試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁參照機密級管理★啟用前2025年高考綜合改革適應性演練數學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．函數的最小正周期是（

）A． B． C． D．3．（

）A．2 B．4 C． D．64．已知向量，則（

）A．2 B．1 C．0 D．5．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．6．底面直徑和母線長均為2的圓錐的體積為（

）A． B． C． D．7．在中，，則的面積為（

）A．6 B．8 C．24 D．488．已知函數，若當時，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知是拋物線的焦點，M是C上的點，O為坐標原點．則（

）A．B．C．以M為圓心且過F的圓與C的準線相切D．當時，的面積為10．在人工神經網絡中，單個神經元輸入與輸出的函數關系可以稱為激勵函數．雙曲正切函數是一種激勵函數．定義雙曲正弦函數，雙曲余弦函數，雙曲正切函數．則（

）A．雙曲正弦函數是增函數 B．雙曲余弦函數是增函數C．雙曲正切函數是增函數 D．11．下面四個繩結中，不能無損傷地變為圖中的繩結的有（

）A． B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知函，若，則．13．有8張卡片，分別標有數字1，2，3，4，5，6，7，8，現從這8張卡片中隨機抽出3張，則抽出的3張卡片上的數字之和與其余5張卡片上的數字之和相等的概率為．14．已知曲線，兩條直線、均過坐標原點O，和交于M、N兩點，和交于P、Q兩點，若三角形的面積為，則三角形的面積為．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15．為考察某種藥物對預防疾病的效果，進行了動物（單位：只）試驗，得到如下列聯表：藥物疾病合計未患病患病未服用10080服用15070220合計250400(1)求，；(2)記未服用藥物的動物患疾病的概率為，給出的估計值；(3)根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為藥物對預防疾病有效?附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．已知數列中，(1)證明：數列為等比數列；(2)求的通項公式；(3)令，證明:．17．已知函數.(1)設，求曲線的斜率為2的切線方程；(2)若是的極小值點，求b的取值范圍.18．已知橢圓C的離心率為，左、右焦點分別為F1?1,0，(1)求C的方程；(2)已知點，證明：線段的垂直平分線與C恰有一個公共點；(3)設M是坐標平面上的動點，且線段的垂直平分線與C恰有一個公共點，證明M的軌跡為圓，并求該圓的方程．19．在平面四邊形中，，，將沿AC翻折至，其中P為動點.(1)設，三棱錐的各個頂點都在球O的球面上．（i）證明：平面平面；（ii）求球O的半徑(2)求二面角的余弦值的最小值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】由交集的運算求解即可；【詳解】由題意可得.故選：C.2．D【分析】根據三角函數最小正周期的求法求得正確答案.【詳解】依題意，的最小正周期.故選：D3．C【分析】根據復數模的概念直接求解.【詳解】由題意：.故選：C4．B【分析】利用向量的坐標運算求解.【詳解】，，，.故選：B.5．C【分析】根據雙曲線的標準方程，結合漸近線方程，可得答案.【詳解】由方程，則，所以漸近線.故選：C.6．A【分析】由勾股定理先求出圓錐的高，進而利用圓錐體積公式求解即可.【詳解】由題可知圓錐的底面半徑，母線長，高，∴圓錐的體積為.故選：A.7．C【分析】先根據余弦定理求出邊的長度，再利用三角形面積公式求出三角形面積即可.