1、精選資料歡迎下載知識要點小學升初考試中的數論問題，常常涉及整數的整除性、帶余除法、 奇數與偶數、質數與合數、約數與倍數、整數的分解與分拆。主要的結論有：1 .帶余除法：若a, b是兩個整數，b>0,則存在兩個整數q, r,使得 a=bq+r （0< r <b）,且q, r是唯一的。特別地，如果r=0 ,那么a=bq。這時，a被b整除，記作b|a ,也稱b是a 的約數，a是b的倍數。2 .若 a|c , b|c ,且 a, b互質,則 ab|c。3 .唯一分解定理：每一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即pp城（1）其中p1<p2<-y pk為質數，al,

2、a2,，ak為自然數，并且這種表示是 唯一的。（1）式稱為n的質因數分解或標準分解。4 .約數個數定理：設n的標準分解式為（1）,則它的正約數個數為：d （n） = （a1+1） （a2+1）（ak+1）。5 .整數集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數。因此，不等式 x<y與 xWy-1是等價的。下面，我們將按數論題的內容來分類講解。第一節 整除【專題簡析】：在數的整除中要熟記數整除的特點，在用整除的知識來解決相關 試題的時候要注意首先確定末尾那個數字，在確定其他的數字。數整除的特征數特點被2整除一個整數的個位是0,2,4,6,8 中的某一個被3 （或者9）整除一個整數的各位數字之和

3、能被 3 （或者9）整除被5整除一個整數的末尾不是5就是0被4（或者25）整除一個整數的末兩位能被4（或者25）整除被8（或者125）整除一個整數的末三位能被8（或者125）整除被11整除一個整數的奇數數位上的數字之和與偶數數位上的數字之和的差（較大數減較小數）能被 11整除被7（或者11或者13）整除一個整數的末三位與末三位以前的數字所組成的數之 差（較大數減較小數）能【例題精講】例1.老師買了 72本相同價格的書，當時沒有記住書的單價，只用鉛筆記下了用 的總錢數，回到學校后其中有兩個數字已經模糊不清了， 總錢數成了口 13.7 元, 你能幫忙補上口中數字嗎？練習1.馬虎的采購員，買了 72

4、只桶，洗衣服時將購貨發票洗爛了，只能依稀看 到72只桶共口67.9 口元，口內的字跡已經看不清楚，請幫他算一下一共多少 錢？例2.在算式1abcde=<3 =abcde1中，不同字母代表不同的數，相同的字母代表相同的數，求abcde這個五位數是多少？練習2.一個六位數，他的個位數字是6,將6移動到最前面，所得的數是原數的 4倍，求這個六位數。例3.從0,3,5,7,這4個數中任選3個，組成沒有重復數字的三位數，在組成的 數中能同時被2、3、5整除的數有多少個？練習3.從1、2、3、4、5中任取3個數組成沒有重復數字的三位數，在這些三 位數中能同時被2和9整除的數有多少個?【綜合練習】1

5、.學校李老師一共買了 28支價格相同的鋼筆，共付人民幣 9D. 2 口元，已知 口處的數字相同，請問每支鉛筆多少錢？2 .已知x1993y是45的倍數，求所有滿足條件的六位數 x1993y。3 .小明在一張紙上寫下了一個沒有重復數字的五位數，9口4 口5,其中十位數字和千位數字都看不清楚了，但已知這個數能被 75整除，那么滿足上述條件的五 位數中，最大的一個數是多少？4 .在25 口 79這個數的口內填上一個數字，使這個數能被11整除，問口應填幾？5 .五位數35a2a能被3整除，它的末三個數字組成的數a2a能被2整除，求這個五位數？6 .已知六位數口 8919口能被33整除，那么這個六位數是

6、多少？7 .一個六位數23口56口是88的倍數，這個數除以88商多少？8 .有一個整數，用它去除70、110、160等到三個余數之和是50,求此整數。9 .有一個正整數是一個有2008位的數，且是9的倍數，數字之和是 A,A的數字之和是B, B的數字之和是C,求C是多少?第二節質數與合數的應用【專題簡析】根據質數、合數的意義，解答與質數合數有關的問題，學習這部分內容，首 先要記住20以內、100以內的質數，有利于順利解題。【例題精講】例1分別判斷251, 539是質數還是合數？例2 A是一個質數，而且 A+6, A+8, A+12, A+14都是質數，試求出滿足要 求的最小質數A。例3如圖，四

