形為邊的坐標菱形(1)已知點A(2,0),B(0,2癡)，則以AB為邊的坐標菱形”的最小內角(2)若點C(1,2),點D在直線y=5上，以CD為邊的坐標菱形”為正方形，求直線CD表達式；(3)。的半徑為J2,點P的坐標為(3,m).若在。上存在一點Q,使得以QP為邊的坐標菱形”為正方形，求m的取值范圍【答案】(1)60°(2)y=x+1或y=x+3;(3)1WmC或-5<1分析：(1)根據定義建立以AB為邊的坐標菱形”，由勾股定理求邊長AB=4,可得30度角，從而得最小內角為60°；(2)先確定直線CD與直線y=

8、5的夾角是45°,得D(4,5)或(-2,5),易得直線CD的表達式為：y=x+1或y=-x+3；(3)分兩種情況：先作直線y=x,再作圓的兩條切線，且平行于直線y=x,如圖3,根據等腰直角三角形的性質分別求P'B=BD=1,PB=5,寫出對應P的坐標；先作直線y=-x,再作圓的兩條切線，且平行于直線y=-x,如圖4,同理可得結論.詳解：(1)二.點A(2,0),B(0,2，3),，OA=2,OB=2j3.在RtAOB中，由勾股定理得：AB=亞一(2而2=4,ABO=30°.四邊形ABCD是菱形，ZABC=2ZABO=60°.,AB/CD,ZDCB=180

9、-60°=120.以AB為邊的坐標菱形”的最小內角為60°.故答案為：60°(2)如圖2.以CD為邊的坐標菱形”為正方形，直線CD與直線y=5的夾角是45°.過點C作CHDE于E,，D(4,5)或(-2,5),，直線CD的表達式為：y=x+1或y=-x+3；(3)分兩種情況：先作直線y=x,再作圓的兩條切線，且平行于直線y=x,如圖3.OO的半徑為J2,且OQ'D是等腰直角三角形，OD=J2OQ'=2,P'D=3-2=1.aDDB是等腰直角三角形，PB=BD=1,.P(0,1),同理可得：OA=2,.AB=3+2=5.AABP是等

10、腰直角三角形，PB=5,P(0,5),當1前W5時，以QP為邊的坐標菱形”為正方形；先作直線y=-x,再作圓的兩條切線，且平行于直線y=-x,如圖4.一。0的半徑為J2,且OQ'D是等腰直角三角形，1-OD=72OQ'=2,BD=3-2=1.4口口3是等腰直角三角形，,.P'B=BD=1,P'(0,-1),同理可得：OA=2,.AB=3+2=5.AABP是等腰直角三角形，PB=5,P(0,-5),當-5前W-1時，以QP為邊的坐標菱形”為正方形；綜上所述：m的取值范圍是1前w5或-5前w-1.卸點睛：本題是一次函數和圓的綜合題，考查了菱形的性質、正方形的性質、點

11、P,Q的坐標菱形”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用圖象解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，注意一題多解，屬于中考創新題目.4.已知：AB是。0直徑，C是。0外一點，連接BC交。0于點D,BD=CD連接AD、AC.(1)如圖1,求證：/BAD=/CAD(2)如圖2,過點C作CHAB于點F交。0于點E延長CF交。0于點G.過點作EHLAG于點H,交AB于點K,求證AK=2OF；(3)如圖3,在(2)的條件下，EH交AD于點L,若0K=1,AC=CGJ：線段AL的長.12【答案】(1)見解析(2)見解析(3)105得到/ADB=90°,再證明AB44ACD即/GAB=/BE

12、G.再證KFEBFE,得到【解析】試題分析：(1)由直徑所對的圓周角等于90。,可得到結論；(2)連接BE.由同弧所對的圓周角相等，得到BF=KF=BK.由OF=OB-BF,AK=ABBK,即可得到結論.(3)連接CO并延長交AG于點M,連接BG.設/GAB=.先證CM垂直平分AG,得到AM=GM,ZAG(+ZGCM=90°,再證/GAF=/GCM=.通過證明AG®4CMG,得到1BG=GM=-AG,再證明/BGC=/MCG=.設BF=KF=a,可得GF=2a,AF=4a.2由OK=1,得至ijOF=a+1,AK=2(a+1),AF=3a+2,得至U3a+2=4a,解出a的

