1、數學破題36計第13計鑰匙開門各歸各用計名釋義開門的鑰匙應有“個性，如果你的鑰匙有“通性，那么將把所有的鄰居嚇跑.所有的知識具有個性，一切犯有“相混癥的人，都因沒有把握知識的個性數學知識的根基是數學定義， 它的個性在于，只有它揭示了概念的本質， 介定了概念的范疇， 在看似模糊的邊緣，它能判定是與非 .定義本身蘊含著方法， 由“線面垂直的定義直接導出線面垂直的判定定理，由橢圓的定義可直接導出橢圓方程這里，判定定理也好，方程也好，只不過是其對應的定義在定義之 外開設的一個“代辦處，當你的問題本身離定義很近時，何必要跑到遙遠的地方去找“代 辦處呢？由此，引出了“回歸定義的解題之說.典例示范【例1Fi

2、、F2是橢圓的兩個焦點，|FiF2|=2c,橢圓上的點P (X, y)到Fi (-C, 0),F2cc(c, 0)的距離之和為 2a.求證：|PFi|=a x,?PF2|=ax.aa【分析一定要搬動橢圓方程嗎？這里的條件只有c無b,而橢圓方程2 2X2-1卻有b無c,搬動橢圓方程肯定是舍近求遠a2 b2【解答對|PFi|和|PF2|用距離公式，結合橢圓的定義得關于|PFi|= ri, |PF2|= r2 的方程組乙 +r2 =2a?ri2=(xc)2y?-消y2, x2 和c2 得rUMcxrr22 =(x -c)2y2?.c 片=a + _ x acc，聯立，解得 a n |g b1ig b

3、=為常數，an是首項為,公比q=的無窮遞縮等比數列(an _1Ig b _11 -igbIgb _1 lim Sn =1 存在)，. q= lgb (-1,0) u (0,1).nIgb-1即 2Ig b 0, 得 Igb1,Igb -12lgb 0 =Ig b -10lg b1,于是 0lgb 丄,2 b (1, . 10)0 lgbigb -1警：0或 lgbigbc0,Jg b _1- b (0, 1)綜合、，取并集，所求 b的取值范圍為b (0, 1) U (1,10).【例3】某商場為了促銷，當顧客購置商品的金額到達一定數量之后可通過抽獎的方法獲獎，箱中有4只紅球和3只白球，當抽到紅

4、球時獎勵20元的商品，當抽到白球時獎勵10元的商品(當顧客通過抽獎的方法確定了獲獎商品后，即將小球全部放回箱中).(1) 當顧客購置金額超過 500元而少于1000元時，可抽取3個小球，求其中至少有一個紅球 的概率；(2) 當顧客購置金額超過 1000元時，可抽取4個小球，設他所獲獎商品的金額為E (E =50,60,70,80)元，求E的概率分布和期望.【思考】解此題不能不清楚與概率統計有關的概念與定義，否那么即使知道有關計算公式也無法準確解題，例如：(1) 隨機事件A發生的概率0W P(A) 1,其計算方法為P (A)= m ,其中m , n分別表示n事件A發生的次數和根本領件總數；(2)

5、 不可能同時發生的事件稱為互斥事件，由于A與A必有一個發生，故 A與A既是互斥事件，又是對立事件，對立事件滿足P(A)+P ( A ) =1;離散型隨機變量的期望，E E =X1 P1+X2 P2+Xn pn+,這個概念的實質是加權平均數，期望反映了離散型隨機變量的平均水平；222r 離散型隨機變量的方差 D E =(X1-E E ) p什(X2-EE ) P2+(Xn - E E ) pn+，方差反映了離散 型隨機變量發生的穩定性.【解答】(1)根本領件總數n=c7=35,設事件A=任取3球，至少有一個紅球，那么事件A =任取3球，全是白球./ A與A為對立事件，而 Card A=1(任取3

6、球全是白球僅一種可能). p(A)=135-34于是 p (A)=1-P (A)=35即該顧客任取3球，至少有一個紅球的概率為3435E =60表示所取4 球為 2 白 2 紅(T 2X 10+2 X 20=60), P (E =60)=C；18E =70表示所取4 球為 3 紅 1 白(T 3X 20+1 X 10=70), P ( E =70)=12E =80表示所取4球全為紅球, P ( E =80)=35C435c； E =50 表示所取 4 球為 3 白 1 紅( 3 X 10+1 X 20=50), ( , =50)=C C44 D E =50 X +60 X35于是E的分布列為:

7、E50607080P41812P 135353535蟲+70 X直+80 X丄=地(元).3535357440即該顧客獲獎的期望是-63(元).7對應訓練2 21 M為雙曲線 冷=1上任意一點，F1為左焦點，求證：以MF1為直徑的圓與圓a bx2+y2= a2 相切2 :以橢圓上任意一點的一條焦半徑為直徑作圓，這個圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相切3 生島應丄阻機變呈屮，i明弐期塑廳辛分址具仃件戊:2 2(1)E(aE +b)=aE E +b ;(2)D E =E E - EE 4 M為拋物線y2=2px上任意一點，F為焦點，證明以 MF為直徑的圓必與 y軸相切參考答案-一 .11 鉗罔T示，MF

8、1的中點為P,設|PF1|= r,連接PO、MF2, V |PO|= I MF?|(中位線性質)211 |PFi卜 |P0|= (|MFi卜 |MF2|)= 2a= a,22即|P0|= r-a,故以MFi為直徑的圓與圓x2+y2=a2內切2 肋悵聽不：殳M為橢圓上任一點，MFi為焦半徑，MFi的中點為P,設|PFi|= r,連OP、MF2.1 i那么 |0P|= |MF2|= (2a-|MFi|)= a-r2 2第2題解圖以MFi為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內切第i題解圖3. ( i)V E E =Xi pi + X2 P2 +Xn pn, E (a E +b)= (aXi+b)pi + (aX2+b)p2 +(aXn + b)Pn= a (xi pi+X2 P2+ +Xn Pn)+b(pi+p2+ +Pn) =aE E +b(T pi+ p2+ pn=i).(2) D E =(xi - E E )2 pi+(X2 - E E )2p2+ +(Xn - E E )2pn+ 2 2 2 2=(xi pi + x2 P2+ +XnPn+ )_2E E(Xi pi + X2 P2+ +Xn Pn+)+E E(Pi+p2+ +pn+ )=EE 2-2E E E E +E2 E .仁EE 2 - E2