1、小升初奧數知識點講解（工程問題例 1:完成一件工作, 需要甲干5天 , 乙干 6天 ; 或者甲干7天 , 乙干 2天。 問 :甲、乙單獨干這件工作各需多少天?例 2:一件工程 ,甲隊單獨做12天可以完成,甲隊做3天后乙隊做2天半可完成一半。 現在甲、乙兩隊合做若干天后, 由乙隊單獨完成, 做完后發現兩段所用時間相等。問:共用多少天?例 3:師徒兩人共同加工一批零件, 師傅每小時加工9個 , 徒弟每小時加工5個。完成任務時,徒弟比師傅少加工120個。這批零件共有多少個?例 4:一件工程 ,甲、乙合做需6天完成,乙、丙合做需9天完成 ,甲、丙合做需15 天完成。現在甲、乙、丙三人合做,需多少天完成

2、?例 5:一件工程 ,甲單獨做要12小時完成,乙單獨做要18小時完成。如果先由甲工作 1 小時 , 然后由乙接替甲工作1 小時 , 再由甲接替乙工作1 小時 兩人 如此交替工作,那么完成任務用了多少小時?例 6:甲、乙、丙三隊要完成A 、 B 兩項工程 , B 工程的工作量比A 工程的工作 量多1/4,甲、乙、丙三隊單獨完成A 工程所需的時間分別是20天、 24天、 30天。為了同時完成這兩項工程,先派甲做A 工程,乙、丙兩隊共同做B 工程 ; 經過幾天后,又調丙隊與甲隊共同完成A ,結果 A 、 B 兩項工程同時完成。問:丙隊與乙隊合作了多少天?例 7:一水箱,用甲、乙、丙三個水管往里注水。

3、若只開甲、丙兩管,當甲管注入18噸水時 ,水箱已滿;若只開乙、丙兩管,乙管注入27噸水時,水箱才滿。又知 , 乙管每分鐘的注水量是甲管每分鐘注水量的2 倍 , 則該水箱最多可容納多少噸水 ?例 8:某工廠的一個生產小組, 生產一批零件, 當每個工人在自己原崗位工作時,9 小時可完成這項生產任務。如果交換工人A 和 B 的工作崗位,其他工人生產效率不變時,可提前1 小時完成這項生產任務;如果交換C 和 D 的工作崗位,其他工人生產效率不變時,也可以提前1 小時完成這項生產任務。問 : 如果同時交換A 與 B 、 C 與 D 的工作崗位,其他工人生產效率不變,可 以提前幾分鐘完成這項生產任務?例

4、1:完成一件工作,需要甲干5天 ,乙干6天 ;或者甲干7天 ,乙干 2天。問:甲、乙單獨干這件工作各需多少天?分析與解答:分析 :先對比如下一項工作甲干5天、乙干6天 ,或甲干7天、乙干2天 ,顯而易見甲干2天的工作量,若換成乙干 ,則需要 4 天。因此,甲干1 天的工作量,若換成乙來干,則需要2天。解答:甲完成這件工作需要的天數:5+6÷ 2=8（天乙完成這件工作需要的天數:5× 2+6=16（天評注:我們在解難題無從下手時, 不妨把題目所交代的條件羅列下來, 認真地觀察、 比 較 ,有時會柳暗花明的。本題運用了整體代換的數學思想,使題目的解答巧妙、簡練,更具創造性。例

5、2:一件工程,甲隊單獨做12天可以完成,甲隊做3天后乙隊做2天半可完成一半。現 在甲、乙兩隊合做若干天后,由乙隊單獨完成,做完后發現兩段所用時間相等。問:共用多少天 ?分析與解答:分析 :甲隊的工作效率的1/12,乙隊的工作效率是1/8,甲、乙兩隊的工作效率和是1/ 8+1/12=5/24。由于甲、乙兩隊合做的時間與乙隊單獨做的時間相同, 所以甲、 乙兩隊合做的工作量與乙隊獨做的工作量之比是:(1/8+1/12 :1/8=5:3。解答 :乙隊的工作效率:(1/2-1/12 3×÷ 2=1/8甲、乙兩隊合做工作量是這件工程的5/8,乙隊單獨做的工作量是這件工程的3/8。 完成