13、值，得至UAF,八一,HK1AB,GF,FC的值.由tana=tsdHAK=AK=6,可以求出AH的長.再由AH21一E,tanGAFtanBAD-tanBADtanBCF一,利用公式tanZGAD=,得至U31tanGAFtanBADZGAD=45；則AL=72AH,即可得到結論.試題解析：解：(1).AB為。的直徑，ZADB=90°,ZADC=90°.BD=CD,/BDA=ZCD/AD=AD,AABDAACD,/BAD=ZCAD.(2)連接BE.BG=BG,./GAB=/BEG.-.CF±AB,./KFE=90： .EHXAG,ZAHE=ZKFE=90；/AK

14、H=/EKF,ZHAK=ZKEF=ZBEF. .FE=FE,ZKFE=ZBFE=90；.-.KFEABF.BF=KF=yBK. OF=OB-BF,AK=AB-BK,AK=2OF.(3)連接CO并延長交AG于點M,連接BG.設/GAB=.AC=CG,點C在AG的垂直平分線上.1OA=OG,點O在AG的垂直平分線上,.CM垂直平分AG,.-.AM=GM,/AGG/GCM=90：.AFXCG,ZAGC+/GAF=90/GAF=/GCM=.AB為。的直徑，ZAGB=90,°/AGB=/CMG=90:.AB=AC=CG,AAGBACMG,1分BG=GM=-AG.2在RtAGB中，tanGABt

15、anGB1AG2/AMC=ZAGB=90BG/CM,/BGC=ZMCG=設BF=KF=a,tanBGFtanBFGF1廣GF-,GF=2a,tanGAFtan2AFAF=4a.1 .OK=1,OF=a+1,AK=2OF=2(a+1),AF=AK+KF=a+2(a+1)=3a+2,，3a+2=4a,2 .a=2,AK=6,.,.AF=4a=8,AB=AC=CG=10,GF=2a=4,FC=CG-GF=6.(2m)2=6,解得:HK1tan=taniHAK=,設KH=m,貝UAH=2m,，AK=jmAH2m="5,.AH=2m=125,在RBFC中,55BF1一一。_。tanBCF-./

16、BAD+/ABD=90,/FBG/BCF=90,./BCF=/BAD,FC3tanBADtanBCFtanGAFtanBAD1tanGAFtanBAD1111123/GAD=45；HL=AH,心貶AH=12°.55.如圖，正三角形ABC內接于。O,P是BC上的一點，且PB<PC,PA交BC于E,點F是PC延長線上的點，CF=PBAB=A,PA=4.(1)求證：ABPACF；(2)求證：AC2=PA?AE;(3)求PB和PC的長.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)PB=1,PC=3.【解析】試題分析：(1)先根據等邊三角形的性質得到AB=AC,再利用圓的內接四邊形

17、的性質得/ACF之ABP,于是可根據“SA爭J斷ABPACF；(2)先根據等邊三角形的性質得到/ABC=/ACB=60,再根據圓周角定理得/APC=/ABB=60力口上/CAE=ZPAC于是可判斷AC&4APC,然后利用相似比即可得到結論；133(3)先利用AC2=PA?AE計算出AE=,則PE=AP-AE=,再證4APF為等邊三角形，得44至IPF=PA=4貝U有PC+PB=4接著證明AABPACEF得至UPB?PC=PE?A=3然后根據根與系數的關系，可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的兩實數解，再解此方程即可得到PB和PC的長.試題解析：(1) ./ACP+/ABP=180