7、個小三角形頂點處有6個圓圈，如果在這些圓圈中分別填上6個質數，它們的和是20。而且每個小三角形頂點圓圈的數之和相等，問這 6個質數的積是多少?【基礎練習】1.試判斷507, 619, 667是質數還是合數?2 . (1)如果兩個質數的和是1999,那么這兩個質數的積是多少?(2)如果三個質數和是130,那么這三個質數的積最大是多少?3 .寫出50以內5個連續自然數，要求每個數都是合數。4 .A是一個質數，且A+4, A+6, A+10都是質數，試求出滿足要求的最小質數 A5 .把一個一位數的質數 A,寫在另一個兩位質數 B的后面，得到一個三位數, 這個三位數是A的119倍，求A和B。6 .把一

8、個兩位質數寫在另一個兩位質數后面，得到一個四位數，它能被這兩個 質數之和的一半整除，試求出所有這樣的質數對。7 .填出下面加法算式中的6個質數8質9+ 質6 質1質質質【拓展提高】1. (1)寫出5個質數，按從大到小的順序排列，每相鄰兩數差是 12(2)寫出7個連續自然數，要求每個數都是合數。2.判斷數666666711111促質數還是合數?3.判斷數1111T211111是質數還是合數。1998 個 11998 個 14.判斷20032003 2003是質數還是合數。5 .a,b,c 都是質數，c是一位數，且axb+c=1993,那么a+b+ c的和是多少?6 . 一個長方體，它的正面和上面

9、面積之和是 299平方厘米，如果它的長、寬、 高都是質數，那么這個長方體的體積是多少？7 .有標號是1 9數字的9張卡片，甲、乙、丙三人每人拿了 3張卡片，甲的3 張卡片數的積是48,乙的3張卡片上數的和是15,丙的3張卡片上數的積是63, 問甲、乙、丙各拿了哪3張卡片？8 .把1 10這10個數字圍成一個圓圈，使每相鄰兩個數的和都是質數。9 .有一個數，如果它的數字倒排以后，所得的數仍是這個數，這個數稱為回數，如1991就是這樣的年份，回數具有如下兩個性質：（1） 1991是一個回數；（2） 1991是一個兩位質數回數和一個三位質數回數的積。在 1000年到2000年之間的1000年中，除了

10、 1991外，具有性質（1） （2）的年份有哪些？10 .有四個相同的瓶子里分別裝有不同重量的酒， 每瓶與其他各瓶分別合稱一次， 重量分別是8, 9, 10, 11, 12, 13千克。已知4只空瓶重量之和及酒的重量之 和均是質數，最重的兩瓶內共有多少酒？第三節分解質因數【專題簡析】分解質因數常常運用在實際生活中，在許多競賽題中初看起來很難， 但他都與乘積有關，對于這類題目我們可以用分解質因數的方法來解答，因此掌握并靈活應用分解質因數的的知識能解答許多一般方法不能解答的問題。要注意的是在分解質因數的過程中“ 2”是很特別的，他是質數中唯一一個偶數，而且 還經常結合數的奇偶性來考。注意特例(10

11、01=7X 11X13)【例題精講】例1.將12個蘋果平均分成若干份，共有多少種分法？練習1.有60個同學分成人數相等的小組去慰問解放軍叔叔，每組不少于6人,不多于15人，那么共有多少種分法？例2.五個連續自然數的乘積是15120.那么這五個自然數的和是多少?練習.有4個小孩，恰好一個比一個大一歲，4人的年齡積是3024,問這4個孩 子中最大的有多少歲？例3.在下面的算式里，里的數字各不相同，求這四個數字的和。 XDDD =1995練習3.下面四張小紙片各蓋上了一個數字，如果這四個數字是連續的偶數，請完整下面的算式。口 =5760例4.一個兩位數除310余37,這個數可以是多少？練習4. 23

12、7除以一個兩位數，所得的余數是6,滿足這個條件的兩位數有哪些？例5.（質數與合數）兩個質數的和是 39,求這兩個質數的積。練習5.兩個質數的和是99,求這兩個數的積。例6.有4個人他們都屬虎，年齡之積是27664,求這4個人的年齡分別是多少？練習6.有6個人，他們都屬龍，年齡之積是 17597125,那么他們的年齡之和是 多少？例7.十個非零且不相等的自然數的和是 2002,那么這十個非零自然數的公約數 最大是多少？例8.一個正整數能分成3個不同質數的積，如果這3個質數的平方和是150,求 這個正整數？練習8:一個正整數能分成3個不同質數的積，如果這3個質數的平方和是1710, 求這個正整數？