【詳解】設，根據余弦定理，已知，，，代入可得：，即，解得，由于，則為直角三角形，則.故選：C.8．B【分析】分類討論，去掉絕對值，結合一元二次不等式的求解即可得解.【詳解】當，時，，當時，，此時，所以，不滿足當時，，故不符合題意；當，時，，解得，由于時，，故，解得；當，時，恒成立，符合題意；當，時，，解得，由于時，，故，解得.綜上.故選：B【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是對分類討論，結合因式分解方法有針對性求解時的的解集，從而可求解.9．ABC【分析】根據焦點坐標求出判斷A，根據拋物線定義判斷B，C，應用已知聯立方程求出點的坐標計算判斷三角形的面積判斷D.【詳解】因為是拋物線的焦點，所以，即得，A選項正確；設在上，所以，所以，B選項正確；因為以M為圓心且過F的圓半徑為等于M與C的準線的距離，所以以M為圓心且過F的圓與C的準線相切，C選項正確；當時,，且，，所以,或舍所以的面積為，D選項錯誤.故選：ABC.10．ACD【分析】對A、B：借助導數求導后即可得；對C：借助雙曲正弦函數與雙曲余弦函數將雙曲正切函數化簡后，結合指數函數性質即可得；對D：借助雙曲正弦函數與雙曲余弦函數，分別將等式左右兩邊化簡即可得.【詳解】對A：令，則恒成立，故雙曲正弦函數是增函數，故A正確；對B：令，則，由A知，為增函數，又，故當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，故B錯誤；對C：，由在上單調遞增，且，故是增函數，故C正確；對D：由C知，則，，故，故D正確.故選：ACD.11．ABD【分析】對A，原圖中的圓環無法解開，對BC轉化為三葉結問題即可；對D通過繩數即可判斷.【詳解】對于A選項：原圖中的圓環不可解開，則無法無損變為一個圓，無法得到A選項；對于D選項：為三個圓，不是一根繩，無法得到D選項；對于B,C選項：根據左手三葉結和右手三葉結不能無損轉換，而BC情形為三葉結變體，則BC至少有一個無法無損傷得到，兩者為手性，即鏡像（即只能在鏡子中相互重疊），再通過考場身邊道具（如鞋帶，頭發）進行實驗可知：可以得到C選項，無法得到B選項.故選：ABD．12．【分析】根據條件，利用指數和對數的運算求得答案.【詳解】由，可得，即，也即，且，，兩邊取對數得：，解得.故答案為：.13．【分析】先寫出基本事件總數，再求出所有卡片上的數字之和，得到抽出的3張卡片上的數字之和應為，列舉出和為的3張卡片即可求解.【詳解】從8張卡片中隨機抽出3張，則樣本空間中總的樣本點數為，因為，所以要使抽出的3張卡片上的數字之和與其余5張卡片上的數字之和相等，則抽出的3張卡片上的數字之和應為，則抽出的3張卡片上的數字的組合有或或共3種，所以符合抽出的3張卡片上的數字之和為的樣本點個數共3個，所以抽出的3張卡片上的數字之和與其余5張卡片上的數字之和相等的概率為.故答案為：.14．【分析】根據對稱性，結合圖象來求得正確答案.【詳解】由于和都符合，所以曲線的圖象關于原點對稱，當時，函數單調遞增，由此畫出曲線的大致圖象如下圖所示，兩條直線、均過坐標原點，所以M、N兩點關于原點對稱，P、Q兩點關于原點對稱，根據對稱性，不妨設位置如圖，可知，，所以，所以，而和等底等高，面積相同，所以，所以.故答案為：【點睛】方法點睛：利用曲線對稱性：充分利用曲線關于原點對稱的性質，確定點的對稱關系，這是解決本題的基礎.通過對稱關系，能夠推導出相關線段和三角形之間的等量關系，為后續的面積計算提供依據.15．(1)，(2)(3)能認為藥物對預防疾病有效【分析】（1）根據列聯表求和即可；（2）用頻率估計概率，計算即可；（3）根據公式計算，然后根據臨界值表分析判斷即可.【詳解】（1）由列聯表知，；（2）由列聯表知，未服用藥物的動物有（只），未服用藥物且患疾病的動物有（只），所以未服用藥物的動物患疾病的頻率為，所以未服用藥物的動物患疾病的概率的估計值為；（3）零假設為：藥物對預防疾病無效，由列聯表得到，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為藥物對預防疾病有效，該推斷犯錯誤的概率不超過，所以根據小概率值的獨立性檢驗，能認為藥物對預防疾病有效.16．