18、,又/ACP+ZACF=180,/ABP=ZACF在ABP和ACF中， .AB=AC,/ABP=/ACF,CFPB ABP9ACF.(2)在AEC和ACP中， ZAPC=ZABC,而ABC是等邊三角形，故/ACB=/ABC=60q /ACE土APC.又/CAE之PAC, AECsacp絲空，即AC2PAAE.APAC由(1)知ABPACF,，/BAP=/CAF,CFPBZBAP+/PAC=ZCAF+ZPAC /PAF土BAC=60,°又ZAPC=/ABC=60:APF是等邊三角形.AP=PF PBPCPCCFPFPA4在PAB與CEP中， /BAP=ZECP,又/APB=ZEPC=6

19、0,PABsCEPPBPA，即PBPCPAPEPEPC由(2)AC2PAAE,_2_2ACPBPCPAAEPAPEPAAEPEPA_2_2ACPBPCPAAEPAPEPAAEPEPA一2.PBPCPA2AC2PA2AB242,133因此PB和PC的長是方程x24x30的解.解這個方程，得x1,x23.-PB<PB,PB=Xi1,PC=X23,PB和PC的長分別是1和3。【點睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、圓內接四邊形的性質和等邊三角形的判定與性質；會利用相似三角形證明等積式；會運用根與系數的關系構造一元二次方程。6.如圖1,四邊形ABCD為。內接四邊形，連接ACCO、BO,

20、點C為弧BD的中點.(1)求證：/DAC=ZACO+-ZABO;(2)如圖2,點E在OC上，連接EB,延長CO交AB于點F,若/DAB=/OBA+/EBA求證：EF=EB(3)在(2)的條件下，如圖3,若OE+EB=ABCE=2AB=13,求AD的長.盅2圄3【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)AD=7.【解析】試題分析：(1)如圖1中，連接OA,只要證明/CAB=/1+/2=/ACO+/ABO,由點C是?D中點，推出CDCB,推出/BAC=/DAC,即可推出/DAC=/ACO+ZABO;(2)想辦法證明/EFB±EBF即可；(3)如圖3中，過點。作OH,AB,垂足為H

21、,延長BE交HO的延長線于G,作BNXCF于N,作ChAD于K,連接OA/CT/LAB于T.首先證明4EFB是等邊三角形，再證明AC右ACT,RtADK(BTC,延長即可解決問題;試題解析：(1)如圖1中，連接OA,-.OA=OC,Z1=ZACO,.OA=OB,.1.Z2=ZABO,uuur»juuin丁點C是bd中點，CD/CAB=Z1+/2=/ACO+ZABO,uuuCB，-1/BAC=ZDAC,/DAC=ZACO+ZABO.即(2)如圖2中， /BAD=ZBAC+ZDAC=2/CAB,/COB=2/BAC,./BAD=ZBOC, /DAB=ZOBA+ZEBA,./BOC=ZOB

22、A+ZEBA,/EFB=ZEBF,EF=EB(3)如圖3中，過點O作OHUAB,垂足為H,延長BE交HO的延長線于G,作BNXCF于N,作CKLAD于K,連接OA.CCCT/LAB于T.圖3 /EBA+ZG=90；/CFB+ZHOF=90,° /EFB=ZEBF,/G=ZHOF, /HOF=ZEOG,/G=ZEOG,.EG=EQ .OHXAB,AB=2HB, .OE+EB=ABGE+EB=2HB，GB=2HB,HB1cos/GBA=-,ZGBA=60,GB2.EFB是等邊三角形，設HF=q /FOH=30,°OF=2FH=2a13 .AB=13,EF=EB=FB=FH+BH

23、=aJ,17a,22，OE=EF-OF=FB-OF=13-a,OB=OC=OE+EC=3-a+2=1a+g=13 .NE=1EF=1a+13,224 .ON=OE=EN=(13-a)2 .BO2-on2=eb2-en2,17、2(a)22133-a)213、(a+)2解得a=3或-10（舍棄）2.OE=5,EB=8,OB=7,AC=AG.AC償ACT,CK=CTAK=AT, /K=ZATC=90,°/KAC=ZTACuuruuu_.CDCB，DC=BCRtADKGRtABTC；.DK=BT,.,FT=1FC=5,DK=TB=FB-FT=3,AK=AT=AB-TB=10,AD=AK-D