13、例9.有三個數字能組成6個不同的三位數，這6個數的和是2886,求這6個三 位數中最小的一個是多少？練習9:有3個數字能組成6個不同的3位數，這6個數的和是1776,求這6 個三位數中最小的一個是多少？【綜合練習】1、甲數比乙數大9,兩個數的積是792,求甲乙兩數分別是多少?2、四個連續奇數的積是19305,求這四個奇數的和3、在下面算式框內各填上一個數字，使算式成立。 XQ19954. 5100除以一個三位數，余數是 95,這個三位數最大是多少?5 .三個質數的和是80,求這三個質數的積6 .已知三個質數的平方和是7950,求這三個質數的積7 .已知兩個數的和是60,最小公倍數是273,求此

14、兩數分別是多少?8 .今有三個質數，他們的平方和是 7950,求這三個質數的積9 .有四個數字能組成6個不同的四位數，這6個數的和是39996,求這6個三位 數中最小的一個是多少10 .主人對客人說：“院子里有三個小孩，他們的年齡之積等于72,年齡之和恰恰 是我家的樓號，樓號你是知道的，你能求出這些孩子的年齡嗎？” 客人想了一下 說：“我還不能確定答案！”他站起來，走到窗前，看了看樓下的孩子，說： “有 兩個很小的孩子，我知道他們的年齡了！ ”請問，主人家的樓號是多少？三個孩 子的年齡分別是多少？第四節余數問題【專題簡析】在整數除法中，當不能整除時，就產生余數。a+ b=cd(0<d&l

15、t;b)是帶余除 法的基本形式。如果兩個自然數a,b同除以自然數m ,所得余數相同，稱作a與b對于模m 同余，記作amb (mod m)。如17與32被5除，余數都是2,即17三32 (mod 5)。【例題精講】例1被除數、除數、商與余數之和是 1100,已知余數是9,商是18,求被除數 和除數。例2寫出除109后余4的全部兩位數例3有一個不等于1的整數，它除967, 1000, 2001得到相同的余數，那么這個 整數是多少？例4在1與3000之間同時被3, 5, 7除都余2的數有多少個?例5自然數16510, 14893和14167除以m的余數相同，求m的最大值。【基礎練習】1 .用一個兩位

16、數除961,余數為36,求這個兩位數。2 . 719除以一個兩位數，余數4,問這樣的兩位數有多少個?3 .兩個數相除，商為8,余數為16,被除數、除數與商的和是555,除數是幾?4 .求J1111j被13除的余數 200115 .求 2579X367+3325X 1303 255X 853 除以 11 的余數。6 .自然數a （a1）除124, 200, 352后得到相同的余數，這個自然數最大是幾?7 .在1 1000之間同時被2, 3, 7除都余1的數有多少個？8 .自然數a除以4余1,自然數b除以4余2,那么a+b的和除以4余幾？【拓展提高】1 .用47去除某數余13,被除數與商之和為86

17、05,求被除數。2 .小紅在計算一道除法題時，把被除數 211錯寫成121,結果商少了 10,而余 數相同，求該除法題中的除數。3 . 1363除以一個數，商59,且除數比余數大17,求除數和余數4 .有一個整數分別去除721, 271, 127,都有余數，三個余數之和是 44,求這 個數。5 . 一個十幾歲的女孩，把母親的年齡寫在自己年齡之前組成一個四位數，在這 個數上加上母女兩人歲數之和是 3658,問女孩和母親各多少歲？6 .寫出5個大于零的不同自然數，使其中任意三個自然數的和能被3整除，這5個自然數的和最小是多少？7 . 437X437X - X 43J 40除以23的余數是多少?19

18、94 4378 .把310粒糖果分給五（1）班的同學，如果每個同學分得相同數量的糖果后還 余下37粒且不夠繼續分，那么全班有多少人？9,求3232+6464+8888被4除的余數10.分數目化成小數后，小數點后面第8888位上的數字是幾?1311今天是星期天，再過19591999天是星期幾?12.求 1 1512+7880+ 3320 除以 11 的余數13.用棄九法檢驗下面運算是事正確(1) 12567X89345=1122798645(2) 3684X 667=245722814.計算 1333+2X1333+ 3X 1333+- + 1333X1333被 7 除的余數。15如果一個101

19、位數苫竺3N555_j5,這個數能被7整除，那么N等于多少?50個3 50個5第五節數論常見考題分析【常考題型1:奇偶性及應用】模擬題1:有一本500頁的書，從中任意撕下20張紙，這20張紙上的所有面碼 之和能否是1999?模擬題2:試找出兩個整數，使大數與小數之和加上大數與小數之差，再加上1000 等于1999.如果找得出來，請寫出這兩個數，如果找不出來，請說明理由.模擬題3:桌子上有11個開口向上的杯子，現在允許每次同時翻動其中的6個,問能否經過若干次翻動，使得11個杯子的開口全都向下？模擬題4:甲，乙，丙三名選手參加長跑比賽.起跑后甲處在第一的位置，在整 個比賽過程中，甲與乙，甲與丙的位

