1、二次函數和一元二次方程的關系教學設計一 教學設計思路通過小球飛行高度問題展示二次函數與一元二次方程的聯系。然后進一步舉例說明 ,從而得出二次函數與一元二次方程的關系。最后通過例題介紹用二次函數的圖象求一元二次方程的根的方法。二 教學目標1 知識與技能(1).經歷探索函數與一元二次方程的關系的過程 ,體會方程與函數之間的聯系。總結出二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系 ,表述何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根.(2).會利用圖象法求一元二次方程的近似解。2 過程與方法經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程 ,體會方程與函數之間的聯系.三 情感態度價值觀通

2、過觀察二次函數圖象與x軸的交點個數 ,討論一元二次方程的根的情況培養學生自主探索意識 ,從中體會事物普遍聯系的觀點 ,進一步體會數形結合思想.四 教學重點和難點重點：方程與函數之間的聯系 ,會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解。難點：二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系。五 教學方法討論探索法六 教學過程設計(一)問題的提出與解決問題 如圖 ,以20m/s的速度將小球沿與地面成30角的方向擊出時 ,球的飛行路線將是一條拋物線。如果不考慮空氣阻力 ,球的飛行高度h(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有關系h=20t5t2。考慮以下問題(1)球的飛行高度能否到達1

3、5m?如能 ,需要多少飛行時間?(2)球的飛行高度能否到達20m?如能 ,需要多少飛行時間?(3)球的飛行高度能否到達20.5m?為什么?(4)球從飛出到落地要用多少時間?分析：由于球的飛行高度h與飛行時間t的關系是二次函數h=20t-5t2。所以可以將問題中h的值代入函數解析式 ,得到關于t的一元二次方程 ,如果方程有符合實際的解 ,那么說明球的飛行高度可以到達問題中h的值：否那么 ,說明球的飛行高度不能到達問題中h的值。解：(1)解方程 15=20t5t2。 t24t+3=0。 t1=1,t2=3。當球飛行1s和3s時 ,它的高度為15m。(2)解方程 20=20t-5t2。 t2-4t+

4、4=0。 t1=t2=2。當球飛行2s時 ,它的高度為20m。(3)解方程 20.5=20t-5t2。 t2-4t+4.1=0。因為(-4)2-44.10。所以方程無解。球的飛行高度達不到20.5m。(4)解方程 0=20t-5t2。 t2-4t=0。 t1=0,t2=4。當球飛行0s和4s時 ,它的高度為0m ,即0s時球從地面飛出。4s時球落回地面。由學生小組討論 ,總結出二次函數與一元二次方程的解有什么關系?例如：二次函數y=-x2+4x的值為3。求自變量x的值。分析 可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0) 。反過來 ,解方程x2-4x+3=0又可以看作二次函數y=x

5、2-4+3的值為0 ,求自變量x的值。一般地 ,我們可以利用二次函數y=ax2+bx+c深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0。(二)問題的討論二次函數(1)y=x2+x-2;(2) y=x2-6x+9;(3) y=x2-x+0。的圖象如圖26.2-2所示。(1)以上二次函數的圖象與x軸有公共點嗎?如果有 ,有多少個交點 ,公共點的橫坐標是多少?(2)當x取公共點的橫坐標時 ,函數的值是多少?由此 ,你能得出相應的一元二次方程的根嗎?先畫出以上二次函數的圖象 ,由圖像學生展開討論 ,在老師的引導下答復以上的問題。可以看出：(1)拋物線y=x2+x-2與x軸有兩個公共點 ,它們的橫坐標是-2

6、,1。當x取公共點的橫坐標時 ,函數的值是0。由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1。(2)拋物線y=x2-6x+9與x軸有一個公共點 ,這點的橫坐標是3。當x=3時 ,函數的值是0。由此得出方程x2-6x+9=0有兩個相等的實數根3。(3)拋物線y=x2-x+1與x軸沒有公共點 , 由此可知 ,方程x2-x+1=0沒有實數根。總結：一般地 ,如果二次函數y= 的圖像與x軸相交 ,那么交點的橫坐標就是一元二次方程 =0的根。(三)歸納一般地 ,從二次函數y=ax2+bx+c的圖象可知 ,(1)如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點 ,公共點的橫坐標是x0 ,那么當x=x0時 ,函數的

7、值是0 ,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一個根。(2)二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點 ,有一個公共點 ,有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根 ,有兩個相等的實數根 ,有兩個不等的實數根。由上面的結論 ,我們可以利用二次函數的圖象求一元二次方程的根。由于作圖或觀察可能存在誤差 ,由圖象求得的根 ,一般是近似的。(四)例題例 利用函數圖象求方程x2-2x-2=0的實數根(精確到0.1)。解：作y=x2-2x-2的圖象(如圖) ,它與x軸的公共點的橫坐標大約是-0.7,2.7。所以方程x2-2x-2=0的實數根為x1-0.7,x22.7。七 小結唐

8、宋或更早之前 ,針對“經學“律學“算學和“書學各科目 ,其相應傳授者稱為“博士 ,這與當今“博士含義已經相去甚遠。而對那些特別講授“武事或講解“經籍者 ,又稱“講師。“教授和“助教均原為學官稱謂。前者始于宋 ,乃“宗學“律學“醫學“武學等科目的講授者；而后者那么于西晉武帝時代即已設立了 ,主要協助國子、博士培養生徒。“助教在古代不僅要作入流的學問 ,其教書育人的職責也十清楚晰。唐代國子學、太學等所設之“助教一席 ,也是當朝打眼的學官。至明清兩代 ,只設國子監國子學一科的“助教 ,其身價不謂顯赫 ,也稱得上朝廷要員。至此 ,無論是“博士“講師 ,還是“教授“助教 ,其今日教師應具有的根本概念都具有了。二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點 ,有一個公共點 ,有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根 ,有兩個相等的實數根 ,有兩個不等的實數根。要練說 ,得練看。看與說是統一的 ,看不準就難以說得好。練看 ,就是訓練幼兒的觀察能力 ,擴大幼兒的認知范圍 ,讓幼兒在觀察事物、觀察生活、觀察自然的活動中