24、K=10-3=7.27.如圖，DABCD勺邊AD是ABC外接圓。的切線，切點為A,連接AO并延長交BC于點E,交。O于點F,過點C作直線CP交AO的延長線于點P,且/BCP=/ACD.（1）求證：PC是。的切線；（2）若/B=67.5°,BC=2,求線段PC,PF與弧CF所圍成的陰影部分的面積S.【答案】（1）見解析；（2）14【解析】【分析】（1）過C點作直徑CM,連接MB,根據CM為直徑，可得ZM+ZBCM=90°,再根據AB/DC可得/ACD=/BAC,由圓周角定理可得/BAC=/M,/BCP=/ACD,從而可推導得出/PCM=90°,根據切線的判定即可得；

25、（2）連接OB,由AD是。的切線，可得/PAD=90°,再由BC/AD,可得APIBC,從而得BE=CE=1BC=1,繼而可得到/ABC=/ACB=67.5;從而得到ZBAC=45°,由圓周2角定理可得ZBOC=90,從而可得/BOE=/CO曰/OC45°,根據已知條件可推導得出OE=CE=1,PC=OC=JOE2CE2亞，根據三角形面積以及扇形面積即可求得陰影部分的面積.【詳解】(1)過C點作直徑CM,連接MB,.CM為直徑，/MBC=90;即/M+/BCM=90°, 四邊形ABCD是平行四邊形， AB/DCAD/BQ/ACD=/BAC, /BAC=Z

26、M,/BCP=/ACD,ZM=ZBCP, /BCP匕BCM=90；即/PCM=90°,CMXPC,.PC與。O相切；(2)連接OB,.AD是。的切線，切點為A,OAXAD,即/PAD=90；,/11.BC/AD,/AEB=/PAD=90,/.APIBC.BE=CE=-BC=1,2AB=AC,/ABC=/ACB=67.5,°/BAC=180ABC-/ACB=45°,/BOC=2/BAC=90°,-.OB=OC,APXBC,ZBOE=ZCOE=ZOCE=45,°/PCM=90；/CPO=/COE=/OCE=45,oe=ce=1,pc=oc=Joe2

27、ce242,【點睛】本題考查了切線的判定與性質、圓周角定理、垂徑定理、扇形面積等，綜合性較強，準確添加輔助線是解題的關鍵Tt8.如圖1,是用量角器一個角的操作示意圖，量角器的讀數從M點開始（即M點的讀數為0）,如圖2,把這個量角器與一塊30。（/CAB=30。）角的三角板拼在一起，三角板的斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，現有射線C繞點C從CA開始沿順時針方向以每秒2。的速度旋轉到與CB,在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E.連接BE.(1)當射線CP經過AB的中點時，點E處的讀數是,此時4BCE的形狀是;(2)設旋轉x秒后，點E處的讀數為y,求y與x的函數關系式；(3)當CP旋轉

28、多少秒時，4BCE是等腰三角形？【答案】(1)60°,直角三角形；(2)y=4x(0<x<45;(3)7.5秒或30秒【解析】【分析】(1)根據圓周角定理即可解決問題；(2)如圖2-2中，由題意/ACE=2x,ZAOE=y,根據圓周角定理可知/AOE=2/ACE可得y=2x(0»W45;(3)分兩種情形分別討論求解即可；【詳解】解：(1)如圖2-1中，/*二*“，審閨 ./ACB=90；OA=OB, .OA=OB=OC,/OCA=/OAC=30°,/AOE=60; 點E處的讀數是60: /E=/BAC=30:OE=OB,/OBE=ZE=30；/EBC=

29、/OBE+ZABC=90°, .EBC是直角三角形；故答案為60。，直角三角形；(2)如圖2-2中， ./ACE=2x,ZAOE=y, /AOE=2/ACE, .y=4x(0蟲w45.(3)如圖2-3中，當EB=EC時，EO垂直平分線段BC, .AC±BC, .EO/AC,/AOE=ZBAC=30;1。/ECA=ZAOE=15:2 .x=7.5.若24中，當BE=BC時,易知/BEC=/BAC=/BCE=30°,/OBE=/OBC=60；.OE=OB,.OBE是等邊三角形，/BOE=60;/AOB=120；-1/ACE=-ZACB=60,x=30,綜上所述，當CP