20、置次序共交換13次.比賽結果甲是第幾名?【常考題型2:整數的整除】模擬題1:已知自然數A的各個數位上的數碼之和與 3A的各個數位上的數碼之 和相等，證明A必能被9整除。模擬題2:兩個四位數A275和275B的乘積能被72整除，求A和B。模擬題3: a是一個三位數。它的百位數字是 4, a+9能被7整除，a-7能被9整除，那么a是多少?模擬題4:要使六位數15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，那么A=2B=C=【常考題型3:質數、合數與分解質因數】模擬題1: 一個5位數，它的各位數字和為43,且能被11整除，求所有滿足條 件的5位數？模擬題2:將4個不同的數字排在一起，可以組成24個不同的

21、四位數4433>2X1=24）。將這24個四位數按從小到大的順序排列的話，第二個是 5的 倍數；按從大到小排列的話，第二個是不能被4整除的偶數；按從小到大排列的 第五個與第二十個的差在3000-4000之間。請求出這24個四位數中最大的一個。（7543模擬題3:已知=口口,其中口、。、 分別表示不同的數字，那么四位數。口是多少？ （ 7132）模擬題4: A B兩數都只含有質因數3和2,它們的最大公約數是 36.已知A 有12個約數，B有8個約數，那么A+B=.【常考題型4:約數與倍數】模擬題1:在一根長木棍上，有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成 10等份, 第二種刻度線把木棍分成12

22、等份，第三種刻度線把木棍分成15等份，如果沿每 條刻度線把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？模擬題2:已知3改7X 2口44是891的倍數，其中、口、各代表一個不同 的數字，那么三位數口代表的是多少？模擬題3:甲、乙兩數的最小公倍數是90,乙、內兩數的最小公倍數是105,甲、 內兩數的最小公倍數是126,那么甲數是多少？模擬題4:李老師帶領一班學生去種樹，學生恰好被平均分成四個小組，總共種樹667棵,如果師生每人種的棵數一樣多,那么這個班共有學生 人.【常考題型5:余數問題】模擬題1:有一個自然數，用它分別去除 63, 90, 130都有余數，3個余數的和 是25.這3個余數中最大的一個是多少？

23、模擬題2: 一個自然數在1000和1200之間，且被3除余1,被5除余2,被7 除余3,求符合條件的數。模擬題3: 一個大于1的自然數去除300, 243, 205時，得到相同的余數，則這 個自然數是模擬題4: 一個大于10的自然數，除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么 滿足條件的自然數最小為多少【常考題型6:位值原理】模擬題1:將一個三位數的數字重新排列，在所得到的三位數中，用最大的減去 最小的，正好等于原來的三位數，求原來的三位數。模擬題2: 一個三位數，它等于抹去它的首位數字之后剩下的兩位數的 4倍于25 之差，求這個數 模擬題3: a, b, c分別是09中不同的數碼，用a, b,

24、 c共可組成六個三位數 字，如果其中五個數字之和是 2234,那么另一個數字是幾？模擬題4:有一個三位數，如果把數碼6加寫在它的前面，則可得到一個四位數, 如果把6加寫在它的后面，則也可以得到一個四位數，且這兩個四位數之和是 9999,求原來的三位數。【常考題型7:完全平方數】模擬題1: 一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。模擬題2:求證：四個連續的整數的積加上1,等于一個奇數的平方模擬題3:求證：11,111,1111,這串數中沒有完全平方數模擬題4:甲、乙兩人合養了 n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完后, 兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿

25、到最后，剩下 不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應該補給乙多少元？【綜合練習】1、小明爺爺釣魚回來，小明問：“爺爺您今天釣了多少魚呀？”爺爺說：“我今 天甩出魚桿和提起魚桿共100次，可是有17次提起魚桿時沒釣著魚，其余每提 一次就釣了一條魚，你說我今天釣了多少魚呀 ？2、有12張卡片，其中有二張上面寫著1,二張寫著3,二張寫著5,二張寫著7.問: 能否從中選出五張，使它們上面的數字之和為 20?為什么？3、有些四位數是7的倍數，且將它從中間劃分成前后兩個兩位數時，前面的數 能被3整除，后面的數能被5整除，那么所有這樣的數中最小的一個是多少？4、三位數的百位、十位和個位的數字分別是5, a和b,將它連續重復寫99次成為：5ab5ab二5ab。如果此數能被91整除，那么這個三位數5ab是多少?99 個 5 ab5、從左向右編號為1至1991號的1991名同學排成一行.從左向右1至11報數， 報數為11的同學原地不動，其余同學出列；然后留下