1、高等數學復習提綱基本內容：1、函數基本概念及性質。基本初等函數：窯函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。初等函數：由基本初等函數和常數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數，稱為初等函數。注：分段函數一般不是初等函數。特例：y=VX7=lX，X-0為初等函數。Ix,x：02、極限定義：liman=au對任給£>0,存在N,當n>N時，有|ana|<8.n_（等價定義）3、無窮小的定義與性質。1）若函數f（x）當XTXo（或XT笛）時的極限為零，則稱f（x）當XTXo（或XT比）時為無窮小量。注：（1）無窮小量是個變員而不是

2、個很小的數.（2）零是常數中唯一的無窮小量。2）無窮小的性質：有限個無窮小的代數和是無窮小、有界函數與無窮小的乘積是無窮小、常數與無窮小的乘積是無窮小、有限個無窮小的乘積也是無窮小。3）函數極限與無窮小的關系：limf（X）=A的充要條件是X）XoXf（x）=A+ot,其中A為常數，ot是當XTx0（或XT的）時的無窮小。4、無窮大的定義。若當XTXo（或XT笛）時,f（x）的絕對值無限增大，則稱函數f（x）當XTXo（或XTg）時為無窮大量。注：無窮大是變量，不是一個絕對值很大的數。5、無窮大與無窮小互為倒數。6、極限的運算法則。0型：1）用風詈。2）因式分解法則1。3）分子分x-9母有理化

3、法lim”。X1.Jx-1身型：分子分母同除以一個非零因式,如:CO23x2x-1'Xm：2x2-x3°7、兩個重要極限。1)sinxlim1xTx2)=e以及lim(1十X)x=e。x0會用重要極限求函數極限。8、求兩個無窮小之比極限時，分子、分母都可用等價無窮小代替。如:sin2xlixmo或、3x2-36limsin-t：3x5x注：等價無窮小只能在乘積和商中進行，不能在加減運算中代換9、連續的兩種定義。函數f(x)在點x。處連續，必須同時滿足三個條件：1) f(x)在點xo處有定義；2) |imfW存在；x眩03)極限值等于函數值，即|imf(x)=f僅。卜xo,1.

4、，c、7例：已知函數f(x)=41-2sinx),x#0,在x=0處連續，則a,x=0a=.10、函數y=f(x)在點x0連續的充分必要條件是：f(x。-0)=f履+0)=f&0)(既左連續又右連續)。11、函數在點x0處連續與該點處極限的關系：函數在點x0處連續則在該點處必有極限，但函數在點x0處有極限并不一定在該點連續。12、如何求連續函數的極限？連續函數極限必存在，且極限值等于函數值，即|imf(x)=f(xJxk13、對于分段函數在分段點處的連續性，若函數在分段點兩側表達式不同時，需根據函數在一點連續的充要條件進行討論如:xgx=xIX-1,x：:：1-11-,x-1214、如

5、何求連續區間?基本初等函數在其定義域內是連續的；一切初等函數在其定義區間內都是連續的15、間斷點的定義。16、間斷點的類型。（一）第一類間斷點1、可去間斷點（1） f（x而Xo處無定義，但|mf（x）存在。x女0（2） f（x）在xo處有定義，f（x）在xo處左右極限存在且相等，但是limf（x）#f（x°）。xxo2、跳躍間斷點：f（x施點xo處左右極限都存在，但不相等,即limf（xlim+f（x）。xx0-xxo第一類間斷點的特點:函數在該點處左右極限都存在.（二）第二類間斷點（若lim+f（x）與iimf（x）中至少有一個不存xIox-xo-在，稱xo為f（x）的第二類斷點。