30、旋轉7.5秒或30秒時，4BCE是等腰三角形；【點睛】本題考查幾何變換綜合題、創新題目、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.9.如圖，在RtABC中，點O在斜邊AB上，以。為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC,AB相交于點D,E,連接AD.已知/CAD=/B.(1)求證：AD是。的切線；(2)若CD=2,AC=4,BD=6,【解析】3.52(1)解答時先根據角的大小關系得到Z1=Z3,根據直角三角形中角的大小關系得出求。的半徑.ODXAD，從而證明AD為圓。的切線；(2)根據直角三角形勾股定理和兩三角形相似可以得出結果【詳

31、解】(1)證明：連接OD,.OB=OD,Z3=ZB,ZB=Z1,Z1=Z3,在RtACD中，/1+/2=90°,/4=180-(Z2+Z3)=90°,ODXAD,則AD為圓O的切線；(2)過點O作OF,BC,垂足為F,1.DF=BF=-BD=32 .AC=4,CA2,/ACA90° AD=Jac2CD2=2近 /CAD=/B,/OFB=/AC490.,.BFOAACDbf=obAC-AD3OB即一=42*5.八3,5 OB=2【點睛】此題重點考查學生對直線與圓的位置關系，圓的半徑的求解，掌握勾股定理，兩三角形相似的判定條件是解題的關鍵AC=4,過點C作。的切線1,

32、過點B10.如圖，。的直徑AB=8,C為圓周上一點，作l的垂線BD,垂足為D,BD與。交于點E.(1)求/AEC的度數；(2)求證：四邊形OBEC是菱形.【答案】(1)30。；(2)詳見解析【解析】【分析】(1)易得4AOC是等邊三角形，則ZAOC=60°,根據圓周角定理得到/AEC=30°(2)根據切線的性質得到OC，1,則有OC/BD,再根據直徑所對的圓周角為直角得到/AEB=90°,則/EAB=30°,可證得AB/CE,得到四邊形OBEC為平行四邊形，再由OB=OC,即可判斷四邊形OBEC是菱形.【詳解】(1)解：在4AOC中，AC=4,1 .AO

33、=OC=4,.AOC是等邊三角形，/AOC=60；/AEC=30;(2)證明：OCX1,BD±1.2 .OC/BD./ABD=/AOC=60:.AB為。的直徑，/AEB=90；AEB為直角三角形，/EAB=30:/EAB=/AEC.CE/OB,又CO/EB四邊形OBEC為平行四邊形.又.OB=OC=4.四邊形OBEC是菱形.【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑.也考查了圓周角定理及其推論以及菱形的判定方法.，一.3如圖，4ABC中，AC=BC=10,cosC=，點P是AC邊上一動點(不與點A、C重合)，5以PA長為半徑的OP與邊AB的另一個交點為D,過點D作DE，

34、CB于點E.(1)當。P與邊BC相切時，求OP的半徑.(2)連接BP交DE于點F,設AP的長為x,PF的長為y,求y關于x的函數解析式，并直接寫出x的取值范圍.(3)在(2)的條件下，當以PE長為直徑的OQ與。P相交于AC邊上的點G時，求相交所得的公共弦的長40【答案】(1)R；(2)y9【解析】【分析】5xVx8x80;(3)503x20105.(1)設。P與邊BC相切的切點為3一H,圓的半徑為R,連接HP,則HP±BC,cosC=-,則54 一HPR4rsinC=,sinC=,即可求解;5 CP10R5EBBF4首先證明PD/BE,則EB匕，即：PDPF一(3)證明四邊形PDBE