6、這件工程的總天數:3/8÷1/8 × 2=6(天說明 :適時、恰當地運用正、反比例概念,會使問題簡單化。例 3:師徒兩人共同加工一批零件,師傅每小時加工9個 ,徒弟每小時加工5個。完成任 務時 ,徒弟比師傅少加工120個。這批零件共有多少個?分析與解答:分析 :徒弟每小時比師傅少加工4個零件,徒弟比師傅少加工120個零件需要120÷ 4=30 小時,那么這批零件的總個數是(9+5 ×30=420個。例 4:一件工程,甲、乙合做需6天完成 ,乙、丙合做需9天完成,甲、丙合做需15天完 成。現在甲、乙、丙三人合做,需多少天完成?分析 :由已知條件可知,甲、乙

7、的工作效率和是1/6,乙、丙的工作效率和是1/9,甲、 丙的工作效率和是1/15, 1/6+1/9+1/15=31/90,這是甲、乙、丙三人工作效率和的2倍 , 甲、乙、丙三人的工作效率和是31/90÷2=31/180,那么甲、乙、丙三人合做需要的天數是1 ÷ 31/180=180/31 天。例 5:一件工程,甲單獨做要12小時完成 ,乙單獨做要18小時完成。如果先由甲工作 1 小時 , 然后由乙接替甲工作1 小時 , 再由甲接替乙工作1 小時 兩人如此交替工作 , 那么完 成任務用了多少小時?分析 :由已知條件可知甲的工作效率是1/12, 乙的工作效率是1/18。 先由甲

8、工作 1 小時 , 然后由乙接替甲工作1 小時 , 看作是甲、乙合做 1 小時。 可得甲、乙合作完成任務需要的時間是 1÷ (1/12+1/18 =36/5小時,實際上可以理解為甲工作了7小時 ,乙工作了7小時 ,剩下 的 1/36的工作由甲再單獨完成。例 6:甲、乙、丙三隊要完成A 、 B 兩項工程 , B 工程的工作量比A 工程的工作量多 1/4, 甲、乙、丙三隊單獨完成A 工程所需的時間分別是20 天、 24天、 30天。為了同時完成這兩項工程,先派甲做A 工程,乙、丙兩隊共同做B 工程;經過幾天后,又調丙隊與甲隊共同完成A ,結果A 、 B 兩項工程同時完成。問:丙隊與乙隊合

9、作了多少天?分析 :令 A 工作總量為1, 則 B 工程的工作總量是5/4, A 、 B 兩項工程的工作總量是 9/4, 則甲、乙、丙三隊完成A 、 B 兩項工程的時間就可以求出,是9/4 ÷ (1/20+1/24+1/30 = 18天。乙隊干18天的工作量為1/24 × 18=3/4,剩下的5/4-3/4=1/2就是丙做的:1/2 ÷1/30 =15天。說明 :正確地區分整體與部分的關系, 會使我們準確、全面地把握問題, 本題就是把 A 、 B 兩項工程看作一個整體來思考,不要把A 、 B 兩項工程分開。例 7:一水箱 ,用甲、乙、丙三個水管往里注水。若只開甲、

10、丙兩管,當甲管注入18噸 水時,水箱已滿;若只開乙、丙兩管,乙管注入27噸水時,水箱才滿。又知,乙管每分鐘的注水量是甲管每分鐘注水量的2倍 ,則該水箱最多可容納多少噸水?分析 :不妨設這個水箱能裝X 噸水,當甲管注入18噸水時,丙管注入(X -18 噸水 ;27噸水時,丙管注入(X -27 噸水。甲、丙兩管的工作效率比是18:(X -18 ,乙、丙兩管的工作效率比是27:(X -27 。 又因為乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2 倍 ,所以甲、丙兩管的工作效率比是(27 ×1/2 :(X -27 。列方程:18:(X -18 =(27 1/×2 :(X -27X=54說

11、明:解答工程問題時, 方程更是我們的好幫手, 尤其是運用等比作等量關系式時更為 奇妙 !例8:某工廠的一個生產小組, 生產一批零件, 當每個工人在自己原崗位工作時,9 小時 可完成這項生產任務。如果交換工人A 和 B 的工作崗位, 其他工人生產效率不變時, 可提前 1 小時完成這項生產任務;如果交換C 和 D 的工作崗位,其他工人生產效率不變時,也可以提前 1 小時完成這項生產任務。問 : 如果同時交換A 與 B 、 C 與 D 的工作崗位,其他工人生產效率不變,可以提前幾分 鐘完成這項生產任務?分析:本題已知幾種情況,都是工作效率在變化,因此可以求出各種情況的工作效率 , 然后再研究時間的變化。解答:設工作總量為1,則原來全組每小時完成1/9。(1 A 與 B 交換 ,全組工作效率是每小時完成1/8,由于其他工人的工作效率不變,所 以 A 與