6、）1、無窮間斷點2、振蕩間斷點。ix=0是函數f(x)=cos的何種I可斷點x17、導數定義：函數f(x施點X。處可導的充要條件是：f(x)在點X。處的左右導數都存在且相等，即f+(x。)=f-(X。)。18、判斷分段點處是否可導：在分段點處應按定義求出左右導數，在分段點處左右導數都存在且相等，則分段點可導。19、連續與可導的關系：若函數f(x應點x。可導，則函數f(x)在點x。連續。20、函數y=f(x在點x。處的導數f收。在幾何上表7K曲線y=f(x)在點p(x0,f(x。)處的切線的斜率。21、隱函數的求導法。方程兩端對x求導，y是x的函數，即把y看成中間變量，利用復合函數求導法則求導。

7、22、參數方程所表示函數T)的導數dy立、y=W(t)dx中'(t)23、對數求導法：先取對數，然后利用隱函數求導法則求導。如:tanxy=x,僅。)。24、Ay=f(x+&xf(x)可表7K為Ay=A&x+o(Ax),稱函數y=f(x)在點x是可微的。dy=A&，叫做函數y=f(x而點x的微分。注：A#。，dy是Ay的線性主部。25、函數y=f(x準點x可微的充要條件是函數f(x)在點x可導，且dy=f(x部。(dy是由的線性主部)26、近似公式：fx:.fx0Lfx0x-x0o此近似公式，用來求x0近旁點x的函數值的近似值。27、中值定理的內容。28、洛必達

8、法則。注：當lim匚宜)不存在時，并不能斷定|im二)也不存在，此xk0gxxj)<0gxX；:X二時應使用其他方法求極限。21Jxsin丫如：lim=一°x_0sinx29、函數單調性判別法：設函數y=f(x病kb】上連續，在(a,b)內可導。(1)如果在(a,b)內fx)>0,那末函數y=f(xa,b】上單調增加；(2)如果在(a,b)內fx)<0,那末函數y=f(x1,b】上單調減少。注：討論單調區間，f<x)=0的根(即駐點)及f1x)不存在(不可導點)的點作為定義區間的分點。30、求極值步驟：(1)求導數f'(x)；(2)求出f(x)的全部駐

9、點以及使導數不存在的點(即可能極值點)；(3)由定理2或定理3判斷極值點(用定理3判斷，f”(x0)=0的點再用定理2判斷)；(4)求出各極值點處的函數值，即得f(x冏全部極值。31、求最大(小)值的步驟：1、找出f(x而b,b】內部的一切駐點，求出駐點處的函數值。2、找出f(x位a,b1內部不可導的點，求出不可導點的函數值。3、求出區間端點處的函數值。4、將所求出的所有函數值進行比較，最大者為所求最大值，最小者為所求最小值。例：函數y=x+2cosx在0,-上的最小值為232、原函數與不定積分的關系：全體原函數構成不定積分。即jf(x)dx=F(x)+c。積分運算與微分運算有如下互逆關系：F

10、1) (jf(x)dx)=f(x)或d(jf(x)dx)=f(x)dx.2) F(x)dx=F(x)c或dF(x)=F(x)c.33、不定積分的換元法和分部積分法。第一類換元法(湊微分法)：jf3(x巾(x)dx=1f(u)du】。u二x第二類換元法：f(x)dx=f(t)(t)dto分部積分法：udv=uv-vduo35、定積分的性質。36、(定積分中值定理)如果函數f(x)在閉區間Lb】上連續，則在積分區間a,b】上至少存在一個點使下式成立：Jf(x)dx=f穴b-a)(a復4b)這個公式叫做積分中值公式。ax37、6x)=ff(t)dt(a<x<b),為積分上限的函數(或變上限的JEa積分)。它的導數是：D,x="；f%='(X)aMxMb2積分上限的函數是上限的函數。會計算如：±廣sinddt類型dx0的題目。(原函數存在定理)如果函數f(x)在Q,b】上連續，則函數X(x)=f(t)dt就ZEf(x)在b,b】上的一，個原函數。38、|bf(x)dx=F(b)F(a)叫做牛頓一萊布尼茲公式，又叫微積分基a本公式。計算定積分：1)先用求不定積分的方法求出一個原函數。2)把上、下限代入原函數。3)作減法運算。39、定積分的換元法：lbf(x)dx=f