35、為平行四邊形，則AG=E25xJx28x80y,即可求解;xyP=BD,即：AB=DB+AD=AG+AD=45,即可求解.【詳解】(1)設。P與邊BC相切的切點為H,圓的半徑為R,連接HP,貝UHP±BC,cosC=w4則sinC=,535HPsinC=CP10R5R40R=9(2)在ABC中，AC=BC=10,c3cosC=一5設AP=PD=x,/A=/ABC=3,過點B作BHI±AC,則BH=ACsinO8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=45貝U:tanZCAB=2,BP=j82+(x4)2=Jx28x80，DA=x,則BD=45x,55如下圖所示，PA=PD,/

36、PAD=/CAB=/CBA=3,tan3=2,則cos3=%,sin3=j5,EB=BDcos3=(475-2.5、x)5.PD/BE,EBPD2x5x整理得:5xy=Jx28x80;(3)以3x20EP為直徑作圓Q如下圖所示,兩個圓交于點G,則PG=PQ,即兩個圓的半徑相等，則兩圓另外一個交點為D,GD為相交所得的公共弦， 點Q是弧GD的中點， DGXEP,.AG是圓P的直徑，/GDA=90°, .EP/BD,由（2）知，PD/BC,四邊形PDBE為平行四邊形,.AG=EP=BD, .AB=DB+AD=AG+AD=4遙,設圓的半徑為r,在4ADG中，AD=2rcos尋,DG=-j=

37、,AG=2r,2r20飛+叱4而，解得：2r=,4r則：DG=需=50-10收，相交所得的公共弦的長為50-1055.【點睛】本題考查的是圓知識的綜合運用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知識，其中（關鍵是根據題意正確畫圖，此題用大量的解直角三角形的內容，綜合難度很大.12.如圖，四邊形ABCD是。的內接四邊形，AC為直徑，？DAD，DE±BC,垂足為E.(1)判斷直線ED與。O的位置關系，并說明理由;(2)若CE=1,AC=4,求陰影部分的面積.2-【答案】(1)ED與eO相切理由見解析；(2)S陰影二一73.3(1)連結OD,如圖，根據圓周角定理，由？DAD得到/BAD=/ACD,

38、再根據圓內接四邊形的性質得/DCE=ZBAD,所以/ACD=/DCE；利用內錯角相等證明OD/BC,而DE±BC,則OD,DE,于是根據切線的判定定理可得DE為。的切線；(2)作OH±BC于H,易得四邊形ODEH為矩形，所以OD=EH=2,則CH=HE-CE=1,于有/HOC=30。，得到/COD=60。，然后根據扇形面積公式、等邊三角形的面積公式和陰影部分的面積=S扇形ocd-Saocd進行計算即可.【詳解】(1)直線ED與。0相切.理由如下：連結0D,如圖，?DAd，1/BAD=/ACD. /DC-BAD,/ACD=ZDCE. .OC=OD,./OCD=/ODC,而/O

39、CD=/DCE/DCE=ZODC,.OD/BC. .DEXBC,ODXDE,.DE為。的切線；(2)作OHBC于H,則四邊形ODEH為矩形，OD=EH.,.CE=1,AC=4,OC=OD=2,.C+HECE=2-1=1,在R匕OHC中，,.00=2,CH=1,/OHC=90；6022360/HOC=30；/COD=60；，陰影部分的面積=S扇形ocd-Saocd,3”2?224PE【點睛】本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可.也考查了扇形面積的計算.13.已知：如圖，四邊形AB

40、CD為菱形，4ABD的外接圓。與CD相切于點D,交AC于點E.(1)判斷。與BC的位置關系，并說明理由;(2)若CE=2求。的半徑r.D【答案】(1)相切，理由見解析；(2)2.【解析】試題分析：(1)根據切線的性質，可得/ODC的度數，根據菱形的性質，可得CD與BC的關系，根據SSS可得三角形全等，根據全等三角形的性質，可得/OBC的度數，根據切線的判定，可得答案；(2)根據等腰三角形的性質，可得/ACD=/CAD,根據三角形外角的性質，/COD=/OAD+/AOD,根據直角三角形的性質，可得OC與OD的關系，根據等量代換，可得答案.(1)。與BC相切，理由如下連接OD、OB,如圖所示：。0