(1)證明見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據題設條件化簡，結合等比數列的定義即可證明；（2）由（1）求得數列的通項公式，再求即得；（3）將（2）中得到的的通項代入求得，化簡后利用數列的單調性即可得證.【詳解】（1）由得，則，所以數列是首項為，公比為的等比數列.（2）由（1）得,解得：.（3）令，，因為在上單調遞增，則所以數列在上單調遞減，從而數列在上單調遞增，且，故得.17．(1)(2)【分析】（1）由切線斜率為2，結合導數知識可得切線過點，然后可得切線方程；（2）由是的極小值點，可得，然后據此討論的單調性，分析得在時的極值情況，從而得解.【詳解】（1）當時，，其中，則，令，化簡得，解得（負值舍去），又此時，則切線方程過點，結合切線方程斜率為2，則切線方程為，即.（2）由題可得定義域為，，因是的極小值點，則，則，若，令，令，則在上單調遞增，在上單調遞減，得是的極大值點，不滿足題意；若，令，令，則在上單調遞增，在上單調遞減，得是的極大值點，不滿足題意；若，則，在上單調遞減，無極值，不滿足題意；若，令，令，則在上單調遞增，在上單調遞減，得是的極小值點，滿足題意；綜上，是的極小值點時，.18．(1)(2)證明見解析(3)點的軌跡是圓，該圓的方程為【分析】(1)根據橢圓焦點坐標得，離心率為，得，從而求出，得出橢圓方程；(2)寫出中垂線方程，聯立橢圓方程，判別式等于零，即可證明恰一個公共點；(3)解法一：利用設直線方程聯立橢圓方程的方法，根據判別式等于0，即可求解.解法二：利用橢圓定義和線段垂直平分線的性質結合光學性質，得到，從而得到點的軌跡和軌跡方程.【詳解】（1）因為橢圓左、右焦點分別為F1?1,0，F21,0，所以，又因為橢圓C得，所以橢圓方程為.（2）由，F1?1,0得直線斜率為，中點坐標為0,2，所以線段的垂直平分線方程為，聯立垂直平分線方程和橢圓方程得，x=1，，所以直線與橢圓相切，線段的垂直平分線與C恰有一個公共點；（3）解法一：設，當時，的垂直平分線方程為，此時或；當時，的垂直平分線方程為，聯立，得，即因為線段的垂直平分線與C恰有一個公共點，故，即，則，即，，即，，而，也滿足該式，故點的軌跡是圓，該圓的方程為，即.解法二：設線段的垂直平分線與C恰有一個公共點為P，則當點P不在長軸時，線段的垂直平分線即為點P處的切線，也為的角平分線，

作的角平分線，根據橢圓的光學性質得，，則，故，所以三點共線，所以，所以點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，當P在橢圓長軸上時，M點為或也滿足，故點的軌跡是圓，該圓的方程為.【點睛】方法點睛：判斷直線與橢圓公共點的個數問題的方法是：(1)首先根據題意得到直線和橢圓方程；(2)聯立直線和橢圓方程，消元得到一元二次方程；(3)計算，根據，判斷直線與橢圓公共點的個數.19．(1)（i）證明見解析；（ii）球O的半徑為；(2).【分析】（1）（i）由題設求證，即可由線面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得證；（ii）建立以A為原點空間直角坐標系，設球心，半徑，由列方程組即可計算求解.（2）過P作于G，在平面中，過G作，設，，以G為原點建立空間直角坐標系，求平面和平面的一個法向量，由空間向量夾角公式，通過換元結合二次函數的性質求解即得.【詳解】（1）在中，由，得，所以，且，即，（i）證明：因為，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（ii）以A為原點，分別為x軸和y軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系，則，設球心，半徑，則，所以，解得，所以球O的半徑為；（2）在平面中，過P作于G，在平面中，過G作，則由（1），設，以G為原點，分別為x軸和y軸正