41、與CD相切于點D, ODXCD,/ODC=90： 四邊形ABCD為菱形， .AC垂直平分BD,AD=CD=CB .ABD的外接圓。的圓心O在AC上， .OD=OB,OC=OCCB=CD,.,.OBCAODC./OBC=ZODC=90；又二OB為半徑，OO與BC相切；(2) AD=CD,/ACD=ZCAD. .AO=OD,/OAD=ZODA. /COD=ZOAD+ZAOD,/COD=2/CAD./COD=2ZACD又/COD+/ACD=90,/ACD=30.° .OD=OC,2即r=(r+2).2r=2.【點睛】運用了切線的判定與性質，利用了切線的判定與性質，菱形的性質，直角三角形的性

42、質.14.我們知道，如圖1,AB是。O的弦，點F是AFB的中點，過點F作EF±AB于點E,易得點E是AB的中點，即AE=EB.OO上一點C(AC>BC),則折線ACB稱為。O的一條折弦”.(1)當點C在弦AB的上方時(如圖2),過點F作EF±AC于點E,求證：點E是折弦ACB'的中點，即AE=EC+CB(2)當點C在弦AB的下方時(如圖3),其他條件不變，則上述結論是否仍然成立？若成立說明理由；若不成立，那么AE、ECCB滿足怎樣的數量關系？直接寫出，不必證明.(3)如圖4,已知RtAABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,RtABC的外

43、接圓。的半徑為2,過。O上一點P作PH,AC于點H,交AB于點M,當/PAB=45°時，求AH的長.圖1圖2C圖3及4【答案】(1)見解析；(2)結論AE=EC+C環成立，新結論為：C曰BC+AE見解析；(3) AH的長為出T或邪+1.【解析】【分析】(1)在AC上截取AG=BC,連接FA,FG,FB,FC,證明FA84FBC,根據全等三角形的性質得到FG=FC,根據等腰三角形的性質得到EG=EC,即可證明.(2)在CA上截取CG=CB,連接FA,FB,FC,證明FC84FCB,根據全等三角形的性質得到FG=FB,得到FA=FG,根據等腰三角形的性質得到AE=GE,即可證明.(3)分

44、點P在弦AB上方和點P在弦AB下方兩種情況進行討論.【詳解】解：(1)如圖2,在AC上截取AG=BC,連接FA,FG,FB,FC,丁點F是AFB的中點，FA=FB,在4FAG和4FBC中，FAFBFAGFBCAGBC,.FA®FBC(SA§,FG=FC,/FEIAC,EG=EC,，AE=AG+EG=BC+CE(2)結論AE=EC+C必成立，新結論為：CE=BC+A耳理由：如圖3,在CA上截取CG=CB,連接FA,FB,FC,丁點f是即8的中點，1FA=FB,PaRb，ZFCG=ZFCBCGCB在AFCG和AFCB中，FCGFCBFCFC,.-.FC(AFCB(SA5,FG=

45、FB,FA=FG,FE±AC,.AE=GE,.CE=CG+G2BC+AE(3)在RtABC中，AB=2OA=4,ZBAC=30,BC-AB2,AC273,2當點P在弦AB上方時，如圖4,在CA上截取CG=CB,連接PAPB,PG, /ACB=90； .AB為。的直徑，/APB=90； /PAB=45；/PBA=45=/PAB,PA=PB,/PCG=/PCB,CGCB在APCG和APCB中，PCGPCBPCPC,.,.PCGAPCB(SAS,PG=PB,PA=PG, .PHXAC,.AH=GH,AC=AH+GH+CG=2AH+BC,232AH2,AH61,當點P在弦AB下方時，如圖5,在AC上截取AG=BC,連接PA,PB,PC,PG/ACB=90；.AB為。的直徑，/APB=90；/PAB=45；/PBA=45=/PAB,PA=PB,在PAG和PBC中，AGBCPAGPBCPAPB,.PAGAPBC(SAS,PG=PC, .PHXAC, .CH=GH,AC=AG+GH+CH=BC+2CH2雜22CH, CH.31,